Bài học

Ôn tập kiến thức trọng tâm phương trình bậc hai và hệ thức Vi-ét

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em chọn đúng công cụ phù hợp — công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn, hay hệ thức Vi-ét — cho từng dạng bài, và phối hợp nhiều công cụ trong cùng một bài toán tổng hợp.

Kiến thức nền cần nhớ

Bốn bài trước đã cho em bốn công cụ riêng biệt: công thức nghiệm tổng quát (Δ), công thức nghiệm thu gọn (Δ′), hệ thức Vi-ét (tổng và tích), và cách dựng phương trình từ tổng-tích. Bài ôn tập này không đưa thêm công cụ mới — nhiệm vụ của em là nhận ra bài toán đang cần công cụ nào, và đôi khi cần vài công cụ phối hợp trong cùng một câu hỏi, đúng như một câu hỏi thi thật sẽ đòi hỏi. Càng luyện nhiều dạng bài khác nhau, phản xạ chọn công cụ càng nhanh, và đó chính là mục tiêu của bài ôn tập này — không phải học thêm công thức, mà rèn phản xạ chọn đúng công thức.

Khởi động

Gặp một phương trình bậc hai, câu hỏi đầu tiên không phải là "Δ bằng bao nhiêu" mà là: đề bài hỏi gì? Nếu đề hỏi nghiệm cụ thể, cần giải bằng công thức. Nếu đề hỏi tổng, tích, hay một biểu thức của hai nghiệm mà không cần biết từng nghiệm, Vi-ét thường nhanh hơn hẳn việc giải ra rồi mới tính. Biết chọn đúng công cụ tiết kiệm rất nhiều thời gian làm bài.

Kiến thức trọng tâm

Với một phương trình $ax^2+bx+c=0$ ( $a\ne0$ ) cho trước, quy trình chung là: kiểm tra b có chia hết cho 2 gọn gàng hay không để chọn Δ hay Δ′; tính biệt thức và biện luận số nghiệm theo dấu của nó; nếu đề chỉ hỏi tổng, tích, hay biểu thức đối xứng của nghiệm, dùng ngay Vi-ét mà không cần giải phương trình ra số cụ thể; nếu đề cho tổng và tích của hai đại lượng cần tìm, dựng phương trình $t^2-St+P=0$ rồi giải như bình thường.

Với một phương trình $ax^2+bx+c=0$ ($a\ne0$) cho trước, quy trình chung là: kiểm tra b có chia hết cho 2 gọn gàng hay không để chọn Δ hay Δ′; tính biệt thức và biện luận số nghiệm theo dấu của nó; nếu đề chỉ hỏi tổng, tích, hay biểu thức đối xứng của nghiệm, dùng ngay Vi-ét mà không cần giải phương trình ra số cụ thể; nếu đề cho tổng và tích của hai đại lượng cần tìm, dựng phương trình $t^2-St+P=0$ rồi giải như bình thường.

Một sai lầm hay gặp ở giai đoạn ôn tập là luôn giải phương trình ra nghiệm cụ thể trước, dù đề chỉ hỏi một biểu thức đối xứng — cách làm này không sai, nhưng chậm hơn hẳn và dễ sai số khi nghiệm là số vô tỉ. Ngược lại, khi đề hỏi đúng giá trị của x, chẳng hạn để thay vào một phương trình khác, Vi-ét không đủ — bắt buộc phải giải ra số cụ thể bằng công thức nghiệm.

Nhìn theo góc "đề hỏi gì" cho dễ nhớ hơn: nếu đề nói "giải phương trình" hoặc "tìm nghiệm", đó là tín hiệu dùng công thức nghiệm hay công thức nghiệm thu gọn. Nếu đề nói "không giải phương trình, tính...", gần như chắc chắn phải dùng Vi-ét, vì đề đã chủ động ngăn không cho giải ra số cụ thể. Nếu đề nói "tìm hai số biết...", đó là tín hiệu dựng phương trình $t^2-St+P=0$ . Còn nếu đề có tham số kèm điều kiện — hai nghiệm phân biệt, hai nghiệm cùng dấu, một biểu thức bằng một giá trị cho trước — gần như chắc chắn cần phối hợp cả Δ (hay Δ′) VÀ Vi-ét trong cùng một bài, đúng như ví dụ thứ ba dưới đây.

Nhìn theo góc "đề hỏi gì" cho dễ nhớ hơn: nếu đề nói "giải phương trình" hoặc "tìm nghiệm", đó là tín hiệu dùng công thức nghiệm hay công thức nghiệm thu gọn. Nếu đề nói "không giải phương trình, tính...", gần như chắc chắn phải dùng Vi-ét, vì đề đã chủ động ngăn không cho giải ra số cụ thể. Nếu đề nói "tìm hai số biết...", đó là tín hiệu dựng phương trình $t^2-St+P=0$. Còn nếu đề có tham số kèm điều kiện — hai nghiệm phân biệt, hai nghiệm cùng dấu, một biểu thức bằng một giá trị cho trước — gần như chắc chắn cần phối hợp cả Δ (hay Δ′) VÀ Vi-ét trong cùng một bài, đúng như ví dụ thứ ba dưới đây.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Chọn công cụ nhanh nhất để giải một phương trình cụ thể

1
Giải phương trình $3x^2-10x+3=0$ .
Giải phương trình $3x^2-10x+3=0$.
2
$b=-10=2\cdot(-5)$ , chọn công thức nghiệm thu gọn với $b'=-5$ .
$b=-10=2\cdot(-5)$, chọn công thức nghiệm thu gọn với $b'=-5$.
3
$\Delta'=(-5)^2-3\cdot3=25-9=16$ , $\sqrt{\Delta'}=4$ .
$\Delta'=(-5)^2-3\cdot3=25-9=16$, $\sqrt{\Delta'}=4$.
4
$x=\dfrac{5\pm4}{3}$ , tức 3 hoặc $\dfrac13$ .
$x=\dfrac{5\pm4}{3}$, tức 3 hoặc $\dfrac13$.
5
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1=3$ và $x_2=\dfrac13$ .
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1=3$ và $x_2=\dfrac13$.

Ví dụ

Tính một biểu thức đối xứng bằng Vi-ét, không giải phương trình

1
Cho phương trình $x^2-2x-3=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ . Không giải phương trình, tính $\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}$ .
Cho phương trình $x^2-2x-3=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$. Không giải phương trình, tính $\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}$.
2
$\Delta=4+12=16>0$ nên phương trình có hai nghiệm.
$\Delta=4+12=16>0$ nên phương trình có hai nghiệm.
3
$x_1+x_2=2$ , $x_1x_2=-3$ (khác 0, nên có thể lập nghịch đảo).
$x_1+x_2=2$, $x_1x_2=-3$ (khác 0, nên có thể lập nghịch đảo).
4
$\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{2}{-3}=-\dfrac23$ .
$\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{2}{-3}=-\dfrac23$.
5
Vậy $\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}=-\dfrac23$ .
Vậy $\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}=-\dfrac23$.

Ví dụ

Kết hợp điều kiện có nghiệm với điều kiện dấu của tích

1
Tìm m để phương trình $x^2-2(m-1)x+m^2-3=0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
Tìm m để phương trình $x^2-2(m-1)x+m^2-3=0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
2
$b'=-(m-1)$ : $\Delta'=(m-1)^2-(m^2-3)=m^2-2m+1-m^2+3=-2m+4$ .
$b'=-(m-1)$: $\Delta'=(m-1)^2-(m^2-3)=m^2-2m+1-m^2+3=-2m+4$.
3
Cần $\Delta'>0$ : $-2m+4>0 \iff m<2$ . (1)
Cần $\Delta'>0$: $-2m+4>0 \iff m<2$. (1)
4
Hai nghiệm cùng dấu khi $x_1x_2>0$ ; theo Vi-ét $x_1x_2=\dfrac ca=m^2-3$ , nên cần $m^2-3>0 \iff m>\sqrt3$ hoặc $m<-\sqrt3$ . (2)
Hai nghiệm cùng dấu khi $x_1x_2>0$; theo Vi-ét $x_1x_2=\dfrac ca=m^2-3$, nên cần $m^2-3>0 \iff m>\sqrt3$ hoặc $m<-\sqrt3$. (2)
5
Từ (1) và (2), suy ra $m<-\sqrt3$ hoặc $\sqrt3<m<2$ .
Từ (1) và (2), suy ra $m<-\sqrt3$ hoặc $\sqrt3<m<2$.
6
Vậy $m<-\sqrt3$ hoặc $\sqrt3<m<2$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
Vậy $m<-\sqrt3$ hoặc $\sqrt3<m<2$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Lỗi hay gặp nhất ở bài ôn tập tổng hợp: quên kiểm tra điều kiện có nghiệm (Δ ≥ 0 hay Δ′ ≥ 0) trước khi dùng Vi-ét, đặc biệt với những bài có tham số — một giá trị m làm Δ < 0 thì toàn bộ phần tính toán sau đó theo Vi-ét trở nên vô nghĩa, dù các phép biến đổi đại số hoàn toàn đúng. Lỗi thứ hai: khi bài yêu cầu hai nghiệm CÙNG dấu, nhiều bạn chỉ xét điều kiện tích dương (x₁x₂ > 0) mà quên luôn cả điều kiện có hai nghiệm phân biệt (Δ > 0) đi kèm — thiếu một trong hai điều kiện là sai cả bài.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Chọn công cụ theo câu hỏi: đề hỏi nghiệm cụ thể → giải bằng Δ hoặc Δ′ (ưu tiên Δ′ khi b chẵn); đề hỏi tổng, tích, hay biểu thức đối xứng → dùng Vi-ét, không cần giải ra số; đề cho tổng và tích của hai đại lượng → dựng t² − St + P = 0. Luôn kiểm tra điều kiện có nghiệm trước khi dùng Vi-ét, đặc biệt khi có tham số.

Bài ôn tập cuối cùng của khoá mô phỏng đúng cấu trúc một câu hỏi phương trình bậc hai — Vi-ét trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thật: nhiều ý nhỏ (a, b, c) trên cùng một phương trình chứa tham số, mỗi ý dùng một công cụ khác nhau trong số bốn công cụ em vừa ôn.