Bài học

Ôn tập dạng bài tổng hợp thi vào lớp 10

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải trọn vẹn một bài toán phương trình bậc hai — Vi-ét nhiều ý liên tiếp, đúng cấu trúc câu hỏi thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10, phối hợp nhẩm nghiệm, điều kiện có nghiệm, và biểu thức đối xứng trong cùng một bài.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này không đưa kiến thức mới — nó ghép lại toàn bộ những gì Course 6 đã học vào một bài toán nhiều ý, đúng cách một đề thi thật sẽ hỏi. Em cần vững cả bốn công cụ của bốn bài trước: công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn, hệ thức Vi-ét, và kỹ thuật nhẩm nghiệm khi a + b + c = 0 hoặc a − b + c = 0.

Khởi động

Một câu hỏi tuyển sinh 10 về phương trình bậc hai hiếm khi chỉ hỏi một ý. Thường có 2 đến 3 ý nhỏ trên cùng một phương trình chứa tham số m: ý đầu có thể yêu cầu chứng minh một tính chất luôn đúng, ý sau hỏi điều kiện của m để phương trình có tính chất nào đó. Bài học hôm nay đi qua trọn vẹn một bài như vậy.

Kiến thức trọng tâm

Xét phương trình $x^2-2(m+1)x+2m+1=0$ với m là tham số. Ba ý dưới đây giải theo đúng thứ tự một đề thi thật sẽ hỏi: trước hết nhận diện một tính chất luôn đúng của phương trình, không phụ thuộc m; sau đó dùng tính chất ấy để trả lời điều kiện có hai nghiệm phân biệt; cuối cùng dùng Vi-ét để tìm m thoả một biểu thức cụ thể của hai nghiệm. Cách làm này nhanh hơn hẳn việc tính Δ rồi giải công thức nghiệm tổng quát ngay từ đầu, vì nhẩm nghiệm cho luôn cả hai nghiệm theo m mà không cần đụng đến căn thức. Ba ý này cũng tiêu biểu cho lý do một câu hỏi thi thật gần như luôn xây theo kiểu bậc thang: ý sau dùng lại kết quả của ý trước, nên bỏ sót hay làm sai một ý sớm sẽ kéo theo sai luôn những ý còn lại — khác hẳn cách làm bài tập rời rạc mà mỗi câu độc lập với nhau.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Câu a — Chứng minh phương trình luôn có nghiệm x = 1

1
Cho phương trình $x^2-2(m+1)x+2m+1=0$ . Chứng minh phương trình luôn có một nghiệm bằng 1 với mọi m, và tìm nghiệm còn lại theo m.
Cho phương trình $x^2-2(m+1)x+2m+1=0$. Chứng minh phương trình luôn có một nghiệm bằng 1 với mọi m, và tìm nghiệm còn lại theo m.
2
$a=1,\ b=-2(m+1),\ c=2m+1$ : $a+b+c=1-2(m+1)+(2m+1)=1-2m-2+2m+1=0$ với mọi m. (1)
$a=1,\ b=-2(m+1),\ c=2m+1$: $a+b+c=1-2(m+1)+(2m+1)=1-2m-2+2m+1=0$ với mọi m. (1)
3
Từ (1), phương trình luôn có nghiệm $x_1=1$ với mọi m.
Từ (1), phương trình luôn có nghiệm $x_1=1$ với mọi m.
4
$x_1x_2=\dfrac ca=2m+1$ , mà $x_1=1$ nên $x_2=2m+1$ .
$x_1x_2=\dfrac ca=2m+1$, mà $x_1=1$ nên $x_2=2m+1$.
5
Vậy phương trình luôn có nghiệm $x_1=1$ với mọi m, nghiệm còn lại là $x_2=2m+1$ .
Vậy phương trình luôn có nghiệm $x_1=1$ với mọi m, nghiệm còn lại là $x_2=2m+1$.

Câu a vừa cho hai nghiệm theo m mà không cần đụng tới Δ. Câu b khai thác đúng kết quả đó: thay vì tính Δ′ từ đầu, em có thể so sánh trực tiếp hai nghiệm vừa tìm được để trả lời điều kiện phân biệt, rồi đối chiếu lại bằng Δ′ cho chắc chắn — hai cách phải trùng nhau, và nếu không trùng thì một trong hai bước tính đã sai ở đâu đó.

Ví dụ

Câu b — Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

1
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
2
$b'=-(m+1)$ : $\Delta'=(m+1)^2-(2m+1)=m^2+2m+1-2m-1=m^2$ . Cần $\Delta'>0$ : $m^2>0 \iff m\ne0$ . (2)
$b'=-(m+1)$: $\Delta'=(m+1)^2-(2m+1)=m^2+2m+1-2m-1=m^2$. Cần $\Delta'>0$: $m^2>0 \iff m\ne0$. (2)
3
Theo câu a, hai nghiệm là $x_1=1$ và $x_2=2m+1$ ; hai nghiệm phân biệt khi $x_2\ne x_1$ , tức $2m+1\ne1 \iff m\ne0$ — trùng khớp với (2).
Theo câu a, hai nghiệm là $x_1=1$ và $x_2=2m+1$; hai nghiệm phân biệt khi $x_2\ne x_1$, tức $2m+1\ne1 \iff m\ne0$ — trùng khớp với (2).
4
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m\ne0$ .
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m\ne0$.

Câu c là ý khó nhất, vì nó gộp cả kết quả câu a (hai nghiệm cụ thể theo m) lẫn điều kiện câu b (m khác 0) vào cùng một phương trình ẩn m. Đây đúng là kiểu "nhiều ý xây trên nhau" mà một câu hỏi tuyển sinh 10 thường dùng để phân loại học sinh nắm chắc cả quy trình với học sinh chỉ thuộc công thức rời rạc từng phần.

Ví dụ

Câu c — Tìm m để tổng bình phương hai nghiệm bằng 5

1
Với điều kiện phương trình có hai nghiệm phân biệt ( $m\ne0$ ), tìm m để $x_1^2+x_2^2=5$ .
Với điều kiện phương trình có hai nghiệm phân biệt ($m\ne0$), tìm m để $x_1^2+x_2^2=5$.
2
$x_1=1,\ x_2=2m+1$ , nên $x_1^2+x_2^2=1+(2m+1)^2$ .
$x_1=1,\ x_2=2m+1$, nên $x_1^2+x_2^2=1+(2m+1)^2$.
3
$1+(2m+1)^2=5 \iff (2m+1)^2=4 \iff 2m+1=2$ hoặc $2m+1=-2 \iff m=0,5$ hoặc $m=-1,5$ .
$1+(2m+1)^2=5 \iff (2m+1)^2=4 \iff 2m+1=2$ hoặc $2m+1=-2 \iff m=0,5$ hoặc $m=-1,5$.
4
Cả hai giá trị $m=0,5$ và $m=-1,5$ đều khác 0 nên đều thoả mãn (TMĐK). (3)
Cả hai giá trị $m=0,5$ và $m=-1,5$ đều khác 0 nên đều thoả mãn (TMĐK). (3)
5
Vậy $m=0,5$ hoặc $m=-1,5$ thì $x_1^2+x_2^2=5$ .
Vậy $m=0,5$ hoặc $m=-1,5$ thì $x_1^2+x_2^2=5$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Lỗi hay gặp nhất ở dạng bài nhiều ý: dùng kết quả của ý sau mà quên đối chiếu lại điều kiện đã tìm được ở ý trước — ở bài trên, nếu tìm ra m ở câu c mà quên kiểm tra m ≠ 0 (điều kiện câu b), một nghiệm không hợp lệ có thể bị chấp nhận nhầm dù đề đã giới hạn phạm vi. Lỗi thứ hai: khi Δ (hay Δ′) là một biểu thức luôn không âm dạng bình phương, như m² hay (m − 2)², nhiều bạn kết luận nhầm "phương trình vô nghiệm với một số m" — thực ra một bình phương như vậy KHÔNG BAO GIỜ âm, nên chỉ có duy nhất một giá trị làm Δ = 0 (nghiệm kép), còn lại phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Một bài toán phương trình bậc hai — Vi-ét nhiều ý luôn đi theo mạch: nhận diện tính chất luôn đúng (thường là a + b + c = 0 hoặc a − b + c = 0) → dùng Δ hoặc Δ′ cho điều kiện nghiệm → dùng Vi-ét cho ý hỏi biểu thức cụ thể → đối chiếu mọi điều kiện đã tìm được trước khi kết luận cuối cùng.

Course 6 khép lại ở đây. Toàn bộ bốn công cụ — công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn, hệ thức Vi-ét, và dựng phương trình từ tổng-tích — sẽ còn xuất hiện lại nhiều lần trong các khoá sau, đặc biệt khi bài toán ứng dụng thực tế cần đặt ẩn rồi giải một phương trình bậc hai.