Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Em đã có sẵn hai công cụ: hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=|A|$ đúng với mọi biểu thức $A$, và quy tắc khai phương một tích $\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b$ với $a,b\ge0$. Bài này ghép hai công cụ đó lại thành một kỹ thuật mới: khi số dưới dấu căn tách được thành tích của một số chính phương với một số khác, ta tách riêng thừa số chính phương, khai căn nó, rồi đưa hẳn ra ngoài dấu căn. Thuộc lòng vài số chính phương đầu — 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 — giúp em nhận ra thừa số cần tách chỉ trong vài giây, không phải dò từng số một.

Với $b\ge0$ và một số $a$ bất kỳ, ta có $\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt b$ — đây là quy tắc **đưa thừa số ra ngoài dấu căn**. Phải viết $|a|$ chứ không phải $a$, vì bản thân $\sqrt{a^2b}$ luôn không âm, trong khi $a$ có thể âm. Khi $a\ge0$ — trường hợp gặp nhiều nhất khi $a$ là một số cụ thể — thì $|a|=a$ và công thức gọn lại thành $\sqrt{a^2b}=a\sqrt b$.

Muốn áp dụng công thức, việc đầu tiên là tách số dưới dấu căn thành tích của một số chính phương (lớn nhất có thể) với một số còn lại. Với $\sqrt{48}$, tách $48=16\times3$ (16 là số chính phương lớn nhất chia hết 48) cho ngay $\sqrt{48}=4\sqrt3$ trong một bước. Tách $48=4\times12$ cũng ra đúng đáp số, nhưng còn phải rút gọn tiếp $\sqrt{12}=2\sqrt3$ mới xong — chọn thừa số chính phương lớn nhất tiết kiệm cho em một bước tính không cần thiết.

Khi thừa số dưới dấu căn chứa ẩn, như $\sqrt{9x^2}$, công thức vẫn áp dụng y hệt: $\sqrt{9x^2}=\sqrt9\cdot\sqrt{x^2}=3|x|$. Đến đây, nếu đề đã cho biết dấu của $x$, em bỏ được dấu giá trị tuyệt đối — kết quả là $3x$ nếu $x\ge0$, hoặc $-3x$ nếu $x<0$. Thiếu điều kiện dấu của $x$, kết quả chỉ dừng được ở $3|x|$, không được tự ý chọn một trong hai trường hợp.

Không phải số nào cũng tách được thừa số chính phương. $\sqrt2$, $\sqrt3$, $\sqrt7$, $\sqrt{11}$ — với những số dưới căn là số nguyên tố, hoặc là tích của các số nguyên tố khác nhau không lặp lại (gọi là số không chính phương hoàn toàn) — không có cách nào tách ra một thừa số chính phương lớn hơn 1, nên căn thức đó đã ở dạng đơn giản nhất, không rút gọn thêm được nữa. Nhận ra sớm trường hợp này giúp em không mất thời gian thử tách một số vốn dĩ không tách được.

Năm ví dụ trên đi từ tách một thừa số chính phương đơn giản, đến rút gọn khi có ẩn không cần xét dấu, đến cộng trừ nhiều căn thức đã rút gọn, đến phối hợp hai lần bỏ dấu giá trị tuyệt đối, và cuối cùng là một điều kiện dấu bị giới hạn trong một khoảng thay vì chỉ một nửa trục số — đúng độ khó tăng dần em sẽ gặp trong đề kiểm tra.