Bài học

Phép thử, biến cố và xác suất trong mô hình đồng khả năng

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em xác định đúng không gian mẫu của một phép thử đơn giản, mô tả được một biến cố như một tập con của không gian mẫu, và tính đúng xác suất của biến cố theo công thức cổ điển $P(A)=\dfrac{\text{số kết quả thuận lợi}}{\text{số kết quả có thể}}$ trong mô hình mà mọi kết quả đồng khả năng xảy ra.

Kiến thức nền cần nhớ

Từ lớp 6 và lớp 8, em đã làm quen sơ bộ với khả năng xảy ra của một sự kiện qua các ví dụ tung đồng xu, gieo xúc xắc. Bài học này chính thức hoá trực giác đó bằng một công thức tính toán được. Em cũng cần nhớ cách rút gọn phân số, vì kết quả xác suất thường được viết dưới dạng phân số tối giản.

Khởi động

Một trò chơi bốc thăm có 8 lá thăm giống hệt nhau về hình dạng, trong đó 3 lá trúng thưởng. Nếu em bốc ngẫu nhiên một lá, em có cảm giác khả năng trúng thưởng là bao nhiêu phần trong tổng số lá? Câu trả lời "3 trên 8" nghe có vẻ hiển nhiên — nhưng vì sao lại được phép chia đơn giản như vậy, và điều kiện gì khiến phép chia đó đúng?

Kiến thức trọng tâm

Phép thử là một hành động hoặc thí nghiệm mà kết quả không đoán trước chắc chắn được, chẳng hạn gieo một con xúc xắc hay lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp. Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử gọi là không gian mẫu, ký hiệu $\Omega$ . Với xúc xắc 6 mặt, $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ .

**Phép thử** là một hành động hoặc thí nghiệm mà kết quả không đoán trước chắc chắn được, chẳng hạn gieo một con xúc xắc hay lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp. Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử gọi là **không gian mẫu**, ký hiệu $\Omega$. Với xúc xắc 6 mặt, $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$.

Biến cố là một tập con của không gian mẫu, mô tả một sự kiện mà ta quan tâm — ví dụ biến cố A: "xuất hiện mặt có số chấm chẵn" ứng với $A=\{2,4,6\}$ . Khi mọi kết quả trong $\Omega$ có khả năng xảy ra như nhau — gọi là mô hình đồng khả năng — xác suất của biến cố A được tính bằng $P(A)=\dfrac{\text{số kết quả thuận lợi cho A}}{\text{số kết quả có thể của }\Omega}$ .

**Biến cố** là một tập con của không gian mẫu, mô tả một sự kiện mà ta quan tâm — ví dụ biến cố A: "xuất hiện mặt có số chấm chẵn" ứng với $A=\{2,4,6\}$. Khi mọi kết quả trong $\Omega$ có khả năng xảy ra như nhau — gọi là mô hình **đồng khả năng** — xác suất của biến cố A được tính bằng $P(A)=\dfrac{\text{số kết quả thuận lợi cho A}}{\text{số kết quả có thể của }\Omega}$.

Công thức trên chỉ đúng khi mọi kết quả đồng khả năng — xúc xắc phải cân đối, đồng xu phải không lệch, các viên bi trong hộp phải giống hệt nhau về hình dạng và chỉ khác màu. Nếu một mặt xúc xắc bị mài mòn khiến nó dễ xuất hiện hơn các mặt khác, công thức đếm số kết quả thuận lợi chia cho tổng số kết quả không còn áp dụng được nữa — đó là lý do mọi đề bài dạng này đều nói rõ "cân đối", "đồng chất" hay tương đương.

P(A)=\dfrac{\text{số kết quả thuận lợi cho A}}{\text{số kết quả có thể của }\Omega}

.$P(A)=\dfrac{\text{số kết quả thuận lợi cho A}}{\text{số kết quả có thể của }\Omega}$.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tính xác suất khi gieo một con xúc xắc

1
Gieo một con xúc xắc 6 mặt cân đối. Tính xác suất để xuất hiện mặt 6 chấm.
2
Xúc xắc cân đối nên mọi mặt đồng khả năng xuất hiện. Không gian mẫu $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ , có 6 kết quả.
Xúc xắc cân đối nên mọi mặt đồng khả năng xuất hiện. Không gian mẫu $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$, có 6 kết quả.
3
Gọi A là biến cố "xuất hiện mặt 6 chấm", ta có $A=\{6\}$ , chỉ 1 kết quả thuận lợi.
Gọi A là biến cố "xuất hiện mặt 6 chấm", ta có $A=\{6\}$, chỉ 1 kết quả thuận lợi.
4
Theo công thức cổ điển, $P(A)=\dfrac{1}{6}$ .
Theo công thức cổ điển, $P(A)=\dfrac{1}{6}$.
5
Vậy xác suất xuất hiện mặt 6 chấm là $\dfrac{1}{6}$ .
Vậy xác suất xuất hiện mặt 6 chấm là $\dfrac{1}{6}$.

Ví dụ

Tính xác suất khi lấy ngẫu nhiên một viên bi

1
Một hộp có 3 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh, các viên bi giống hệt nhau về kích thước, chỉ khác màu. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp. Tính xác suất lấy được bi đỏ.
2
Tổng số bi trong hộp là $3+5=8$ , các viên đồng khả năng được lấy vì giống hệt nhau về hình dạng, nên $\Omega$ có 8 kết quả.
Tổng số bi trong hộp là $3+5=8$, các viên đồng khả năng được lấy vì giống hệt nhau về hình dạng, nên $\Omega$ có 8 kết quả.
3
Gọi B là biến cố "lấy được bi đỏ". Số kết quả thuận lợi cho B chính là số bi đỏ, bằng 3.
4
Theo công thức, $P(B)=\dfrac{3}{8}$ .
Theo công thức, $P(B)=\dfrac{3}{8}$.
5
Vậy xác suất lấy được bi đỏ là $\dfrac{3}{8}$ .
Vậy xác suất lấy được bi đỏ là $\dfrac{3}{8}$.

Ví dụ

Suy ngược số bi đỏ khi biết xác suất

1
Một hộp có 20 viên bi gồm bi đỏ và bi xanh, các viên bi giống hệt nhau về hình dạng. Biết xác suất lấy được bi đỏ khi lấy ngẫu nhiên 1 viên là 0,35. a) Tính số bi đỏ trong hộp. b) Tính xác suất lấy được bi xanh.
2
Gọi $k$ là số bi đỏ trong hộp ( $k$ nguyên, $0\le k\le20$ ). Vì các viên bi đồng khả năng, $P(\text{đỏ})=\dfrac{k}{20}$ . Theo đề, $\dfrac{k}{20}=0{,}35$ , suy ra $k=0{,}35\times20=7$ .
Gọi $k$ là số bi đỏ trong hộp ($k$ nguyên, $0\le k\le20$). Vì các viên bi đồng khả năng, $P(\text{đỏ})=\dfrac{k}{20}$. Theo đề, $\dfrac{k}{20}=0{,}35$, suy ra $k=0{,}35\times20=7$.
3
Với $k=7$ : $\dfrac{7}{20}=0{,}35$ , đúng như đề cho, và $k=7$ là số nguyên hợp lý ( $0\le7\le20$ ).
Với $k=7$: $\dfrac{7}{20}=0{,}35$, đúng như đề cho, và $k=7$ là số nguyên hợp lý ($0\le7\le20$).
4
Biến cố "lấy được bi xanh" là biến cố đối của biến cố "lấy được bi đỏ", nên $P(\text{xanh})=1-P(\text{đỏ})=1-0{,}35=0{,}65$ .
Biến cố "lấy được bi xanh" là biến cố đối của biến cố "lấy được bi đỏ", nên $P(\text{xanh})=1-P(\text{đỏ})=1-0{,}35=0{,}65$.
5
Vậy hộp có 7 viên bi đỏ (và 13 viên bi xanh), xác suất lấy được bi xanh là $0{,}65$ .
Vậy hộp có 7 viên bi đỏ (và 13 viên bi xanh), xác suất lấy được bi xanh là $0{,}65$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn quên kiểm tra điều kiện "đồng khả năng" trước khi áp dụng công thức $P(A)=\dfrac{\text{thuận lợi}}{\text{có thể}}$ . Chẳng hạn với câu hỏi "gieo hai xúc xắc, tính xác suất tổng hai mặt bằng 7", không được đếm trực tiếp các tổng có thể (2 đến 12, tức 11 giá trị) rồi chia cho 11 — vì 11 giá trị tổng đó KHÔNG đồng khả năng (tổng 7 xuất hiện nhiều cách hơn tổng 2). Phải đếm trên không gian mẫu gồm các cặp kết quả $(i,j)$ , ở đó mỗi cặp mới thực sự đồng khả năng.

Nhiều bạn quên kiểm tra điều kiện "đồng khả năng" trước khi áp dụng công thức $P(A)=\dfrac{\text{thuận lợi}}{\text{có thể}}$. Chẳng hạn với câu hỏi "gieo hai xúc xắc, tính xác suất tổng hai mặt bằng 7", không được đếm trực tiếp các tổng có thể (2 đến 12, tức 11 giá trị) rồi chia cho 11 — vì 11 giá trị tổng đó KHÔNG đồng khả năng (tổng 7 xuất hiện nhiều cách hơn tổng 2). Phải đếm trên không gian mẫu gồm các cặp kết quả $(i,j)$, ở đó mỗi cặp mới thực sự đồng khả năng.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Bốn bước cố định cho mọi bài xác suất mô hình đồng khả năng: xác định $\Omega$ , xác định biến cố A, đếm số kết quả thuận lợi, rồi tính $P(A)=\dfrac{\text{thuận lợi}}{\text{có thể}}$ . Biến cố đối của A luôn có $P(\text{đối})=1-P(A)$ — dùng ngay khi đếm trực tiếp A khó hơn đếm biến cố đối.

Bốn bước cố định cho mọi bài xác suất mô hình đồng khả năng: xác định $\Omega$, xác định biến cố A, đếm số kết quả thuận lợi, rồi tính $P(A)=\dfrac{\text{thuận lợi}}{\text{có thể}}$. Biến cố đối của A luôn có $P(\text{đối})=1-P(A)$ — dùng ngay khi đếm trực tiếp A khó hơn đếm biến cố đối.

Xác suất vừa học là xác suất lý thuyết — tính trước, không cần thử nghiệm. Nhưng trong đời sống, nhiều khi ta chỉ có dữ liệu từ những lần thử thực tế, không có mô hình đồng khả năng rõ ràng để tính trước. Bài sau sẽ nối lại thống kê và xác suất: dùng bảng tần số của một thí nghiệm để ước lượng xác suất, rồi so sánh với xác suất lý thuyết.