Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Tìm hai số biết tổng và tích
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em dựng đúng phương trình $t^2-St+P=0$ để tìm hai số khi biết tổng S và tích P của chúng, biết kiểm tra điều kiện tồn tại $S^2-4P\ge0$, và áp dụng kỹ năng này vào bài toán thực tế lẫn bài toán tham số dùng Vi-ét theo chiều ngược.
Kiến thức nền cần nhớ
Bài trước cho em chiều "từ nghiệm suy ra tổng và tích". Bài này đi ngược lại: biết tổng S và tích P của hai số, dựng lại phương trình có đúng hai số đó làm nghiệm. Em cần vững công thức nghiệm (Δ hoặc Δ′) để giải phương trình vừa dựng, và nhớ rằng không phải cặp (S, P) nào cũng cho ra hai số thực — đó là lý do luôn phải kiểm tra điều kiện tồn tại trước khi kết luận.
Khởi động
Hai số có tổng bằng 9, tích bằng 20 — đó là hai số nào? Thử đoán vài cặp: 1 và 8 (tích 8, sai), 4 và 5 (tổng 9, tích 20 — đúng). Đoán được với số nhỏ, nhưng nếu tổng là 137 và tích là 4290 thì đoán kiểu này gần như bất khả thi. Hệ thức Vi-ét theo chiều ngược cho em một cách dựng ra đáp số chắc chắn, không cần đoán.
Kiến thức trọng tâm
Nếu hai số u, v có $u+v=S$ và $u\cdot v=P$, thì u và v chính là hai nghiệm của phương trình $t^2-St+P=0$ (ẩn t). Vì sao? Xét phương trình có hai nghiệm u, v — theo hệ thức Vi-ét (bài trước) với hệ số $a=1$, tổng hai nghiệm phải bằng $-b/a=S$ nên $b=-S$, tích hai nghiệm phải bằng $c/a=P$ nên $c=P$; thay lại đúng ra phương trình $t^2-St+P=0$.
Phương trình này có nghiệm hay không phụ thuộc vào $\Delta=S^2-4P$. Nếu $S^2-4P\ge0$, u và v tồn tại (là hai nghiệm thực của phương trình); nếu $S^2-4P<0$, KHÔNG tồn tại hai số thực nào có đúng tổng S và tích P đó — dù đề bài có nghe hợp lý đến đâu. Kiểm tra điều kiện này trước khi giải là bước bắt buộc, không phải bước tuỳ chọn.
Kỹ thuật này đặc biệt hữu ích với bài toán hình chữ nhật: biết chu vi và diện tích, cần tìm chiều dài và chiều rộng. Nửa chu vi chính là tổng hai cạnh (S), diện tích chính là tích hai cạnh (P) — chuyển thẳng bài toán hình học thành bài toán "tìm hai số biết tổng và tích" mà không cần đặt hai ẩn riêng cho chiều dài và chiều rộng rồi giải hệ. Cách làm với hệ hai ẩn vẫn cho ra đúng kết quả, nhưng đi đường vòng hơn hẳn — dựng thẳng $t^2-St+P=0$ chỉ cần một ẩn, một phương trình, và đúng công cụ Δ đã quen từ hai bài trước.
Nửa chu vi là tổng hai cạnh (S), diện tích là tích hai cạnh (P) — hai cạnh là nghiệm của $t^2-St+P=0$.
Ví dụ minh hoạ
Ví dụ
Tìm hai số biết tổng và tích
1
Tìm hai số biết tổng bằng 9 và tích bằng 20.
2
Hai số là nghiệm của $t^2-9t+20=0$.
3
$\Delta=81-80=1$, $\sqrt\Delta=1$; $t=\dfrac{9\pm1}{2}$, tức 5 hoặc 4.
4
Vậy hai số cần tìm là 4 và 5.
Ví dụ
Áp dụng vào bài toán hình chữ nhật
1
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 22 m, diện tích 24 m². Tính chiều dài và chiều rộng.
2
Nửa chu vi $S=22:2=11$ (m), diện tích $P=24$ (m²) — chiều dài và chiều rộng là hai nghiệm của $t^2-11t+24=0$.
3
$\Delta=121-96=25$, $\sqrt\Delta=5$; $t=\dfrac{11\pm5}{2}$, tức 8 hoặc 3.
4
Vì chiều dài lớn hơn chiều rộng: chiều dài = 8 m, chiều rộng = 3 m (kiểm tra: chu vi 2·(8+3) = 22 m, diện tích 8·3 = 24 m², TMĐK).
5
Vậy chiều dài mảnh vườn là 8 m, chiều rộng là 3 m.
Ví dụ
Kiểm tra điều kiện tồn tại trước khi kết luận
1
Có tồn tại hai số thực có tổng bằng 5 và tích bằng 10 hay không?
2
Hai số (nếu có) là nghiệm của $t^2-5t+10=0$. $\Delta=25-40=-15$.
3
$\Delta=-15<0$.
4
Vậy không tồn tại hai số thực nào có tổng bằng 5 và tích bằng 10 — đề bài dạng này chỉ có lời giải khi $S^2\ge4P$.
Ví dụ
Dùng Vi-ét ngược để tìm tham số
1
Cho phương trình $x^2-mx+(m-1)=0$ (m là tham số) có hai nghiệm $x_1,x_2$. Tìm m để $x_1+x_2=3$.
2
Vì $a=1,\ b=-m$, theo Vi-ét $x_1+x_2=-b/a=m$. (1)
3
Từ (1) và giả thiết $x_1+x_2=3$, suy ra $m=3$.
4
$\Delta=m^2-4(m-1)=m^2-4m+4=(m-2)^2\ge0$ với mọi m, nên phương trình luôn có nghiệm, đặc biệt đúng tại $m=3$ (TMĐK).
5
Vậy $m=3$ thoả mãn yêu cầu đề bài.
Luyện tập có hướng dẫn
Luyện tập độc lập
Sai lầm thường gặp
Lỗi phổ biến nhất: quên kiểm tra điều kiện S² − 4P ≥ 0 trước khi kết luận — nếu Δ < 0, việc "tìm hai số" là vô nghiệm, dù đề bài đọc có vẻ hợp lý. Với bài toán hình chữ nhật, lỗi khác hay gặp là lấy nhầm S bằng chu vi thay vì NỬA chu vi, vì tổng chiều dài và chiều rộng chỉ bằng nửa chu vi (chu vi tính cả hai lần mỗi kích thước) — sai một bước này kéo theo toàn bộ phương trình dựng sai.
Kiểm tra nhanh
Ghi nhớ
Hai số có tổng S, tích P là hai nghiệm của $t^2-St+P=0$. Điều kiện tồn tại: $S^2-4P\ge0$. Bài toán hình chữ nhật: S là nửa chu vi, P là diện tích. Với bài toán tham số, dùng Vi-ét để biểu diễn điều kiện đề bài theo tham số rồi kết hợp với điều kiện có nghiệm.
Bốn bài vừa qua dừng lại ở đây với bốn công cụ: công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn, hệ thức Vi-ét, và cách dựng phương trình từ tổng-tích. Chương ôn tập tiếp theo phối hợp cả bốn công cụ này trong những bài toán tổng hợp đúng phong cách đề tuyển sinh vào lớp 10.
Sau bài này, em dựng đúng phương trình t2−St+P=0 để tìm hai số khi biết tổng S và tích P của chúng, biết kiểm tra điều kiện tồn tại S2−4P≥0, và áp dụng kỹ năng này vào bài toán thực tế lẫn bài toán tham số dùng Vi-ét theo chiều ngược.
Bài trước cho em chiều "từ nghiệm suy ra tổng và tích". Bài này đi ngược lại: biết tổng S và tích P của hai số, dựng lại phương trình có đúng hai số đó làm nghiệm. Em cần vững công thức nghiệm (Δ hoặc Δ′) để giải phương trình vừa dựng, và nhớ rằng không phải cặp (S, P) nào cũng cho ra hai số thực — đó là lý do luôn phải kiểm tra điều kiện tồn tại trước khi kết luận.
Nếu hai số u, v có u+v=S và u⋅v=P, thì u và v chính là hai nghiệm của phương trình t2−St+P=0 (ẩn t). Vì sao? Xét phương trình có hai nghiệm u, v — theo hệ thức Vi-ét (bài trước) với hệ số a=1, tổng hai nghiệm phải bằng −b/a=S nên b=−S, tích hai nghiệm phải bằng c/a=P nên c=P; thay lại đúng ra phương trình t2−St+P=0.
Phương trình này có nghiệm hay không phụ thuộc vào Δ=S2−4P. Nếu S2−4P≥0, u và v tồn tại (là hai nghiệm thực của phương trình); nếu S2−4P<0, KHÔNG tồn tại hai số thực nào có đúng tổng S và tích P đó — dù đề bài có nghe hợp lý đến đâu. Kiểm tra điều kiện này trước khi giải là bước bắt buộc, không phải bước tuỳ chọn.
Kỹ thuật này đặc biệt hữu ích với bài toán hình chữ nhật: biết chu vi và diện tích, cần tìm chiều dài và chiều rộng. Nửa chu vi chính là tổng hai cạnh (S), diện tích chính là tích hai cạnh (P) — chuyển thẳng bài toán hình học thành bài toán "tìm hai số biết tổng và tích" mà không cần đặt hai ẩn riêng cho chiều dài và chiều rộng rồi giải hệ. Cách làm với hệ hai ẩn vẫn cho ra đúng kết quả, nhưng đi đường vòng hơn hẳn — dựng thẳng t2−St+P=0 chỉ cần một ẩn, một phương trình, và đúng công cụ Δ đã quen từ hai bài trước.
Nửa chu vi là tổng hai cạnh (S), diện tích là tích hai cạnh (P) — hai cạnh là nghiệm của t2−St+P=0.
Hai số là nghiệm của t2−9t+20=0.
Δ=81−80=1, Δ=1; t=29±1, tức 5 hoặc 4.
Nửa chu vi S=22:2=11 (m), diện tích P=24 (m²) — chiều dài và chiều rộng là hai nghiệm của t2−11t+24=0.
Δ=121−96=25, Δ=5; t=211±5, tức 8 hoặc 3.
Hai số (nếu có) là nghiệm của t2−5t+10=0. Δ=25−40=−15.
Δ=−15<0.
Vậy không tồn tại hai số thực nào có tổng bằng 5 và tích bằng 10 — đề bài dạng này chỉ có lời giải khi S2≥4P.
Cho phương trình x2−mx+(m−1)=0 (m là tham số) có hai nghiệm x1,x2. Tìm m để x1+x2=3.
Vì a=1,b=−m, theo Vi-ét x1+x2=−b/a=m. (1)
Từ (1) và giả thiết x1+x2=3, suy ra m=3.
Δ=m2−4(m−1)=m2−4m+4=(m−2)2≥0 với mọi m, nên phương trình luôn có nghiệm, đặc biệt đúng tại m=3 (TMĐK).
Vậy m=3 thoả mãn yêu cầu đề bài.
Lỗi phổ biến nhất: quên kiểm tra điều kiện S² − 4P ≥ 0 trước khi kết luận — nếu Δ < 0, việc "tìm hai số" là vô nghiệm, dù đề bài đọc có vẻ hợp lý. Với bài toán hình chữ nhật, lỗi khác hay gặp là lấy nhầm S bằng chu vi thay vì NỬA chu vi, vì tổng chiều dài và chiều rộng chỉ bằng nửa chu vi (chu vi tính cả hai lần mỗi kích thước) — sai một bước này kéo theo toàn bộ phương trình dựng sai.
Hai số có tổng S, tích P là hai nghiệm của t2−St+P=0. Điều kiện tồn tại: S2−4P≥0. Bài toán hình chữ nhật: S là nửa chu vi, P là diện tích. Với bài toán tham số, dùng Vi-ét để biểu diễn điều kiện đề bài theo tham số rồi kết hợp với điều kiện có nghiệm.