Bài học

Đưa thừa số vào trong dấu căn

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em đưa được một thừa số ngoài dấu căn vào trong dấu căn $a\sqrt b=\sqrt{a^2b}$ , xử lý đúng trường hợp thừa số đó âm, và dùng kỹ thuật này để so sánh hai hay ba căn thức có hệ số khác nhau mà không cần tính giá trị gần đúng.

Sau bài này, em đưa được một thừa số ngoài dấu căn vào trong dấu căn $a\sqrt b=\sqrt{a^2b}$, xử lý đúng trường hợp thừa số đó âm, và dùng kỹ thuật này để so sánh hai hay ba căn thức có hệ số khác nhau mà không cần tính giá trị gần đúng.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã cho em công cụ đưa thừa số RA ngoài dấu căn. Bài này đặt câu hỏi ngược: nếu đã có một số nhân với một căn thức, chẳng hạn $3\sqrt2$ , ta có gộp cả hai lại thành MỘT căn thức duy nhất hay không? Em cũng cần nhớ lại tính chất so sánh hai căn bậc hai số học đã học ở khoá trước: với $a,b\ge0$ , nếu $a<b$ thì $\sqrt a<\sqrt b$ — chính tính chất này là lý do kỹ thuật đưa vào trong lại hữu ích: nó biến việc so sánh hai biểu thức phức tạp thành so sánh hai số nguyên đơn giản dưới hai dấu căn cùng dạng.

Bài trước đã cho em công cụ đưa thừa số RA ngoài dấu căn. Bài này đặt câu hỏi ngược: nếu đã có một số nhân với một căn thức, chẳng hạn $3\sqrt2$, ta có gộp cả hai lại thành MỘT căn thức duy nhất hay không? Em cũng cần nhớ lại tính chất so sánh hai căn bậc hai số học đã học ở khoá trước: với $a,b\ge0$, nếu $a<b$ thì $\sqrt a<\sqrt b$ — chính tính chất này là lý do kỹ thuật đưa vào trong lại hữu ích: nó biến việc so sánh hai biểu thức phức tạp thành so sánh hai số nguyên đơn giản dưới hai dấu căn cùng dạng.

Khởi động

So sánh $3\sqrt5$ và $2\sqrt{11}$ : hai căn thức này có hệ số khác nhau (3 và 2) lẫn số dưới căn khác nhau (5 và 11), nên không thể so sánh trực tiếp như bài trước. Nếu gộp cả hệ số lẫn căn thức của mỗi số thành một căn thức duy nhất, liệu bài toán so sánh có trở nên đơn giản như hai bài trước hay không?

So sánh $3\sqrt5$ và $2\sqrt{11}$: hai căn thức này có hệ số khác nhau (3 và 2) lẫn số dưới căn khác nhau (5 và 11), nên không thể so sánh trực tiếp như bài trước. Nếu gộp cả hệ số lẫn căn thức của mỗi số thành một căn thức duy nhất, liệu bài toán so sánh có trở nên đơn giản như hai bài trước hay không?

Kiến thức trọng tâm

Với $a\ge0$ và $b\ge0$ , ta có $a\sqrt b=\sqrt{a^2b}$ — đây là quy tắc đưa thừa số vào trong dấu căn, đúng là chiều ngược của bài trước. Chẳng hạn $3\sqrt2=\sqrt{9\times2}=\sqrt{18}$ , vì $3^2=9$ .

Với $a\ge0$ và $b\ge0$, ta có $a\sqrt b=\sqrt{a^2b}$ — đây là quy tắc **đưa thừa số vào trong dấu căn**, đúng là chiều ngược của bài trước. Chẳng hạn $3\sqrt2=\sqrt{9\times2}=\sqrt{18}$, vì $3^2=9$.

Khi $a<0$ , không thể viết trực tiếp $a\sqrt b=\sqrt{a^2b}$ nữa, vì vế phải luôn không âm còn vế trái đang âm. Cách xử lý là tách riêng dấu trừ ra ngoài trước: viết $a\sqrt b=-|a|\sqrt b$ , rồi mới đưa $|a|$ (một số không âm) vào trong dấu căn như bình thường. Với $-4\sqrt3$ : $-4\sqrt3=-(4\sqrt3)=-\sqrt{16\times3}=-\sqrt{48}$ — dấu trừ được giữ nguyên đứng trước dấu căn, không bao giờ đưa vào cùng bên trong.

Khi $a<0$, không thể viết trực tiếp $a\sqrt b=\sqrt{a^2b}$ nữa, vì vế phải luôn không âm còn vế trái đang âm. Cách xử lý là tách riêng dấu trừ ra ngoài trước: viết $a\sqrt b=-|a|\sqrt b$, rồi mới đưa $|a|$ (một số không âm) vào trong dấu căn như bình thường. Với $-4\sqrt3$: $-4\sqrt3=-(4\sqrt3)=-\sqrt{16\times3}=-\sqrt{48}$ — dấu trừ được giữ nguyên đứng trước dấu căn, không bao giờ đưa vào cùng bên trong.

Công dụng lớn nhất của quy tắc này là so sánh. Muốn so sánh $3\sqrt5$ và $2\sqrt{11}$ , đưa cả hai vào trong: $3\sqrt5=\sqrt{45}$ , $2\sqrt{11}=\sqrt{44}$ . Vì $45>44$ và cả hai số đều không âm, theo tính chất so sánh căn bậc hai số học: $\sqrt{45}>\sqrt{44}$ , tức $3\sqrt5>2\sqrt{11}$ . Cách này áp dụng được cho bất kỳ cặp căn thức nào có hệ số khác nhau, kể cả khi so sánh ba số trở lên — chỉ cần đưa tất cả về cùng một dạng căn thức rồi so sánh số dưới căn.

Công dụng lớn nhất của quy tắc này là so sánh. Muốn so sánh $3\sqrt5$ và $2\sqrt{11}$, đưa cả hai vào trong: $3\sqrt5=\sqrt{45}$, $2\sqrt{11}=\sqrt{44}$. Vì $45>44$ và cả hai số đều không âm, theo tính chất so sánh căn bậc hai số học: $\sqrt{45}>\sqrt{44}$, tức $3\sqrt5>2\sqrt{11}$. Cách này áp dụng được cho bất kỳ cặp căn thức nào có hệ số khác nhau, kể cả khi so sánh ba số trở lên — chỉ cần đưa tất cả về cùng một dạng căn thức rồi so sánh số dưới căn.

Kết quả so sánh bằng cách đưa vào trong luôn CHẮC CHẮN, không phải ước lượng — khác hẳn với việc bấm máy tính lấy giá trị gần đúng rồi so sánh, một cách làm không được chấp nhận khi đề yêu cầu "không dùng máy tính" hoặc khi hai giá trị gần đúng quá sát nhau để phân biệt bằng mắt thường. Em vẫn có thể dùng giá trị gần đúng để KIỂM TRA lại đáp số sau khi đã so sánh bằng phương pháp chính xác, nhưng không bao giờ dùng nó thay cho lời giải.

Dù nhìn gần giống nhau trên trục số, đưa vào trong dấu căn cho biết chắc chắn

3\sqrt5>2\sqrt{11}

mà không cần tính gần đúng.Dù nhìn gần giống nhau trên trục số, đưa vào trong dấu căn cho biết chắc chắn $3\sqrt5>2\sqrt{11}$ mà không cần tính gần đúng.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Đưa một thừa số dương vào trong dấu căn

1
Viết $3\sqrt2$ dưới dạng một căn thức duy nhất.
Viết $3\sqrt2$ dưới dạng một căn thức duy nhất.
2
Vì $3\ge0$ : $3\sqrt2=\sqrt{3^2\times2}=\sqrt{9\times2}=\sqrt{18}$ .
Vì $3\ge0$: $3\sqrt2=\sqrt{3^2\times2}=\sqrt{9\times2}=\sqrt{18}$.
3
$3\sqrt2=\sqrt{18}$ .
$3\sqrt2=\sqrt{18}$.

Ví dụ

So sánh hai căn thức bằng cách đưa cả hai vào trong

1
So sánh $3\sqrt5$ và $2\sqrt{11}$ .
So sánh $3\sqrt5$ và $2\sqrt{11}$.
2
$3\sqrt5=\sqrt{9\times5}=\sqrt{45}$ ; $2\sqrt{11}=\sqrt{4\times11}=\sqrt{44}$ .
$3\sqrt5=\sqrt{9\times5}=\sqrt{45}$; $2\sqrt{11}=\sqrt{4\times11}=\sqrt{44}$.
3
Vì $45>44$ , mà cả hai số đều không âm, theo tính chất so sánh $\sqrt{45}>\sqrt{44}$ .
Vì $45>44$, mà cả hai số đều không âm, theo tính chất so sánh $\sqrt{45}>\sqrt{44}$.
4
Vậy $3\sqrt5>2\sqrt{11}$ .
Vậy $3\sqrt5>2\sqrt{11}$.

Ví dụ

Đưa một thừa số âm vào trong dấu căn

1
Viết $-4\sqrt3$ dưới dạng một căn thức duy nhất.
Viết $-4\sqrt3$ dưới dạng một căn thức duy nhất.
2
$-4\sqrt3=-(4\sqrt3)$ , với $4\ge0$ .
$-4\sqrt3=-(4\sqrt3)$, với $4\ge0$.
3
$4\sqrt3=\sqrt{4^2\times3}=\sqrt{16\times3}=\sqrt{48}$ .
$4\sqrt3=\sqrt{4^2\times3}=\sqrt{16\times3}=\sqrt{48}$.
4
$-4\sqrt3=-\sqrt{48}$ (dấu trừ đứng ngoài dấu căn).
$-4\sqrt3=-\sqrt{48}$ (dấu trừ đứng ngoài dấu căn).

Ví dụ

Sắp xếp ba căn thức theo thứ tự tăng dần

1
Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: $2\sqrt6$ , $3\sqrt3$ , $4\sqrt2$ .
Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: $2\sqrt6$, $3\sqrt3$, $4\sqrt2$.
2
$2\sqrt6=\sqrt{24}$ ; $3\sqrt3=\sqrt{27}$ ; $4\sqrt2=\sqrt{32}$ .
$2\sqrt6=\sqrt{24}$; $3\sqrt3=\sqrt{27}$; $4\sqrt2=\sqrt{32}$.
3
$24<27<32$ , mà cả ba số đều không âm, nên $\sqrt{24}<\sqrt{27}<\sqrt{32}$ .
$24<27<32$, mà cả ba số đều không âm, nên $\sqrt{24}<\sqrt{27}<\sqrt{32}$.
4
Vậy thứ tự tăng dần là $2\sqrt6<3\sqrt3<4\sqrt2$ .
Vậy thứ tự tăng dần là $2\sqrt6<3\sqrt3<4\sqrt2$.

Ví dụ

So sánh hai căn thức có hệ số âm

1
So sánh $-2\sqrt7$ và $-3\sqrt3$ .
So sánh $-2\sqrt7$ và $-3\sqrt3$.
2
$2\sqrt7=\sqrt{28}$ ; $3\sqrt3=\sqrt{27}$ . Vì $28>27$ nên $2\sqrt7>3\sqrt3$ .
$2\sqrt7=\sqrt{28}$; $3\sqrt3=\sqrt{27}$. Vì $28>27$ nên $2\sqrt7>3\sqrt3$.
3
Từ $2\sqrt7>3\sqrt3$ , nhân cả hai vế với $-1$ (đổi chiều bất đẳng thức): $-2\sqrt7<-3\sqrt3$ .
Từ $2\sqrt7>3\sqrt3$, nhân cả hai vế với $-1$ (đổi chiều bất đẳng thức): $-2\sqrt7<-3\sqrt3$.
4
Vậy $-2\sqrt7<-3\sqrt3$ .
Vậy $-2\sqrt7<-3\sqrt3$.

Năm ví dụ trên đi từ đưa một số dương vào trong (dễ nhất), đến so sánh hai căn thức, đến xử lý dấu âm khi đưa vào, đến sắp xếp ba số cùng lúc, và cuối cùng so sánh hai số ÂM — trường hợp dễ nhầm nhất, vì số càng lớn về giá trị tuyệt đối lại là số càng NHỎ khi mang dấu âm.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Với thừa số âm, nhiều bạn viết thẳng $-3\sqrt2=\sqrt{(-3)^2\times2}=\sqrt{18}$ — SAI, vì vế phải luôn dương trong khi $-3\sqrt2$ âm, hai vế không thể bằng nhau. Phải tách dấu trừ ra ngoài trước, chỉ đưa phần không âm còn lại vào trong dấu căn, rồi viết lại dấu trừ ở phía trước kết quả. Một lỗi khác: khi so sánh nhiều số có cả căn thức lẫn số nguyên (như so sánh $2\sqrt5$ với 4), nhiều bạn quên đưa số nguyên về dạng căn thức trước ( $4=\sqrt{16}$ ) nên so sánh sai.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Với $a\ge0,b\ge0$ : $a\sqrt b=\sqrt{a^2b}$ . Nếu $a<0$ , tách dấu trừ ra ngoài trước rồi mới đưa phần dương vào trong. Đưa vào trong dấu căn biến việc so sánh nhiều căn thức có hệ số khác nhau thành so sánh các số nguyên dưới cùng một dấu căn — luôn đưa số nguyên đứng riêng về dạng căn thức trước khi so sánh chung.

Với $a\ge0,b\ge0$: $a\sqrt b=\sqrt{a^2b}$. Nếu $a<0$, tách dấu trừ ra ngoài trước rồi mới đưa phần dương vào trong. Đưa vào trong dấu căn biến việc so sánh nhiều căn thức có hệ số khác nhau thành so sánh các số nguyên dưới cùng một dấu căn — luôn đưa số nguyên đứng riêng về dạng căn thức trước khi so sánh chung.

Hai bài vừa qua xử lý căn thức có thừa số nguyên đứng ngoài hoặc bên trong. Bài sau chuyển sang một dạng khác: căn thức của một PHÂN SỐ. Làm sao để mẫu số dưới dấu căn không còn "vướng" khi rút gọn?