Bài học

Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức phân thức chứa căn

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tìm được điều kiện xác định của một biểu thức phân thức chứa căn (mẫu khác 0, biểu thức dưới căn không âm), quy đồng và rút gọn biểu thức đó về một phân thức duy nhất — đúng kỹ năng mở đầu câu 1 quen thuộc của đề tuyển sinh vào lớp 10.

Kiến thức nền cần nhớ

Bốn bài vừa qua cho em bốn công cụ riêng lẻ: đưa thừa số ra ngoài, đưa vào trong, khử mẫu, và trục căn thức. Bài này không thêm công cụ mới, mà dạy em GHÉP chúng vào một quy trình hoàn chỉnh, áp dụng cho biểu thức chứa ẩn dưới dạng phân thức — dạng bài chiếm gần như toàn bộ câu hỏi đầu tiên của đề thi. Em cũng cần nhớ kỹ năng quy đồng mẫu số của nhiều phân thức đã học từ lớp 8: tìm mẫu chung, nhân tử và mẫu mỗi phân thức với thừa số phù hợp, rồi cộng trừ các tử số trên cùng một mẫu.

Khởi động

Xét biểu thức $\dfrac{\sqrt x}{\sqrt x-1}$ . Với $x=4$ , biểu thức có nghĩa và bằng $\dfrac{2}{1}=2$ . Nhưng với $x=1$ , mẫu số $\sqrt1-1=0$ — biểu thức không xác định. Một biểu thức phân thức chứa căn như vậy có thể "gãy" vì hai lý do khác nhau: căn thức mất nghĩa, hoặc mẫu số bằng 0. Làm sao liệt kê đủ MỌI điều kiện trước khi bắt tay vào rút gọn?

Xét biểu thức $\dfrac{\sqrt x}{\sqrt x-1}$. Với $x=4$, biểu thức có nghĩa và bằng $\dfrac{2}{1}=2$. Nhưng với $x=1$, mẫu số $\sqrt1-1=0$ — biểu thức không xác định. Một biểu thức phân thức chứa căn như vậy có thể "gãy" vì hai lý do khác nhau: căn thức mất nghĩa, hoặc mẫu số bằng 0. Làm sao liệt kê đủ MỌI điều kiện trước khi bắt tay vào rút gọn?

Kiến thức trọng tâm

Với một biểu thức phân thức chứa căn, điều kiện xác định (ĐKXĐ) gồm hai loại ràng buộc phải xét đủ cả hai: mọi biểu thức nằm dưới một dấu căn phải không âm, và mọi mẫu số (kể cả mẫu chứa căn) phải khác 0. Khi biểu thức có nhiều căn thức hoặc nhiều mẫu số, tìm điều kiện của TỪNG căn thức, TỪNG mẫu số riêng biệt, rồi kết hợp tất cả lại bằng phép giao — bỏ sót một điều kiện là bỏ sót luôn những giá trị x làm biểu thức vô nghĩa.

Sau khi có ĐKXĐ, bước rút gọn đi theo đúng quy trình phân thức thường: quy đồng mẫu số chung của tất cả các số hạng, khai triển và thu gọn tử số, rồi kiểm tra xem tử và mẫu có nhân tử chung để rút gọn tiếp hay không. Điểm khác biệt duy nhất so với phân thức đại số bình thường: mẫu số ở đây thường là $\sqrt x-a$ hoặc $\sqrt x+a$ chứ không phải $x-a$ , nên khi nhân hai mẫu dạng $(\sqrt x-a)(\sqrt x+a)$ để được mẫu chung, kết quả là $x-a^2$ theo đúng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương — không phải một phép tính mới, chỉ là áp dụng lại kiến thức đã quen.

Sau khi có ĐKXĐ, bước rút gọn đi theo đúng quy trình phân thức thường: quy đồng mẫu số chung của tất cả các số hạng, khai triển và thu gọn tử số, rồi kiểm tra xem tử và mẫu có nhân tử chung để rút gọn tiếp hay không. Điểm khác biệt duy nhất so với phân thức đại số bình thường: mẫu số ở đây thường là $\sqrt x-a$ hoặc $\sqrt x+a$ chứ không phải $x-a$, nên khi nhân hai mẫu dạng $(\sqrt x-a)(\sqrt x+a)$ để được mẫu chung, kết quả là $x-a^2$ theo đúng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương — không phải một phép tính mới, chỉ là áp dụng lại kiến thức đã quen.

Kết quả rút gọn không nhất thiết phải "đẹp" theo nghĩa mọi thứ đều triệt tiêu — có bài cho ra một phân thức không rút gọn thêm được nữa vì tử và mẫu không có nhân tử chung, có bài lại cho ra kết quả rất gọn sau khi một nhân tử ở tử trùng với một nhân tử ở mẫu. Cả hai đều là đáp số hợp lệ, miễn là mỗi bước biến đổi đều đúng.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tìm điều kiện xác định (chưa cần rút gọn)

1
Tìm ĐKXĐ của $D=\dfrac{\sqrt x+3}{\sqrt x-5}$ .
Tìm ĐKXĐ của $D=\dfrac{\sqrt x+3}{\sqrt x-5}$.
2
Cần $x\ge0$ để $\sqrt x$ có nghĩa.
Cần $x\ge0$ để $\sqrt x$ có nghĩa.
3
Cần $\sqrt x-5\ne0 \iff \sqrt x\ne5 \iff x\ne25$ .
Cần $\sqrt x-5\ne0 \iff \sqrt x\ne5 \iff x\ne25$.
4
Vậy ĐKXĐ của $D$ là $x\ge0, x\ne25$ .
Vậy ĐKXĐ của $D$ là $x\ge0, x\ne25$.

Ví dụ

Rút gọn một biểu thức hai phân thức cùng dạng mẫu

1
Rút gọn $B=\dfrac{1}{\sqrt x+2}+\dfrac{1}{\sqrt x-2}$ với $x\ge0, x\ne4$ .
Rút gọn $B=\dfrac{1}{\sqrt x+2}+\dfrac{1}{\sqrt x-2}$ với $x\ge0, x\ne4$.
2
Mẫu chung: $(\sqrt x+2)(\sqrt x-2)=x-4$ .
Mẫu chung: $(\sqrt x+2)(\sqrt x-2)=x-4$.
3
$B=\dfrac{(\sqrt x-2)+(\sqrt x+2)}{x-4}=\dfrac{2\sqrt x}{x-4}$ .
$B=\dfrac{(\sqrt x-2)+(\sqrt x+2)}{x-4}=\dfrac{2\sqrt x}{x-4}$.
4
Vậy với $x\ge0, x\ne4$ , ta có $B=\dfrac{2\sqrt x}{x-4}$ .
Vậy với $x\ge0, x\ne4$, ta có $B=\dfrac{2\sqrt x}{x-4}$.

Ví dụ

Rút gọn biểu thức hai phân thức với dấu trừ ở giữa

1
Rút gọn $A=\dfrac{\sqrt x}{\sqrt x-1}-\dfrac{2}{\sqrt x+1}$ với $x\ge0, x\ne1$ .
Rút gọn $A=\dfrac{\sqrt x}{\sqrt x-1}-\dfrac{2}{\sqrt x+1}$ với $x\ge0, x\ne1$.
2
Mẫu chung: $(\sqrt x-1)(\sqrt x+1)=x-1$ .
Mẫu chung: $(\sqrt x-1)(\sqrt x+1)=x-1$.
3
$A=\dfrac{\sqrt x(\sqrt x+1)-2(\sqrt x-1)}{x-1}$ .
$A=\dfrac{\sqrt x(\sqrt x+1)-2(\sqrt x-1)}{x-1}$.
4
$\sqrt x(\sqrt x+1)=x+\sqrt x$ ; $2(\sqrt x-1)=2\sqrt x-2$ . Tử số: $(x+\sqrt x)-(2\sqrt x-2)=x-\sqrt x+2$ .
$\sqrt x(\sqrt x+1)=x+\sqrt x$; $2(\sqrt x-1)=2\sqrt x-2$. Tử số: $(x+\sqrt x)-(2\sqrt x-2)=x-\sqrt x+2$.
5
Vậy với $x\ge0, x\ne1$ , ta có $A=\dfrac{x-\sqrt x+2}{x-1}$ .
Vậy với $x\ge0, x\ne1$, ta có $A=\dfrac{x-\sqrt x+2}{x-1}$.

Ví dụ

Rút gọn biểu thức ba phân thức và triệt tiêu nhân tử chung

1
Rút gọn $C=\dfrac{\sqrt x+1}{\sqrt x-1}-\dfrac{\sqrt x-1}{\sqrt x+1}-\dfrac{4}{x-1}$ với $x\ge0, x\ne1$ .
Rút gọn $C=\dfrac{\sqrt x+1}{\sqrt x-1}-\dfrac{\sqrt x-1}{\sqrt x+1}-\dfrac{4}{x-1}$ với $x\ge0, x\ne1$.
2
Mẫu chung: $x-1=(\sqrt x-1)(\sqrt x+1)$ .
Mẫu chung: $x-1=(\sqrt x-1)(\sqrt x+1)$.
3
$C=\dfrac{(\sqrt x+1)^2-(\sqrt x-1)^2-4}{x-1}$ .
$C=\dfrac{(\sqrt x+1)^2-(\sqrt x-1)^2-4}{x-1}$.
4
$(\sqrt x+1)^2=x+2\sqrt x+1$ ; $(\sqrt x-1)^2=x-2\sqrt x+1$ . Hiệu của chúng: $(x+2\sqrt x+1)-(x-2\sqrt x+1)=4\sqrt x$ . Tử số: $4\sqrt x-4=4(\sqrt x-1)$ .
$(\sqrt x+1)^2=x+2\sqrt x+1$; $(\sqrt x-1)^2=x-2\sqrt x+1$. Hiệu của chúng: $(x+2\sqrt x+1)-(x-2\sqrt x+1)=4\sqrt x$. Tử số: $4\sqrt x-4=4(\sqrt x-1)$.
5
$C=\dfrac{4(\sqrt x-1)}{(\sqrt x-1)(\sqrt x+1)}=\dfrac{4}{\sqrt x+1}$ (rút gọn $\sqrt x-1$ , hợp lệ vì $x\ne1$ nên $\sqrt x-1\ne0$ ).
$C=\dfrac{4(\sqrt x-1)}{(\sqrt x-1)(\sqrt x+1)}=\dfrac{4}{\sqrt x+1}$ (rút gọn $\sqrt x-1$, hợp lệ vì $x\ne1$ nên $\sqrt x-1\ne0$).
6
Vậy với $x\ge0, x\ne1$ , ta có $C=\dfrac{4}{\sqrt x+1}$ .
Vậy với $x\ge0, x\ne1$, ta có $C=\dfrac{4}{\sqrt x+1}$.

Bốn ví dụ trên đi từ chỉ tìm ĐKXĐ (chưa rút gọn), đến rút gọn hai phân thức đơn giản, đến rút gọn có dấu trừ ở giữa, và cuối cùng ba phân thức triệt tiêu gọn về một kết quả rất đơn giản — dạng bài C ở trên là kiểu "tưởng phức tạp nhưng rút gọn ra rất gọn" hay gặp nhất trong đề tuyển sinh 10.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn chỉ đặt điều kiện $x\ge0$ mà quên xét mẫu số khác 0, hoặc ngược lại chỉ xét mẫu mà quên căn thức — khi biểu thức có nhiều căn thức hoặc nhiều mẫu, phải liệt kê ĐỦ điều kiện của TỪNG thành phần rồi mới kết hợp. Một lỗi khác: sau khi quy đồng, khai triển sai dấu khi bỏ ngoặc trừ — ví dụ quên đổi dấu tất cả các số hạng bên trong khi trừ cả một tổng. Luôn viết rõ từng bước khai triển thay vì nhẩm tắt, nhất là khi tử số có từ ba số hạng trở lên.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

ĐKXĐ gồm hai loại điều kiện: biểu thức dưới căn không âm, và mẫu số khác 0 — xét đủ cho từng thành phần rồi kết hợp lại. Rút gọn theo đúng quy trình phân thức: quy đồng, khai triển tử số, rồi kiểm tra nhân tử chung. Kết quả không nhất thiết phải rút gọn được thêm — nhưng luôn đáng để thử.

Có kết quả rút gọn trong tay, bài sau dùng nó để trả lời những câu hỏi phụ quen thuộc: tính giá trị biểu thức tại một điểm cụ thể, so sánh biểu thức với một số, hoặc tìm x để biểu thức thoả một điều kiện cho trước.