Bài học

Ôn tập dạng bài tổng hợp thi vào lớp 10

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải trọn vẹn một câu 1 dạng đề tuyển sinh vào lớp 10: đặt ĐKXĐ, rút gọn một biểu thức chứa ẩn bằng cách phối hợp nhiều công cụ, nhận ra khi biểu thức không phụ thuộc vào x, và dùng kết quả rút gọn để trả lời câu hỏi phụ tìm x.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước ôn lại từng công cụ riêng lẻ. Bài này ghép tất cả vào đúng hai bài toán có cấu trúc y hệt câu 1 của một đề thi thật: phần a) rút gọn biểu thức, phần b) dùng kết quả đó để trả lời một câu hỏi phụ. Em cần huy động lại toàn bộ: đặt ĐKXĐ (Chương 5), quy đồng và khai triển bằng hằng đẳng thức (Chương 4 và Chương 5), và đặt ẩn phụ $t=\sqrt x$ để giải phương trình tìm x (Chương 5, Bài 2).

Khởi động

Có những biểu thức chứa ẩn x mà sau khi rút gọn, kết quả lại là một HẰNG SỐ — không còn phụ thuộc vào x nữa, dù x thay đổi trong ĐKXĐ. Đề thi rất thích dạng bài này vì nó buộc học sinh phải rút gọn cẩn thận đến bước cuối cùng, thay vì đoán mò kết quả. Làm sao chứng minh chắc chắn một biểu thức không phụ thuộc x, thay vì chỉ thử vài giá trị rồi đoán?

Kiến thức trọng tâm

Muốn chứng tỏ một biểu thức không phụ thuộc vào x, cách chắc chắn nhất là rút gọn nó đến cùng bằng đại số — nếu mọi số hạng chứa x (hay $\sqrt x$ ) triệt tiêu hết trong quá trình rút gọn, kết quả còn lại là một số cụ thể, đúng với MỌI x thuộc ĐKXĐ. Thử vài giá trị x cụ thể chỉ giúp em kiểm tra lại đáp số, không thay thế được phép chứng minh đại số — vì thử hữu hạn giá trị không loại trừ khả năng có một giá trị x khác cho kết quả khác.

Muốn chứng tỏ một biểu thức không phụ thuộc vào x, cách chắc chắn nhất là rút gọn nó đến cùng bằng đại số — nếu mọi số hạng chứa x (hay $\sqrt x$) triệt tiêu hết trong quá trình rút gọn, kết quả còn lại là một số cụ thể, đúng với MỌI x thuộc ĐKXĐ. Thử vài giá trị x cụ thể chỉ giúp em kiểm tra lại đáp số, không thay thế được phép chứng minh đại số — vì thử hữu hạn giá trị không loại trừ khả năng có một giá trị x khác cho kết quả khác.

Cấu trúc câu hỏi phụ ở phần b) thường quay lại đúng biểu thức đã rút gọn ở phần a), không bao giờ bắt em tính lại từ biểu thức gốc. Gặp dạng "tìm x để biểu thức bằng một giá trị", đặt $t=\sqrt x$ , đưa về phương trình theo t, giải rồi đối chiếu điều kiện — đúng quy trình đã luyện ở Chương 5. Sự khác biệt duy nhất ở bài ôn tập này là biểu thức phần a) thường cần phối hợp NHIỀU phân thức và một vài bước khai triển hằng đẳng thức phức tạp hơn, đúng độ khó thật của câu 1 đề thi.

Cấu trúc câu hỏi phụ ở phần b) thường quay lại đúng biểu thức đã rút gọn ở phần a), không bao giờ bắt em tính lại từ biểu thức gốc. Gặp dạng \"tìm x để biểu thức bằng một giá trị\", đặt $t=\sqrt x$, đưa về phương trình theo t, giải rồi đối chiếu điều kiện — đúng quy trình đã luyện ở Chương 5. Sự khác biệt duy nhất ở bài ôn tập này là biểu thức phần a) thường cần phối hợp NHIỀU phân thức và một vài bước khai triển hằng đẳng thức phức tạp hơn, đúng độ khó thật của câu 1 đề thi.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Rút gọn và chứng tỏ biểu thức không phụ thuộc vào x

1
Cho $P=\dfrac{\sqrt x-2}{\sqrt x+2}+\dfrac{\sqrt x+2}{\sqrt x-2}-\dfrac{4x}{x-4}$ với $x\ge0,x\ne4$ . a) Rút gọn P. b) Chứng tỏ giá trị của P không phụ thuộc vào x.
Cho $P=\dfrac{\sqrt x-2}{\sqrt x+2}+\dfrac{\sqrt x+2}{\sqrt x-2}-\dfrac{4x}{x-4}$ với $x\ge0,x\ne4$. a) Rút gọn P. b) Chứng tỏ giá trị của P không phụ thuộc vào x.
2
Mẫu chung: $x-4=(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)$ .
Mẫu chung: $x-4=(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)$.
3
$P=\dfrac{(\sqrt x-2)^2+(\sqrt x+2)^2-4x}{x-4}$ .
$P=\dfrac{(\sqrt x-2)^2+(\sqrt x+2)^2-4x}{x-4}$.
4
$(\sqrt x-2)^2=x-4\sqrt x+4$ ; $(\sqrt x+2)^2=x+4\sqrt x+4$ . Tổng hai bình phương: $2x+8$ . Tử số: $(2x+8)-4x=-2x+8=-2(x-4)$ .
$(\sqrt x-2)^2=x-4\sqrt x+4$; $(\sqrt x+2)^2=x+4\sqrt x+4$. Tổng hai bình phương: $2x+8$. Tử số: $(2x+8)-4x=-2x+8=-2(x-4)$.
5
$P=\dfrac{-2(x-4)}{x-4}=-2$ (hợp lệ vì $x\ne4$ nên $x-4\ne0$ ).
$P=\dfrac{-2(x-4)}{x-4}=-2$ (hợp lệ vì $x\ne4$ nên $x-4\ne0$).
6
Vậy $P=-2$ với mọi $x\ge0,x\ne4$ — kết quả là một hằng số, không phụ thuộc vào x, đúng điều cần chứng tỏ.
Vậy $P=-2$ với mọi $x\ge0,x\ne4$ — kết quả là một hằng số, không phụ thuộc vào x, đúng điều cần chứng tỏ.

Ví dụ

Rút gọn rồi dùng kết quả để tìm x thoả một điều kiện cho trước

1
Cho $Q=\dfrac{2\sqrt x}{\sqrt x+1}+\dfrac{1}{\sqrt x-1}-\dfrac{\sqrt x+5}{x-1}$ với $x\ge0,x\ne1$ . a) Rút gọn Q. b) Tìm x để $Q=1$ .
Cho $Q=\dfrac{2\sqrt x}{\sqrt x+1}+\dfrac{1}{\sqrt x-1}-\dfrac{\sqrt x+5}{x-1}$ với $x\ge0,x\ne1$. a) Rút gọn Q. b) Tìm x để $Q=1$.
2
Mẫu chung: $x-1=(\sqrt x-1)(\sqrt x+1)$ .
Mẫu chung: $x-1=(\sqrt x-1)(\sqrt x+1)$.
3
$Q=\dfrac{2\sqrt x(\sqrt x-1)+(\sqrt x+1)-(\sqrt x+5)}{x-1}$ .
$Q=\dfrac{2\sqrt x(\sqrt x-1)+(\sqrt x+1)-(\sqrt x+5)}{x-1}$.
4
$2\sqrt x(\sqrt x-1)=2x-2\sqrt x$ . Tử số: $(2x-2\sqrt x)+(\sqrt x+1)-(\sqrt x+5)=2x-2\sqrt x-4=2(x-\sqrt x-2)$ .
$2\sqrt x(\sqrt x-1)=2x-2\sqrt x$. Tử số: $(2x-2\sqrt x)+(\sqrt x+1)-(\sqrt x+5)=2x-2\sqrt x-4=2(x-\sqrt x-2)$.
5
Với $t=\sqrt x$ : $t^2-t-2=(t-2)(t+1)$ . Tử số: $2(t-2)(t+1)$ .
Với $t=\sqrt x$: $t^2-t-2=(t-2)(t+1)$. Tử số: $2(t-2)(t+1)$.
6
Mẫu $x-1=(t-1)(t+1)$ . $Q=\dfrac{2(t-2)(t+1)}{(t-1)(t+1)}=\dfrac{2(t-2)}{t-1}=\dfrac{2(\sqrt x-2)}{\sqrt x-1}$ (hợp lệ vì $t+1>0$ với mọi $t\ge0$ ).
Mẫu $x-1=(t-1)(t+1)$. $Q=\dfrac{2(t-2)(t+1)}{(t-1)(t+1)}=\dfrac{2(t-2)}{t-1}=\dfrac{2(\sqrt x-2)}{\sqrt x-1}$ (hợp lệ vì $t+1>0$ với mọi $t\ge0$).
7
$\dfrac{2(t-2)}{t-1}=1 \iff 2(t-2)=t-1 \iff 2t-4=t-1 \iff t=3$ .
$\dfrac{2(t-2)}{t-1}=1 \iff 2(t-2)=t-1 \iff 2t-4=t-1 \iff t=3$.
8
$t=3$ thoả $t\ge0,t\ne1$ , suy ra $x=t^2=9$ .
$t=3$ thoả $t\ge0,t\ne1$, suy ra $x=t^2=9$.
9
Vậy $Q=\dfrac{2(\sqrt x-2)}{\sqrt x-1}$ , và $Q=1$ khi và chỉ khi $x=9$ .
Vậy $Q=\dfrac{2(\sqrt x-2)}{\sqrt x-1}$, và $Q=1$ khi và chỉ khi $x=9$.

Hai ví dụ trên là hai bài câu 1 hoàn chỉnh, mỗi bài gồm cả phần rút gọn lẫn câu hỏi phụ — đúng cấu trúc thật của đề thi. Ví dụ đầu cho ra một hằng số (P luôn bằng −2), ví dụ sau cho ra một biểu thức vẫn phụ thuộc x nhưng rút gọn đủ đơn giản để giải tiếp câu hỏi phụ chỉ bằng một phương trình bậc nhất theo t.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Với dạng "chứng tỏ không phụ thuộc x", nhiều bạn chỉ thử một hoặc hai giá trị x cụ thể thấy ra cùng một kết quả rồi vội kết luận — cách này không phải một phép chứng minh, vì không loại trừ khả năng có giá trị x khác cho kết quả khác. Phải rút gọn bằng đại số đến khi mọi số hạng chứa x triệt tiêu hết mới được kết luận chắc chắn. Một lỗi khác: quên kiểm tra nghiệm t tìm được có thoả điều kiện $t\ge0$ và khác các giá trị bị loại trừ hay không trước khi suy ra x.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Câu 1 dạng rút gọn luôn có hai phần gắn liền: rút gọn biểu thức, rồi dùng chính kết quả đó cho câu hỏi phụ. Chứng tỏ một biểu thức không phụ thuộc x nghĩa là rút gọn đến khi mọi số hạng chứa x triệt tiêu hết, không phải chỉ thử vài giá trị. Luôn đối chiếu nghiệm tìm được với ĐKXĐ trước khi kết luận.

Khoá học kết thúc ở đây với đúng dạng bài mở đầu hầu hết đề tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Công cụ tiếp theo em cần — giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn — sẽ dùng lại chính sự cẩn thận trong biến đổi đại số mà bốn công cụ căn thức vừa rèn cho em.