Bài học

Lập bảng tần số và tần số tương đối

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em lập được bảng tần số từ một dãy số liệu thống kê, tính đúng tần số tương đối của mỗi giá trị theo phần trăm, và biết cách suy ngược — từ một tần số tương đối đã biết cùng một dữ kiện khác — để tìm tần số hoặc cỡ mẫu còn thiếu.

Kiến thức nền cần nhớ

Từ lớp 7 và lớp 8, em đã quen với dấu hiệu điều tra và việc đếm xem mỗi giá trị xuất hiện bao nhiêu lần trong một dãy số liệu — đó chính là tần số, chỉ khác ở tên gọi. Lớp 9 thêm một đại lượng mới đi kèm: tần số tương đối, tức tỉ lệ phần trăm mà mỗi giá trị chiếm trong toàn bộ dữ liệu. Em cũng cần nhớ lại thao tác đổi một phân số ra phần trăm bằng cách nhân với 100%, vì bài học hôm nay dùng phép đổi đó liên tục.

Khởi động

Cô giáo tổ 1 vừa chấm xong bài kiểm tra 15 phút của 20 bạn. Cô có trong tay 20 con số — điểm của từng bạn — nhưng nhìn một dãy 20 số rời rạc thì rất khó hình dung cả lớp học ra sao: bao nhiêu bạn đạt điểm khá, bao nhiêu bạn cần ôn lại. Làm thế nào để gom 20 con số lộn xộn ấy thành một bảng gọn, đọc một lần là hiểu ngay?

Kiến thức trọng tâm

Giả sử một dấu hiệu điều tra nhận các giá trị $x_1, x_2, \ldots, x_k$ trên $n$ đối tượng được khảo sát (n gọi là cỡ mẫu). Tần số của giá trị $x_i$ , ký hiệu $n_i$ , là số lần $x_i$ xuất hiện trong dãy số liệu. Bảng liệt kê từng giá trị cùng tần số của nó gọi là bảng tần số.

Giả sử một dấu hiệu điều tra nhận các giá trị $x_1, x_2, \ldots, x_k$ trên $n$ đối tượng được khảo sát (n gọi là cỡ mẫu). **Tần số** của giá trị $x_i$, ký hiệu $n_i$, là số lần $x_i$ xuất hiện trong dãy số liệu. Bảng liệt kê từng giá trị cùng tần số của nó gọi là bảng tần số.

Tần số tương đối của $x_i$ là tỉ số giữa tần số $n_i$ và cỡ mẫu $n$ , thường viết dưới dạng phần trăm: $f_i = \dfrac{n_i}{n}\times100\%$ . Vì mỗi đối tượng khảo sát đúng một lần rơi vào đúng một giá trị, tổng tất cả các tần số tương đối trong một bảng luôn bằng 100% — dùng ngay tính chất này để kiểm tra lại bảng vừa lập có sai sót hay không, hoặc để suy ra một ô còn thiếu mà không cần đếm lại từ đầu.

**Tần số tương đối** của $x_i$ là tỉ số giữa tần số $n_i$ và cỡ mẫu $n$, thường viết dưới dạng phần trăm: $f_i = \dfrac{n_i}{n}\times100\%$. Vì mỗi đối tượng khảo sát đúng một lần rơi vào đúng một giá trị, tổng tất cả các tần số tương đối trong một bảng luôn bằng 100% — dùng ngay tính chất này để kiểm tra lại bảng vừa lập có sai sót hay không, hoặc để suy ra một ô còn thiếu mà không cần đếm lại từ đầu.

Hai chiều đọc bảng tần số đều có ích. Đọc xuôi — biết tần số và cỡ mẫu, tính tần số tương đối — là thao tác thường gặp nhất. Nhưng đọc ngược — biết tần số tương đối và một trong hai đại lượng còn lại (tần số hoặc cỡ mẫu), tìm đại lượng kia — mới là dạng hay xuất hiện trong đề thi, vì nó đòi hỏi em hiểu công thức chứ không chỉ áp dụng máy móc.

Tần số tương đối tương ứng lần lượt là

5\%, 20\%, 30\%, 25\%, 15\%, 5\%

— cộng lại đúng bằng

100\%

.Tần số tương đối tương ứng lần lượt là $5\%, 20\%, 30\%, 25\%, 15\%, 5\%$ — cộng lại đúng bằng $100\%$.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Lập bảng tần số và tần số tương đối từ điểm kiểm tra

1
Điểm kiểm tra 15 phút của 20 học sinh tổ 1 như sau: có 1 bạn đạt 5 điểm, 4 bạn đạt 6 điểm, 6 bạn đạt 7 điểm, 5 bạn đạt 8 điểm, 3 bạn đạt 9 điểm và 1 bạn đạt 10 điểm. Lập bảng tần số và bảng tần số tương đối của dấu hiệu này.
2
Ta có tổng các tần số phải bằng số học sinh được khảo sát. Cộng lại: $1+4+6+5+3+1=20$ , đúng bằng 20 học sinh của tổ — vậy bảng tần số trên không thiếu, không thừa số liệu nào.
Ta có tổng các tần số phải bằng số học sinh được khảo sát. Cộng lại: $1+4+6+5+3+1=20$, đúng bằng 20 học sinh của tổ — vậy bảng tần số trên không thiếu, không thừa số liệu nào.
3
Áp dụng $f_i=\dfrac{n_i}{n}\times100\%$ với $n=20$ : điểm 5 có $f=\dfrac{1}{20}\times100\%=5\%$ ; điểm 6 có $f=\dfrac{4}{20}\times100\%=20\%$ ; điểm 7 có $f=\dfrac{6}{20}\times100\%=30\%$ ; điểm 8 có $f=\dfrac{5}{20}\times100\%=25\%$ ; điểm 9 có $f=\dfrac{3}{20}\times100\%=15\%$ ; điểm 10 có $f=\dfrac{1}{20}\times100\%=5\%$ .
Áp dụng $f_i=\dfrac{n_i}{n}\times100\%$ với $n=20$: điểm 5 có $f=\dfrac{1}{20}\times100\%=5\%$; điểm 6 có $f=\dfrac{4}{20}\times100\%=20\%$; điểm 7 có $f=\dfrac{6}{20}\times100\%=30\%$; điểm 8 có $f=\dfrac{5}{20}\times100\%=25\%$; điểm 9 có $f=\dfrac{3}{20}\times100\%=15\%$; điểm 10 có $f=\dfrac{1}{20}\times100\%=5\%$.
4
Cộng các tần số tương đối: $5\%+20\%+30\%+25\%+15\%+5\%=100\%$ (TMĐK, đúng như tính chất đã nêu ở phần kiến thức trọng tâm).
Cộng các tần số tương đối: $5\%+20\%+30\%+25\%+15\%+5\%=100\%$ (TMĐK, đúng như tính chất đã nêu ở phần kiến thức trọng tâm).
5
Vậy bảng tần số tương đối là: 5 điểm — 5%; 6 điểm — 20%; 7 điểm — 30%; 8 điểm — 25%; 9 điểm — 15%; 10 điểm — 5%.

Ví dụ

Suy ra tần số còn thiếu từ tổng 100%

1
Khảo sát môn thể thao yêu thích của 40 học sinh khối 9 cho kết quả: tần số tương đối của môn Bóng đá là 35%, môn Cầu lông là 25%, môn Bóng bàn là 20%, còn lại là các môn khác. a) Tính tần số (số học sinh) của mỗi môn Bóng đá, Cầu lông, Bóng bàn. b) Tính tần số và tần số tương đối của nhóm 'môn khác'.
2
Theo công thức $n_i=f_i\times n$ với $n=40$ : Bóng đá có $35\%\times40=14$ học sinh; Cầu lông có $25\%\times40=10$ học sinh; Bóng bàn có $20\%\times40=8$ học sinh.
Theo công thức $n_i=f_i\times n$ với $n=40$: Bóng đá có $35\%\times40=14$ học sinh; Cầu lông có $25\%\times40=10$ học sinh; Bóng bàn có $20\%\times40=8$ học sinh.
3
Ta có $35\%+25\%+20\%=80\%$ , nên tần số tương đối của nhóm 'môn khác' là $100\%-80\%=20\%$ . Suy ra tần số của nhóm này là $20\%\times40=8$ học sinh.
Ta có $35\%+25\%+20\%=80\%$, nên tần số tương đối của nhóm 'môn khác' là $100\%-80\%=20\%$. Suy ra tần số của nhóm này là $20\%\times40=8$ học sinh.
4
Cộng bốn tần số: $14+10+8+8=40$ (TMĐK, đúng bằng tổng số học sinh được khảo sát).
Cộng bốn tần số: $14+10+8+8=40$ (TMĐK, đúng bằng tổng số học sinh được khảo sát).
5
Vậy môn Bóng đá có 14 học sinh, Cầu lông có 10 học sinh, Bóng bàn có 8 học sinh, và nhóm môn khác có 8 học sinh, chiếm 20%.

Ví dụ

Suy ngược cỡ mẫu từ một tần số và tần số tương đối đã biết

1
Đội văn nghệ của trường có tần số tương đối của học sinh khối 9 là 20%, biết có 16 bạn khối 9 tham gia đội. Hỏi đội văn nghệ có tất cả bao nhiêu thành viên?
2
Gọi $n$ là tổng số thành viên của đội (n>0, n nguyên). Theo công thức tần số tương đối, $f=\dfrac{16}{n}\times100\%=20\%$ .
Gọi $n$ là tổng số thành viên của đội (n>0, n nguyên). Theo công thức tần số tương đối, $f=\dfrac{16}{n}\times100\%=20\%$.
3
Từ $\dfrac{16}{n}\times100\%=20\%$ , suy ra $\dfrac{16}{n}=\dfrac{20}{100}=\dfrac{1}{5}$ , do đó $n=16\times5=80$ .
Từ $\dfrac{16}{n}\times100\%=20\%$, suy ra $\dfrac{16}{n}=\dfrac{20}{100}=\dfrac{1}{5}$, do đó $n=16\times5=80$.
4
Với $n=80$ : $\dfrac{16}{80}\times100\%=20\%$ , đúng như đề cho, và $n=80$ là số nguyên dương hợp lý cho số thành viên một đội văn nghệ.
Với $n=80$: $\dfrac{16}{80}\times100\%=20\%$, đúng như đề cho, và $n=80$ là số nguyên dương hợp lý cho số thành viên một đội văn nghệ.
5
Vậy đội văn nghệ của trường có 80 thành viên.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn khi tính tần số tương đối lại chia tần số cho SỐ GIÁ TRỊ KHÁC NHAU của dấu hiệu (ví dụ chia cho 6, vì bảng có 6 mức điểm), thay vì chia cho cỡ mẫu n (tổng số học sinh được khảo sát). Hai đại lượng này hoàn toàn khác nhau — số giá trị khác nhau chỉ là số dòng của bảng, còn cỡ mẫu mới là tổng số đối tượng đứng sau các dòng đó. Trước khi tính, luôn hỏi lại: n ở đây là tổng bao nhiêu người/vật được điều tra, chứ không phải bảng có bao nhiêu dòng.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Tần số $n_i$ là số lần giá trị $x_i$ xuất hiện; tần số tương đối $f_i=\dfrac{n_i}{n}\times100\%$ là tỉ lệ phần trăm mà $x_i$ chiếm trong cỡ mẫu n. Tổng mọi tần số tương đối trong một bảng luôn bằng 100% — dùng ngay tính chất này để kiểm tra bảng hoặc suy ra một ô còn thiếu.

Bảng tần số vừa lập ở trên đọc được, nhưng vẫn là một dãy con số. Bài sau sẽ dùng chính bảng này để vẽ biểu đồ — khi đó em chỉ cần liếc mắt một lần là thấy ngay lớp học lệch về phía điểm nào, không cần đọc từng dòng số liệu nữa.