Bài học

Hệ thức Vi-ét và ứng dụng nhẩm nghiệm

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu đúng hệ thức Vi-ét $x_1+x_2=-\dfrac ba$ và $x_1x_2=\dfrac ca$ cho phương trình bậc hai có nghiệm, dùng hệ thức đó để tính tổng, tích, và một số biểu thức đối xứng của hai nghiệm mà không cần giải phương trình, đồng thời nhẩm nhanh nghiệm khi $a+b+c=0$ hoặc $a-b+c=0$ .

Kiến thức nền cần nhớ

Hệ thức Vi-ét chỉ áp dụng được cho phương trình ĐÃ CÓ nghiệm, nên em cần nhớ lại điều kiện Δ ≥ 0 (hoặc Δ′ ≥ 0) của hai bài trước — nếu chưa kiểm tra điều kiện này mà đã vội tính tổng, tích, kết luận có thể sai hoàn toàn, vì một phương trình vô nghiệm thì không hề có x₁, x₂ để nói đến tổng hay tích. Em cũng cần thành thạo phép cộng, nhân phân số, vì −b/a và c/a thường không phải số nguyên, và cần nhớ lại các hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 8 như $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ — nhiều biểu thức đối xứng của nghiệm sẽ cần biến đổi qua chính những hằng đẳng thức này.

Khởi động

Phương trình $2x^2-7x+3=0$ giải ra hai nghiệm $x_1=3$ và $x_2=0,5$ . Cộng lại: $3+0,5=3,5$ . Nhân lại: $3\times0,5=1,5$ . So sánh với hai tỉ số của hệ số: $-b/a=7/2=3,5$ và $c/a=3/2=1,5$ — trùng khớp hoàn toàn với tổng và tích vừa tính. Đây có phải quy luật đúng với mọi phương trình bậc hai có nghiệm, hay chỉ là sự trùng hợp của riêng phương trình này?

Phương trình $2x^2-7x+3=0$ giải ra hai nghiệm $x_1=3$ và $x_2=0,5$. Cộng lại: $3+0,5=3,5$. Nhân lại: $3\times0,5=1,5$. So sánh với hai tỉ số của hệ số: $-b/a=7/2=3,5$ và $c/a=3/2=1,5$ — trùng khớp hoàn toàn với tổng và tích vừa tính. Đây có phải quy luật đúng với mọi phương trình bậc hai có nghiệm, hay chỉ là sự trùng hợp của riêng phương trình này?

Kiến thức trọng tâm

Nếu phương trình $ax^2+bx+c=0$ ( $a\ne0$ ) có hai nghiệm $x_1, x_2$ (kể cả trường hợp nghiệm kép, khi đó $x_1=x_2$ ), thì $x_1+x_2=-\dfrac ba$ và $x_1x_2=\dfrac ca$ — đây là hệ thức Vi-ét, mang tên nhà toán học Pháp François Viète. Có thể kiểm chứng bằng chính công thức nghiệm: cộng hai nghiệm $\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$ và $\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$ , phần $\sqrt\Delta$ triệt tiêu, chỉ còn $\dfrac{-2b}{2a}=-\dfrac ba$ ; nhân hai nghiệm lại, hiệu hai bình phương $(-b)^2-\Delta$ rút gọn đúng thành $4ac$ , chia cho $4a^2$ ra $\dfrac ca$ . Hai kết quả này đúng với MỌI phương trình bậc hai có nghiệm — không phụ thuộc hệ số cụ thể là bao nhiêu, nên em có thể dùng chúng như một công thức có sẵn, không cần lặp lại phép biến đổi mỗi lần áp dụng.

Nếu phương trình $ax^2+bx+c=0$ ($a\ne0$) có hai nghiệm $x_1, x_2$ (kể cả trường hợp nghiệm kép, khi đó $x_1=x_2$), thì $x_1+x_2=-\dfrac ba$ và $x_1x_2=\dfrac ca$ — đây là hệ thức Vi-ét, mang tên nhà toán học Pháp François Viète. Có thể kiểm chứng bằng chính công thức nghiệm: cộng hai nghiệm $\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$ và $\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$, phần $\sqrt\Delta$ triệt tiêu, chỉ còn $\dfrac{-2b}{2a}=-\dfrac ba$; nhân hai nghiệm lại, hiệu hai bình phương $(-b)^2-\Delta$ rút gọn đúng thành $4ac$, chia cho $4a^2$ ra $\dfrac ca$. Hai kết quả này đúng với MỌI phương trình bậc hai có nghiệm — không phụ thuộc hệ số cụ thể là bao nhiêu, nên em có thể dùng chúng như một công thức có sẵn, không cần lặp lại phép biến đổi mỗi lần áp dụng.

Điều đáng chú ý nhất của hệ thức Vi-ét là nó cho tổng và tích mà KHÔNG cần biết từng nghiệm cụ thể là bao nhiêu — rất hữu ích khi đề chỉ hỏi một biểu thức của x₁, x₂ chứ không hỏi nghiệm. Ngược lại, hệ thức này cũng giúp NHẨM nghiệm nhanh trong hai trường hợp đặc biệt. Trường hợp thứ nhất: nếu $a+b+c=0$ , thay $x=1$ vào phương trình sẽ ra đúng $a+b+c=0$ — tức $x=1$ luôn là một nghiệm; nghiệm còn lại tính ngay theo tích, $x_2=\dfrac ca$ (vì $x_1x_2=c/a$ mà $x_1=1$ ).

Điều đáng chú ý nhất của hệ thức Vi-ét là nó cho tổng và tích mà KHÔNG cần biết từng nghiệm cụ thể là bao nhiêu — rất hữu ích khi đề chỉ hỏi một biểu thức của x₁, x₂ chứ không hỏi nghiệm. Ngược lại, hệ thức này cũng giúp NHẨM nghiệm nhanh trong hai trường hợp đặc biệt. Trường hợp thứ nhất: nếu $a+b+c=0$, thay $x=1$ vào phương trình sẽ ra đúng $a+b+c=0$ — tức $x=1$ luôn là một nghiệm; nghiệm còn lại tính ngay theo tích, $x_2=\dfrac ca$ (vì $x_1x_2=c/a$ mà $x_1=1$).

Trường hợp thứ hai: nếu $a-b+c=0$ , thay $x=-1$ vào phương trình cho $a(-1)^2+b(-1)+c=a-b+c=0$ , nên $x=-1$ là một nghiệm; nghiệm còn lại là $x_2=-\dfrac ca$ (dấu trừ vì $x_1=-1$ nên $x_1x_2=-x_2=c/a$ , suy ra $x_2=-c/a$ ). Hai trường hợp này xuất hiện rất thường xuyên trong đề thi — chỉ cần cộng nhanh a, b, c (hoặc a, −b, c) là biết ngay có nhẩm được nghiệm hay không, khỏi cần tính Δ.

Trường hợp thứ hai: nếu $a-b+c=0$, thay $x=-1$ vào phương trình cho $a(-1)^2+b(-1)+c=a-b+c=0$, nên $x=-1$ là một nghiệm; nghiệm còn lại là $x_2=-\dfrac ca$ (dấu trừ vì $x_1=-1$ nên $x_1x_2=-x_2=c/a$, suy ra $x_2=-c/a$). Hai trường hợp này xuất hiện rất thường xuyên trong đề thi — chỉ cần cộng nhanh a, b, c (hoặc a, −b, c) là biết ngay có nhẩm được nghiệm hay không, khỏi cần tính Δ.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tính tổng và tích hai nghiệm mà không giải phương trình

1
Không giải phương trình, tính $x_1+x_2$ và $x_1x_2$ của $2x^2-7x+3=0$ .
Không giải phương trình, tính $x_1+x_2$ và $x_1x_2$ của $2x^2-7x+3=0$.
2
$a=2,\ b=-7,\ c=3$ . $\Delta=49-24=25>0$ nên phương trình có hai nghiệm.
$a=2,\ b=-7,\ c=3$. $\Delta=49-24=25>0$ nên phương trình có hai nghiệm.
3
$x_1+x_2=-\dfrac{-7}{2}=3,5$ ; $x_1x_2=\dfrac32=1,5$ .
$x_1+x_2=-\dfrac{-7}{2}=3,5$; $x_1x_2=\dfrac32=1,5$.
4
Vậy $x_1+x_2=3,5$ và $x_1x_2=1,5$ .
Vậy $x_1+x_2=3,5$ và $x_1x_2=1,5$.

Ví dụ

Nhẩm nghiệm khi a + b + c = 0

1
Tìm nghiệm của phương trình $x^2-5x+4=0$ bằng cách nhẩm.
Tìm nghiệm của phương trình $x^2-5x+4=0$ bằng cách nhẩm.
2
$a=1,\ b=-5,\ c=4$ : $a+b+c=1-5+4=0$ .
$a=1,\ b=-5,\ c=4$: $a+b+c=1-5+4=0$.
3
Vì $a+b+c=0$ , phương trình có nghiệm $x_1=1$ .
Vì $a+b+c=0$, phương trình có nghiệm $x_1=1$.
4
$x_1x_2=\dfrac ca=4$ , mà $x_1=1$ nên $x_2=4$ .
$x_1x_2=\dfrac ca=4$, mà $x_1=1$ nên $x_2=4$.
5
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1=1$ và $x_2=4$ .
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1=1$ và $x_2=4$.

Ví dụ

Chứng minh phương trình luôn nhẩm được nghiệm với mọi tham số

1
Cho phương trình $x^2-(m+1)x+m=0$ (m là tham số). Chứng minh phương trình luôn có nghiệm x = 1 với mọi m, và tìm nghiệm còn lại.
Cho phương trình $x^2-(m+1)x+m=0$ (m là tham số). Chứng minh phương trình luôn có nghiệm x = 1 với mọi m, và tìm nghiệm còn lại.
2
$a=1,\ b=-(m+1),\ c=m$ : $a+b+c=1-(m+1)+m=1-m-1+m=0$ với mọi m. (1)
$a=1,\ b=-(m+1),\ c=m$: $a+b+c=1-(m+1)+m=1-m-1+m=0$ với mọi m. (1)
3
Từ (1), theo hệ thức Vi-ét dạng nhẩm nghiệm, $x=1$ luôn là một nghiệm của phương trình với mọi giá trị của m.
Từ (1), theo hệ thức Vi-ét dạng nhẩm nghiệm, $x=1$ luôn là một nghiệm của phương trình với mọi giá trị của m.
4
$x_1x_2=\dfrac ca=m$ , mà $x_1=1$ nên $x_2=m$ .
$x_1x_2=\dfrac ca=m$, mà $x_1=1$ nên $x_2=m$.
5
Vậy phương trình luôn có nghiệm $x_1=1$ với mọi m, nghiệm còn lại là $x_2=m$ .
Vậy phương trình luôn có nghiệm $x_1=1$ với mọi m, nghiệm còn lại là $x_2=m$.

Ví dụ

Tính một biểu thức đối xứng của hai nghiệm

1
Không giải phương trình, tính $x_1^2+x_2^2$ của $x^2-4x+2=0$ .
Không giải phương trình, tính $x_1^2+x_2^2$ của $x^2-4x+2=0$.
2
$\Delta=16-8=8>0$ nên phương trình có hai nghiệm.
$\Delta=16-8=8>0$ nên phương trình có hai nghiệm.
3
$x_1+x_2=4$ , $x_1x_2=2$ .
$x_1+x_2=4$, $x_1x_2=2$.
4
Theo hằng đẳng thức $(x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2$ , suy ra $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4^2-2\cdot2=16-4=12$ .
Theo hằng đẳng thức $(x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2$, suy ra $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4^2-2\cdot2=16-4=12$.
5
Vậy $x_1^2+x_2^2=12$ .
Vậy $x_1^2+x_2^2=12$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Lỗi hay gặp nhất: dùng hệ thức Vi-ét mà quên kiểm tra phương trình có nghiệm hay không trước. Với Δ < 0, phương trình vô nghiệm trên tập số thực — không hề tồn tại x₁, x₂ để nói đến tổng hay tích, nên áp dụng công thức −b/a, c/a lúc này vô nghĩa dù các con số vẫn tính ra được. Lỗi thứ hai: nhầm dấu trong hai công thức nhẩm nghiệm — khi a − b + c = 0 thì nghiệm là x = −1 (không phải x = 1), và nghiệm còn lại mang dấu trừ trước c/a; còn khi a + b + c = 0 mới là x = 1 và nghiệm kia là c/a không có dấu trừ. Hai công thức trông giống nhau nhưng dấu khác hẳn.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Với $ax^2+bx+c=0$ có nghiệm ( $\Delta\ge0$ ): $x_1+x_2=-b/a$ , $x_1x_2=c/a$ . Nếu $a+b+c=0$ , một nghiệm là x = 1, nghiệm kia là c/a. Nếu a − b + c = 0, một nghiệm là x = −1, nghiệm kia là −c/a. Hệ thức Vi-ét cho phép tính nhiều biểu thức đối xứng của x₁, x₂ (như x₁²+x₂², 1/x₁+1/x₂) mà không cần giải phương trình.

Với $ax^2+bx+c=0$ có nghiệm ($\Delta\ge0$): $x_1+x_2=-b/a$, $x_1x_2=c/a$. Nếu $a+b+c=0$, một nghiệm là x = 1, nghiệm kia là c/a. Nếu a − b + c = 0, một nghiệm là x = −1, nghiệm kia là −c/a. Hệ thức Vi-ét cho phép tính nhiều biểu thức đối xứng của x₁, x₂ (như x₁²+x₂², 1/x₁+1/x₂) mà không cần giải phương trình.

Hệ thức Vi-ét đi từ nghiệm suy ra tổng và tích. Bài sau đi theo chiều ngược lại: biết tổng và tích của hai số, làm sao dựng lại chính hai số đó?