Bài học

Xác suất thực nghiệm và xác suất lý thuyết

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính được xác suất thực nghiệm của một biến cố từ bảng tần số của nhiều lần thử, so sánh được xác suất thực nghiệm với xác suất lý thuyết, và giải được bài toán suy ngược — biết xác suất thực nghiệm, tìm lại tần số hoặc số lần thử.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này ghép hai kỹ năng đã học riêng lẻ: lập bảng tần số, tần số tương đối (chương 1) và công thức xác suất cổ điển $P(A)=\dfrac{\text{thuận lợi}}{\text{có thể}}$ (chương 3). Nếu em chưa chắc cách tính tần số tương đối theo phần trăm, nên xem lại bài 1 trước khi học tiếp, vì công thức xác suất thực nghiệm hôm nay chính là công thức tần số tương đối, chỉ đổi tên gọi.

Khởi động

Lý thuyết nói xác suất xuất hiện mặt sấp khi tung một đồng xu cân đối là đúng 0,5 — một nửa. Nhưng nếu em thực sự tung một đồng xu 50 lần và đếm, liệu có đúng chính xác 25 lần sấp không? Nếu không đúng chính xác 25, con số thực tế đếm được có còn ý nghĩa gì không, hay chỉ là may rủi vô nghĩa?

Kiến thức trọng tâm

Khi thực hiện một phép thử n lần và đếm số lần biến cố A xảy ra (gọi là tần số của A trong n lần thử, ký hiệu $n_A$ ), tỉ số $\dfrac{n_A}{n}$ được gọi là xác suất thực nghiệm của A. Đây chính xác là công thức tần số tương đối đã học ở chương 1, chỉ khác cách gọi vì bối cảnh đang nói về xác suất.

Khi thực hiện một phép thử **n lần** và đếm số lần biến cố A xảy ra (gọi là tần số của A trong n lần thử, ký hiệu $n_A$), tỉ số $\dfrac{n_A}{n}$ được gọi là **xác suất thực nghiệm** của A. Đây chính xác là công thức tần số tương đối đã học ở chương 1, chỉ khác cách gọi vì bối cảnh đang nói về xác suất.

Ngược lại, xác suất lý thuyết — như $P(A)=\dfrac{\text{thuận lợi}}{\text{có thể}}$ đã học ở chương 3 — được tính trước, không cần thử nghiệm, chỉ dựa vào việc đếm các kết quả có thể của một mô hình đồng khả năng. Hai con số này thường không bằng nhau tuyệt đối ở một số lần thử cụ thể, vì mỗi lần thử vẫn mang yếu tố ngẫu nhiên — nhưng khi số lần thử n càng lớn, xác suất thực nghiệm càng có xu hướng tiến gần xác suất lý thuyết. Đây là lý do các sòng bạc, công ty bảo hiểm hay nhà máy kiểm định chất lượng đều dựa vào số liệu thu thập từ rất nhiều lần thử, chứ không dựa vào vài lần thử ít ỏi.

Ngược lại, **xác suất lý thuyết** — như $P(A)=\dfrac{\text{thuận lợi}}{\text{có thể}}$ đã học ở chương 3 — được tính trước, không cần thử nghiệm, chỉ dựa vào việc đếm các kết quả có thể của một mô hình đồng khả năng. Hai con số này thường không bằng nhau tuyệt đối ở một số lần thử cụ thể, vì mỗi lần thử vẫn mang yếu tố ngẫu nhiên — nhưng khi số lần thử n càng lớn, xác suất thực nghiệm càng có xu hướng tiến gần xác suất lý thuyết. Đây là lý do các sòng bạc, công ty bảo hiểm hay nhà máy kiểm định chất lượng đều dựa vào số liệu thu thập từ rất nhiều lần thử, chứ không dựa vào vài lần thử ít ỏi.

Vì cùng một công thức tỉ số, xác suất thực nghiệm cũng đọc ngược được y hệt tần số tương đối: biết xác suất thực nghiệm và số lần thử n, suy ra tần số $n_A$ bằng cách nhân ngược lại — đây là dạng bài hay xuất hiện khi đề chỉ cho tỉ lệ phần trăm thay vì số liệu thô.

Xác suất thực nghiệm

=\dfrac{n_A}{n}

, càng lớn n thì càng gần xác suất lý thuyết.Xác suất thực nghiệm $=\dfrac{n_A}{n}$, càng lớn n thì càng gần xác suất lý thuyết.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tính xác suất thực nghiệm từ 50 lần tung đồng xu

1
Bạn Minh tung một đồng xu 50 lần và ghi được 27 lần mặt Sấp, 23 lần mặt Ngửa. Tính xác suất thực nghiệm của biến cố "xuất hiện mặt Sấp" và so sánh với xác suất lý thuyết 0,5.
2
Tần số của biến cố "mặt Sấp" là 27 trong $n=50$ lần thử, nên xác suất thực nghiệm là $\dfrac{27}{50}=0{,}54$ .
Tần số của biến cố "mặt Sấp" là 27 trong $n=50$ lần thử, nên xác suất thực nghiệm là $\dfrac{27}{50}=0{,}54$.
3
Xác suất lý thuyết của mặt Sấp (đồng xu cân đối) là 0,5. Ta có $0{,}54$ gần với $0{,}5$ nhưng không bằng hẳn — chênh lệch $0{,}04$ , một khác biệt nhỏ hoàn toàn bình thường ở 50 lần thử.
Xác suất lý thuyết của mặt Sấp (đồng xu cân đối) là 0,5. Ta có $0{,}54$ gần với $0{,}5$ nhưng không bằng hẳn — chênh lệch $0{,}04$, một khác biệt nhỏ hoàn toàn bình thường ở 50 lần thử.
4
Vậy xác suất thực nghiệm của mặt Sấp là $0{,}54$ , gần với xác suất lý thuyết $0,5$ ; nếu Minh tung nhiều lần hơn, tỉ lệ này có xu hướng tiến gần $0,5$ hơn nữa.
Vậy xác suất thực nghiệm của mặt Sấp là $0{,}54$, gần với xác suất lý thuyết $0,5$; nếu Minh tung nhiều lần hơn, tỉ lệ này có xu hướng tiến gần $0,5$ hơn nữa.

Ví dụ

So sánh xác suất thực nghiệm và lý thuyết qua bảng tần số xúc xắc

1
Gieo một con xúc xắc 60 lần, kết quả ghi được: mặt 1 chấm — 8 lần, mặt 2 chấm — 11 lần, mặt 3 chấm — 9 lần, mặt 4 chấm — 10 lần, mặt 5 chấm — 10 lần, mặt 6 chấm — 12 lần. a) Lập bảng tần số tương đối của mỗi mặt. b) Tính xác suất thực nghiệm của biến cố "xuất hiện mặt 6 chấm" và so sánh với xác suất lý thuyết.
2
Cộng các tần số: $8+11+9+10+10+12=60$ , đúng bằng số lần gieo, nên bảng số liệu không thiếu, không thừa.
Cộng các tần số: $8+11+9+10+10+12=60$, đúng bằng số lần gieo, nên bảng số liệu không thiếu, không thừa.
3
Với $n=60$ : mặt 1 có $\dfrac{8}{60}\times100\%\approx13{,}3\%$ ; mặt 2 có $\dfrac{11}{60}\times100\%\approx18{,}3\%$ ; mặt 3 có $\dfrac{9}{60}\times100\%=15\%$ ; mặt 4 và mặt 5 đều có $\dfrac{10}{60}\times100\%\approx16{,}7\%$ ; mặt 6 có $\dfrac{12}{60}\times100\%=20\%$ .
Với $n=60$: mặt 1 có $\dfrac{8}{60}\times100\%\approx13{,}3\%$; mặt 2 có $\dfrac{11}{60}\times100\%\approx18{,}3\%$; mặt 3 có $\dfrac{9}{60}\times100\%=15\%$; mặt 4 và mặt 5 đều có $\dfrac{10}{60}\times100\%\approx16{,}7\%$; mặt 6 có $\dfrac{12}{60}\times100\%=20\%$.
4
Xác suất thực nghiệm của mặt 6 chấm là $\dfrac{12}{60}=0{,}2$ . Xác suất lý thuyết (xúc xắc cân đối, mô hình đồng khả năng) là $\dfrac{1}{6}\approx0{,}167$ . Chênh lệch khoảng $0{,}033$ , một sai khác nhỏ do 60 lần thử chưa phải là rất nhiều.
Xác suất thực nghiệm của mặt 6 chấm là $\dfrac{12}{60}=0{,}2$. Xác suất lý thuyết (xúc xắc cân đối, mô hình đồng khả năng) là $\dfrac{1}{6}\approx0{,}167$. Chênh lệch khoảng $0{,}033$, một sai khác nhỏ do 60 lần thử chưa phải là rất nhiều.
5
Vậy xác suất thực nghiệm của mặt 6 chấm là $0,2$ , cao hơn một chút so với xác suất lý thuyết $\dfrac{1}{6}\approx0{,}167$ — sự chênh lệch này nằm trong phạm vi biến động tự nhiên của một số lần thử chưa quá lớn.
Vậy xác suất thực nghiệm của mặt 6 chấm là $0,2$, cao hơn một chút so với xác suất lý thuyết $\dfrac{1}{6}\approx0{,}167$ — sự chênh lệch này nằm trong phạm vi biến động tự nhiên của một số lần thử chưa quá lớn.

Nếu xúc xắc thật sự cân đối, sáu cột lẽ ra phải xấp xỉ bằng nhau (khoảng 10 lần mỗi mặt) — sự chênh lệch nhỏ ở đây là biến động ngẫu nhiên của 60 lần thử.

Ví dụ

Suy ngược số lần thắng từ xác suất thực nghiệm

1
Trong 200 lần thử một trò chơi, xác suất thực nghiệm của việc thắng là 0,32. a) Hỏi có bao nhiêu lần thắng trong 200 lần thử đó? b) Biết xác suất lý thuyết của việc thắng (tính theo luật chơi) là 0,3, hãy nhận xét kết quả thực nghiệm.
2
Gọi $n_A$ là số lần thắng. Theo định nghĩa xác suất thực nghiệm, $\dfrac{n_A}{200}=0{,}32$ , suy ra $n_A=0{,}32\times200=64$ .
Gọi $n_A$ là số lần thắng. Theo định nghĩa xác suất thực nghiệm, $\dfrac{n_A}{200}=0{,}32$, suy ra $n_A=0{,}32\times200=64$.
3
Với $n_A=64$ : $\dfrac{64}{200}=0{,}32$ , đúng như đề cho, và $n_A=64$ là số nguyên hợp lý ( $0\le64\le200$ ).
Với $n_A=64$: $\dfrac{64}{200}=0{,}32$, đúng như đề cho, và $n_A=64$ là số nguyên hợp lý ($0\le64\le200$).
4
Xác suất thực nghiệm $0{,}32$ so với xác suất lý thuyết $0{,}3$ chênh lệch $0{,}02$ , một sai khác nhỏ và hoàn toàn hợp lý ở 200 lần thử — không đủ căn cứ để nói luật chơi có vấn đề.
Xác suất thực nghiệm $0{,}32$ so với xác suất lý thuyết $0{,}3$ chênh lệch $0{,}02$, một sai khác nhỏ và hoàn toàn hợp lý ở 200 lần thử — không đủ căn cứ để nói luật chơi có vấn đề.
5
Vậy trong 200 lần thử có 64 lần thắng, và kết quả thực nghiệm 0,32 khớp khá sát với xác suất lý thuyết 0,3.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn thấy xác suất thực nghiệm khác xác suất lý thuyết liền cho rằng "công thức lý thuyết sai" hoặc "đồng xu/xúc xắc có vấn đề". Thực ra một chênh lệch nhỏ ở vài chục lần thử là hoàn toàn bình thường — xác suất lý thuyết chỉ đúng khi số lần thử tiến tới rất lớn. Chỉ nên nghi ngờ mô hình đồng khả năng khi chênh lệch lớn và số lần thử đã đủ nhiều, chứ không kết luận vội sau vài chục lần.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Xác suất thực nghiệm $=\dfrac{\text{tần số của biến cố}}{\text{số lần thử } n}$ — đúng công thức tần số tương đối đã học, chỉ đổi tên. Số lần thử càng lớn, xác suất thực nghiệm càng tiến gần xác suất lý thuyết. Biết xác suất thực nghiệm và n, suy ngược được tần số bằng phép nhân.

Em đã đi trọn vòng: từ bảng tần số, đến biểu đồ, đến xác suất lý thuyết, rồi vòng lại xác suất thực nghiệm để kiểm chứng lý thuyết bằng thực tế. Chương cuối sẽ ghép cả bốn kỹ năng này vào những bài toán tổng hợp, đúng dạng câu hỏi thống kê — xác suất thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10.