Bài học

Giới hạn đàn hồi và lực đàn hồi tối đa

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải thích được thế nào là giới hạn đàn hồi, tính được lực đàn hồi tối đa mà một lò xo còn chịu được trong giới hạn đó, và kiểm tra được một lực cho trước có làm lò xo vượt giới hạn đàn hồi hay không.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã nêu định luật Hooke $F = k|\Delta l|$ và nhắc đi nhắc lại điều kiện "trong giới hạn đàn hồi" (same-grade bridge) mà chưa giải thích cặn kẽ. Bài này làm rõ đúng điều kiện đó.

Khởi động

Nếu tiếp tục kéo một sợi dây chun ngày càng mạnh hơn, đến một lúc nào đó nó không còn co lại đúng chiều dài cũ khi thả tay ra nữa, thậm chí có thể đứt hẳn. Điều gì đã thay đổi ở bên trong sợi dây chun tại thời điểm đó?

Kiến thức trọng tâm

Định luật Hooke $F = k|\Delta l|$ chỉ đúng trong một phạm vi biến dạng nhất định của mỗi lò xo, gọi là giới hạn đàn hồi. Trong phạm vi này, lò xo bị kéo hay nén rồi thả ra sẽ tự trở về đúng chiều dài tự nhiên $l_0$ , và lực đàn hồi tỉ lệ thuận với độ biến dạng đúng như định luật Hooke mô tả.

Nếu độ biến dạng vượt quá giá trị $\Delta l_{\text{max}}$ ứng với giới hạn đàn hồi, lò xo bước sang một trạng thái khác: lực đàn hồi không còn tăng theo đúng tỉ lệ với $\Delta l$ nữa, và khi thôi tác dụng lực, lò xo không co về đúng chiều dài $l_0$ như cũ — nó còn giữ lại một phần biến dạng, gọi là biến dạng dư. Nếu tiếp tục tăng lực vượt xa hơn nữa, vật rắn có thể bị đứt hoặc gãy hẳn. Sợi dây chun ở phần khởi động, khi kéo quá mạnh, đã vượt qua giới hạn đàn hồi của chính nó — đó là lý do nó không còn co lại đúng chiều dài cũ.

Mỗi lò xo hay vật liệu có một độ biến dạng giới hạn $\Delta l_{\text{max}}$ riêng, do nhà sản xuất xác định bằng thực nghiệm. Từ đó ta tính được lực đàn hồi tối đa mà lò xo còn chịu được trong giới hạn đàn hồi bằng chính công thức định luật Hooke: $F_{\text{max}} = k \times \Delta l_{\text{max}}$ . Với một lực $F$ bất kỳ đặt vào lò xo, muốn biết lò xo có còn nằm trong giới hạn đàn hồi hay không, ta so sánh $F$ với $F_{\text{max}}$ (hoặc tương đương, so sánh $\Delta l$ tính từ $F$ với $\Delta l_{\text{max}}$ ): nếu $F \le F_{\text{max}}$ thì lò xo vẫn đàn hồi bình thường; nếu $F > F_{\text{max}}$ thì lò xo đã vượt giới hạn đàn hồi, sẽ có biến dạng dư và không còn tuân theo $F = k|\Delta l|$ nữa.

Giới hạn đàn hồi khác nhau rất nhiều giữa các vật liệu. Một sợi dây thép đàn hồi tốt có thể chịu biến dạng tương đối lớn mà vẫn phục hồi hoàn toàn, trong khi một sợi dây đồng mềm hơn thường đạt giới hạn đàn hồi sớm hơn với cùng kích thước. Đó là lý do khi chọn vật liệu cho một chi tiết chịu lực — một lò xo giảm xóc, một sợi cáp treo — người thiết kế không chỉ quan tâm đến độ cứng $k$ mà còn phải biết chính xác giới hạn đàn hồi của vật liệu đó, vì hai lò xo có cùng $k$ vẫn có thể chịu được lực tối đa rất khác nhau nếu giới hạn đàn hồi của chúng khác nhau.

Định luật Hooke $F = k|\Delta l|$ chỉ đúng trong một phạm vi biến dạng nhất định của mỗi lò xo, gọi là **giới hạn đàn hồi**. Trong phạm vi này, lò xo bị kéo hay nén rồi thả ra sẽ tự trở về đúng chiều dài tự nhiên $l_0$, và lực đàn hồi tỉ lệ thuận với độ biến dạng đúng như định luật Hooke mô tả. Nếu độ biến dạng vượt quá giá trị $\Delta l_{\text{max}}$ ứng với giới hạn đàn hồi, lò xo bước sang một trạng thái khác: lực đàn hồi không còn tăng theo đúng tỉ lệ với $\Delta l$ nữa, và khi thôi tác dụng lực, lò xo không co về đúng chiều dài $l_0$ như cũ — nó còn giữ lại một phần biến dạng, gọi là **biến dạng dư**. Nếu tiếp tục tăng lực vượt xa hơn nữa, vật rắn có thể bị đứt hoặc gãy hẳn. Sợi dây chun ở phần khởi động, khi kéo quá mạnh, đã vượt qua giới hạn đàn hồi của chính nó — đó là lý do nó không còn co lại đúng chiều dài cũ. Mỗi lò xo hay vật liệu có một độ biến dạng giới hạn $\Delta l_{\text{max}}$ riêng, do nhà sản xuất xác định bằng thực nghiệm. Từ đó ta tính được **lực đàn hồi tối đa** mà lò xo còn chịu được trong giới hạn đàn hồi bằng chính công thức định luật Hooke: $F_{\text{max}} = k \times \Delta l_{\text{max}}$. Với một lực $F$ bất kỳ đặt vào lò xo, muốn biết lò xo có còn nằm trong giới hạn đàn hồi hay không, ta so sánh $F$ với $F_{\text{max}}$ (hoặc tương đương, so sánh $\Delta l$ tính từ $F$ với $\Delta l_{\text{max}}$): nếu $F \le F_{\text{max}}$ thì lò xo vẫn đàn hồi bình thường; nếu $F > F_{\text{max}}$ thì lò xo đã vượt giới hạn đàn hồi, sẽ có biến dạng dư và không còn tuân theo $F = k|\Delta l|$ nữa. Giới hạn đàn hồi khác nhau rất nhiều giữa các vật liệu. Một sợi dây thép đàn hồi tốt có thể chịu biến dạng tương đối lớn mà vẫn phục hồi hoàn toàn, trong khi một sợi dây đồng mềm hơn thường đạt giới hạn đàn hồi sớm hơn với cùng kích thước. Đó là lý do khi chọn vật liệu cho một chi tiết chịu lực — một lò xo giảm xóc, một sợi cáp treo — người thiết kế không chỉ quan tâm đến độ cứng $k$ mà còn phải biết chính xác giới hạn đàn hồi của vật liệu đó, vì hai lò xo có cùng $k$ vẫn có thể chịu được lực tối đa rất khác nhau nếu giới hạn đàn hồi của chúng khác nhau.

Trước điểm

(0{,}2; 20)

, đồ thị là đường thẳng đúng định luật Hooke. Sau điểm đó,

F

vẫn tăng khi

\Delta l

tăng nhưng không còn theo đúng tỉ lệ — dấu hiệu lò xo đã vượt giới hạn đàn hồi.Trước điểm $(0{,}2; 20)$, đồ thị là đường thẳng đúng định luật Hooke. Sau điểm đó, $F$ vẫn tăng khi $\Delta l$ tăng nhưng không còn theo đúng tỉ lệ — dấu hiệu lò xo đã vượt giới hạn đàn hồi.

Ví dụ

Tính lực đàn hồi tối đa của một lò xo

1
Một lò xo thử nghiệm có độ cứng $k = 100$ N/m và giới hạn đàn hồi ứng với độ biến dạng tối đa $\Delta l_{\text{max}} = 0{,}2$ m. Tính lực đàn hồi tối đa mà lò xo còn chịu được trong giới hạn đàn hồi. Nếu tác dụng một lực $25$ N vào lò xo này, điều gì sẽ xảy ra?
Một lò xo thử nghiệm có độ cứng $k = 100$ N/m và giới hạn đàn hồi ứng với độ biến dạng tối đa $\Delta l_{\text{max}} = 0{,}2$ m. Tính lực đàn hồi tối đa mà lò xo còn chịu được trong giới hạn đàn hồi. Nếu tác dụng một lực $25$ N vào lò xo này, điều gì sẽ xảy ra?
2
Áp dụng định luật Hooke tại đúng ranh giới: $F_{\text{max}} = k \times \Delta l_{\text{max}} = 100 \times 0{,}2 = 20$ N.
Áp dụng định luật Hooke tại đúng ranh giới: $F_{\text{max}} = k \times \Delta l_{\text{max}} = 100 \times 0{,}2 = 20$ N.
3
Lực đề bài cho là $25$ N, lớn hơn $F_{\text{max}} = 20$ N, nên lực này đã vượt quá lực đàn hồi tối đa của lò xo.
Lực đề bài cho là $25$ N, lớn hơn $F_{\text{max}} = 20$ N, nên lực này đã vượt quá lực đàn hồi tối đa của lò xo.
4
Vậy lực đàn hồi tối đa của lò xo trong giới hạn đàn hồi là $20$ N. Với lực $25$ N, lò xo bị kéo vượt giới hạn đàn hồi: nó không còn tuân theo $F = k|\Delta l|$ và sau khi thôi tác dụng lực sẽ không co về đúng chiều dài tự nhiên ban đầu — lò xo còn lại một biến dạng dư.
Vậy lực đàn hồi tối đa của lò xo trong giới hạn đàn hồi là $20$ N. Với lực $25$ N, lò xo bị kéo vượt giới hạn đàn hồi: nó không còn tuân theo $F = k|\Delta l|$ và sau khi thôi tác dụng lực sẽ không co về đúng chiều dài tự nhiên ban đầu — lò xo còn lại một biến dạng dư.
5
Nếu lực $25$ N vẫn còn nằm trong giới hạn đàn hồi (giả định sai để kiểm tra), độ biến dạng cần có sẽ là $\Delta l = 25/100 = 0{,}25$ m — lớn hơn hẳn $\Delta l_{\text{max}} = 0{,}2$ m đã cho. Việc giả định sai dẫn đến một kết quả mâu thuẫn với chính giới hạn đàn hồi đã biết là một cách kiểm tra chéo hữu ích, khẳng định lại kết luận vượt giới hạn.
Nếu lực $25$ N vẫn còn nằm trong giới hạn đàn hồi (giả định sai để kiểm tra), độ biến dạng cần có sẽ là $\Delta l = 25/100 = 0{,}25$ m — lớn hơn hẳn $\Delta l_{\text{max}} = 0{,}2$ m đã cho. Việc giả định sai dẫn đến một kết quả mâu thuẫn với chính giới hạn đàn hồi đã biết là một cách kiểm tra chéo hữu ích, khẳng định lại kết luận vượt giới hạn.

Ví dụ

Kiểm tra một lò xo có vượt giới hạn đàn hồi không (dạng thi)

1
Một lò xo khác có độ cứng $k = 40$ N/m và giới hạn đàn hồi ứng với $\Delta l_{\text{max}} = 0{,}15$ m. Treo một vật nặng có trọng lượng $8$ N vào lò xo này. Lò xo có còn nằm trong giới hạn đàn hồi hay không?
Một lò xo khác có độ cứng $k = 40$ N/m và giới hạn đàn hồi ứng với $\Delta l_{\text{max}} = 0{,}15$ m. Treo một vật nặng có trọng lượng $8$ N vào lò xo này. Lò xo có còn nằm trong giới hạn đàn hồi hay không?
2
Giả sử lò xo còn đàn hồi, áp dụng định luật Hooke: $|\Delta l| = F/k = 8/40 = 0{,}2$ m.
Giả sử lò xo còn đàn hồi, áp dụng định luật Hooke: $|\Delta l| = F/k = 8/40 = 0{,}2$ m.
3
So sánh $\Delta l = 0{,}2$ m với $\Delta l_{\text{max}} = 0{,}15$ m, ta thấy $0{,}2 > 0{,}15$ , tức là độ biến dạng cần thiết để tạo ra lực $8$ N đã vượt quá giới hạn đàn hồi của lò xo.
So sánh $\Delta l = 0{,}2$ m với $\Delta l_{\text{max}} = 0{,}15$ m, ta thấy $0{,}2 > 0{,}15$, tức là độ biến dạng cần thiết để tạo ra lực $8$ N đã vượt quá giới hạn đàn hồi của lò xo.
4
Vì vậy giả thiết "lò xo còn đàn hồi" ở bước đầu không còn đúng nữa: giá trị $\Delta l = 0{,}2$ m tính được chỉ là ước lượng, thực tế lò xo đã vượt giới hạn đàn hồi nên không còn dãn đúng theo tỉ lệ $F = k|\Delta l|$ — độ dãn thật sẽ khác đi và lò xo bị biến dạng dư.
Vì vậy giả thiết "lò xo còn đàn hồi" ở bước đầu không còn đúng nữa: giá trị $\Delta l = 0{,}2$ m tính được chỉ là ước lượng, thực tế lò xo đã vượt giới hạn đàn hồi nên không còn dãn đúng theo tỉ lệ $F = k|\Delta l|$ — độ dãn thật sẽ khác đi và lò xo bị biến dạng dư.
5
Vậy với lực $8$ N, lò xo có $k = 40$ N/m và $\Delta l_{\text{max}} = 0{,}15$ m KHÔNG còn nằm trong giới hạn đàn hồi — cần thay lò xo cứng hơn hoặc chịu lực nhỏ hơn nếu muốn dùng đúng công thức $F = k|\Delta l|$ .
Vậy với lực $8$ N, lò xo có $k = 40$ N/m và $\Delta l_{\text{max}} = 0{,}15$ m KHÔNG còn nằm trong giới hạn đàn hồi — cần thay lò xo cứng hơn hoặc chịu lực nhỏ hơn nếu muốn dùng đúng công thức $F = k|\Delta l|$.

Sai lầm thường gặp

Lỗi hay gặp là áp dụng $F = k|\Delta l|$ cho mọi lực mà không kiểm tra điều kiện giới hạn đàn hồi trước, dẫn đến kết luận sai về độ biến dạng thật của vật. Luôn so sánh $F$ với $F_{\text{max}} = k \times \Delta l_{\text{max}}$ (hoặc $\Delta l$ tính được với $\Delta l_{\text{max}}$ ) trước khi khẳng định kết quả tính từ định luật Hooke là chính xác.

Lỗi hay gặp là áp dụng $F = k|\Delta l|$ cho mọi lực mà không kiểm tra điều kiện giới hạn đàn hồi trước, dẫn đến kết luận sai về độ biến dạng thật của vật. Luôn so sánh $F$ với $F_{\text{max}} = k \times \Delta l_{\text{max}}$ (hoặc $\Delta l$ tính được với $\Delta l_{\text{max}}$) trước khi khẳng định kết quả tính từ định luật Hooke là chính xác.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Định luật Hooke $F = k|\Delta l|$ chỉ đúng trong giới hạn đàn hồi. Lực đàn hồi tối đa trong giới hạn đó là $F_{\text{max}} = k \times \Delta l_{\text{max}}$ — luôn so sánh lực thực tế với $F_{\text{max}}$ trước khi kết luận.

Việc kiểm tra giới hạn đàn hồi này không chỉ là bài tập lý thuyết — nó chính là điều các kỹ sư phải làm mỗi khi thiết kế một thiết bị dùng biến dạng đàn hồi, từ một chiếc lực kế nhỏ trong phòng thí nghiệm đến một hệ thống chịu tải quy mô lớn ngoài công trường. Bài tiếp theo xem xét những ứng dụng thực tế đó, bắt đầu từ một dụng cụ quen thuộc: lực kế.