Bài học

Cơ năng và định luật bảo toàn cơ năng

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính được cơ năng $W = W_đ + W_t$ của một vật, phát biểu và vận dụng được định luật bảo toàn cơ năng khi chỉ có trọng lực hoặc lực đàn hồi sinh công, và giải được bài toán tìm vận tốc từ độ cao (hoặc ngược lại) mà không cần dùng đến các công thức động học của chương trước.

Kiến thức nền cần nhớ

Hai bài trước em đã học riêng động năng và thế năng (same-grade bridge). Bài này gộp cả hai lại thành một đại lượng gọi là cơ năng, và chỉ ra khi nào tổng đó không đổi trong suốt quá trình chuyển động.

Khởi động

Một quả bóng được thả rơi tự do từ trên cao xuống, bỏ qua sức cản không khí. Khi bóng rơi, thế năng của nó giảm dần vì độ cao giảm. Vậy động năng của bóng thay đổi ra sao trong lúc đó — cũng giảm, hay tăng lên, hay không đổi? Em thử đoán trước khi đọc tiếp.

Kiến thức trọng tâm

Cơ năng của một vật là tổng động năng và thế năng của vật đó tại một thời điểm:

$W = W_đ + W_t$

Khi chỉ có trọng lực (hoặc lực đàn hồi) sinh công lên vật — tức là không có ma sát hay lực cản nào khác lấy đi năng lượng — cơ năng của vật được bảo toàn: nó không đổi trong suốt quá trình chuyển động, dù động năng và thế năng riêng lẻ có thể tăng giảm liên tục.

$W_đ + W_t = \text{không đổi}$

Đây chính là câu trả lời cho tình huống khởi động: khi quả bóng rơi tự do (bỏ qua sức cản không khí, chỉ có trọng lực tác dụng), thế năng giảm bao nhiêu thì động năng tăng đúng bấy nhiêu, để tổng $W_đ + W_t$ luôn giữ nguyên. Nói cách khác, cơ năng không mất đi mà chỉ chuyển hoá qua lại giữa hai dạng: thế năng "biến thành" động năng khi vật rơi xuống, và ngược lại động năng "biến thành" thế năng khi vật được ném lên cao.

Định luật này giúp giải nhanh nhiều bài toán mà cách làm bằng động học sẽ phức tạp hơn hẳn: nếu biết cơ năng tại một vị trí (thường tính dễ dàng vì vật đứng yên hoặc ở độ cao đã biết), ta suy ra ngay vận tốc tại bất kỳ vị trí nào khác trên cùng quỹ đạo mà không cần biết đường đi cụ thể ra sao, miễn là trong suốt quá trình chỉ có trọng lực (hoặc lực đàn hồi) sinh công. Đây là điểm khác biệt quan trọng so với định lí động năng ở bài trước: định lí động năng luôn đúng cho MỌI lực, kể cả ma sát, nhưng bảo toàn cơ năng chỉ đúng khi loại lực duy nhất sinh công là trọng lực hoặc lực đàn hồi — nếu có ma sát, cơ năng sẽ giảm dần theo thời gian, phần hao hụt đúng bằng trị tuyệt đối công của lực ma sát.

Một chi tiết hay gây nhầm lẫn là lực căng dây trong chuyển động của con lắc hoặc vật buộc dây quay tròn: lực căng dây LUÔN vuông góc với hướng chuyển động tức thời của vật (vì vật chuyển động theo cung tròn, còn dây luôn nằm dọc theo bán kính), nên theo đúng quy tắc đã học ở Chương 1, công của lực căng dây luôn bằng 0 tại mọi thời điểm. Do đó lực căng dây không hề phá vỡ sự bảo toàn cơ năng, dù nó là một lực khác ngoài trọng lực đang tác dụng lên vật.

Có thể viết một dạng tổng quát hơn, gộp cả hai trường hợp có và không có ma sát vào một phương trình duy nhất: $W_2 - W_1 = A_{luc khac}$ , trong đó $A_{luc khac}$ là tổng công của mọi lực KHÔNG PHẢI trọng lực và lực đàn hồi. Khi $A_{luc khac} = 0$ (không lực nào khác sinh công), phương trình trở về đúng dạng bảo toàn cơ năng $W_2 = W_1$ đã nêu ở trên; khi có ma sát, $A_{luc khac} = A_{ma sat} < 0$ và cơ năng giảm đúng bằng trị tuyệt đối công cản đó. Định luật bảo toàn cơ năng còn áp dụng được cho con lắc lò xo nằm ngang, nơi một vật gắn vào lò xo trượt trên mặt bàn nhẵn: khi lò xo bị nén rồi thả ra, thế năng đàn hồi chuyển hoá thành động năng của vật, và tổng $W_đ + W_{đh}$ (không có thế năng trọng trường vì chuyển động nằm ngang) luôn không đổi trong suốt quá trình.

**Cơ năng** của một vật là tổng động năng và thế năng của vật đó tại một thời điểm: $$W = W_đ + W_t$$ Khi chỉ có trọng lực (hoặc lực đàn hồi) sinh công lên vật — tức là không có ma sát hay lực cản nào khác lấy đi năng lượng — cơ năng của vật được bảo toàn: nó không đổi trong suốt quá trình chuyển động, dù động năng và thế năng riêng lẻ có thể tăng giảm liên tục. $$W_đ + W_t = \text{không đổi}$$ Đây chính là câu trả lời cho tình huống khởi động: khi quả bóng rơi tự do (bỏ qua sức cản không khí, chỉ có trọng lực tác dụng), thế năng giảm bao nhiêu thì động năng tăng đúng bấy nhiêu, để tổng $W_đ + W_t$ luôn giữ nguyên. Nói cách khác, cơ năng không mất đi mà chỉ chuyển hoá qua lại giữa hai dạng: thế năng "biến thành" động năng khi vật rơi xuống, và ngược lại động năng "biến thành" thế năng khi vật được ném lên cao. Định luật này giúp giải nhanh nhiều bài toán mà cách làm bằng động học sẽ phức tạp hơn hẳn: nếu biết cơ năng tại một vị trí (thường tính dễ dàng vì vật đứng yên hoặc ở độ cao đã biết), ta suy ra ngay vận tốc tại bất kỳ vị trí nào khác trên cùng quỹ đạo mà không cần biết đường đi cụ thể ra sao, miễn là trong suốt quá trình chỉ có trọng lực (hoặc lực đàn hồi) sinh công. Đây là điểm khác biệt quan trọng so với định lí động năng ở bài trước: định lí động năng luôn đúng cho MỌI lực, kể cả ma sát, nhưng bảo toàn cơ năng chỉ đúng khi loại lực duy nhất sinh công là trọng lực hoặc lực đàn hồi — nếu có ma sát, cơ năng sẽ giảm dần theo thời gian, phần hao hụt đúng bằng trị tuyệt đối công của lực ma sát. Một chi tiết hay gây nhầm lẫn là lực căng dây trong chuyển động của con lắc hoặc vật buộc dây quay tròn: lực căng dây LUÔN vuông góc với hướng chuyển động tức thời của vật (vì vật chuyển động theo cung tròn, còn dây luôn nằm dọc theo bán kính), nên theo đúng quy tắc đã học ở Chương 1, công của lực căng dây luôn bằng 0 tại mọi thời điểm. Do đó lực căng dây không hề phá vỡ sự bảo toàn cơ năng, dù nó là một lực khác ngoài trọng lực đang tác dụng lên vật. Có thể viết một dạng tổng quát hơn, gộp cả hai trường hợp có và không có ma sát vào một phương trình duy nhất: $W_2 - W_1 = A_{luc khac}$, trong đó $A_{luc khac}$ là tổng công của mọi lực KHÔNG PHẢI trọng lực và lực đàn hồi. Khi $A_{luc khac} = 0$ (không lực nào khác sinh công), phương trình trở về đúng dạng bảo toàn cơ năng $W_2 = W_1$ đã nêu ở trên; khi có ma sát, $A_{luc khac} = A_{ma sat} < 0$ và cơ năng giảm đúng bằng trị tuyệt đối công cản đó. Định luật bảo toàn cơ năng còn áp dụng được cho con lắc lò xo nằm ngang, nơi một vật gắn vào lò xo trượt trên mặt bàn nhẵn: khi lò xo bị nén rồi thả ra, thế năng đàn hồi chuyển hoá thành động năng của vật, và tổng $W_đ + W_{đh}$ (không có thế năng trọng trường vì chuyển động nằm ngang) luôn không đổi trong suốt quá trình.

Ở đỉnh:

W_t=98

W_đ=0

J. Ở đáy:

W_t=0

W_đ=98

J. Ở giữa:

W_t=49

W_đ=49

J. Tổng

W_đ+W_t

luôn bằng

98

J tại mọi vị trí.Ở đỉnh: $W_t=98$ J, $W_đ=0$ J. Ở đáy: $W_t=0$ J, $W_đ=98$ J. Ở giữa: $W_t=49$ J, $W_đ=49$ J. Tổng $W_đ+W_t$ luôn bằng $98$ J tại mọi vị trí.

Ví dụ

Tính tốc độ chạm đất bằng định luật bảo toàn cơ năng

1
Một vật khối lượng $m = 1$ kg được thả rơi tự do (không vận tốc đầu) từ độ cao $h = 10$ m so với mặt đất, bỏ qua sức cản không khí. Lấy $g = 9{,}8$ m/s². Dùng định luật bảo toàn cơ năng, tính tốc độ của vật ngay trước khi chạm đất.
Một vật khối lượng $m = 1$ kg được thả rơi tự do (không vận tốc đầu) từ độ cao $h = 10$ m so với mặt đất, bỏ qua sức cản không khí. Lấy $g = 9{,}8$ m/s². Dùng định luật bảo toàn cơ năng, tính tốc độ của vật ngay trước khi chạm đất.
2
Chọn mặt đất làm mốc thế năng. Lúc đầu, vật đứng yên ở độ cao $h=10$ m nên $W_{đ1}=0$ J, $W_{t1}=mgh=1 \times 9{,}8 \times 10 = 98$ J. Cơ năng lúc đầu $W_1 = 0 + 98 = 98$ J. (1)
Chọn mặt đất làm mốc thế năng. Lúc đầu, vật đứng yên ở độ cao $h=10$ m nên $W_{đ1}=0$ J, $W_{t1}=mgh=1 \times 9{,}8 \times 10 = 98$ J. Cơ năng lúc đầu $W_1 = 0 + 98 = 98$ J. (1)
3
Ngay trước khi chạm đất, độ cao bằng 0 nên $W_{t2}=0$ J, còn $W_{đ2}=\frac{1}{2}mv^2$ . Vì chỉ có trọng lực sinh công, cơ năng được bảo toàn: $W_2 = W_1$ . Theo (1): $\frac{1}{2}mv^2 + 0 = 98$ . (2)
Ngay trước khi chạm đất, độ cao bằng 0 nên $W_{t2}=0$ J, còn $W_{đ2}=\frac{1}{2}mv^2$. Vì chỉ có trọng lực sinh công, cơ năng được bảo toàn: $W_2 = W_1$. Theo (1): $\frac{1}{2}mv^2 + 0 = 98$. (2)
4
Từ (2): $v^2 = \dfrac{2 \times 98}{1} = 196$ , suy ra $v = \sqrt{196} = 14$ m/s.
Từ (2): $v^2 = \dfrac{2 \times 98}{1} = 196$, suy ra $v = \sqrt{196} = 14$ m/s.
5
Vậy tốc độ của vật ngay trước khi chạm đất là $14$ m/s — kết quả này đạt được nhanh hơn hẳn cách dùng công thức động học $v^2 = 2gh$ , dù thực chất hai cách tương đương nhau khi chỉ có trọng lực tác dụng.
Vậy tốc độ của vật ngay trước khi chạm đất là $14$ m/s — kết quả này đạt được nhanh hơn hẳn cách dùng công thức động học $v^2 = 2gh$, dù thực chất hai cách tương đương nhau khi chỉ có trọng lực tác dụng.

Ví dụ

Con lắc đơn và vai trò của lực căng dây (dạng đề thi)

1
Một con lắc đơn có vật nặng khối lượng $m = 0{,}2$ kg được kéo lệch sang một bên rồi thả nhẹ (không vận tốc đầu) từ độ cao $h = 0{,}5$ m so với vị trí thấp nhất của quỹ đạo. Bỏ qua sức cản không khí. Lấy $g = 9{,}8$ m/s². Tính tốc độ của vật nặng khi nó đi qua vị trí thấp nhất, và giải thích vì sao lực căng dây không được đưa vào phương trình bảo toàn cơ năng.
Một con lắc đơn có vật nặng khối lượng $m = 0{,}2$ kg được kéo lệch sang một bên rồi thả nhẹ (không vận tốc đầu) từ độ cao $h = 0{,}5$ m so với vị trí thấp nhất của quỹ đạo. Bỏ qua sức cản không khí. Lấy $g = 9{,}8$ m/s². Tính tốc độ của vật nặng khi nó đi qua vị trí thấp nhất, và giải thích vì sao lực căng dây không được đưa vào phương trình bảo toàn cơ năng.
2
Lực căng dây luôn vuông góc với hướng chuyển động tức thời của vật nặng (vì vật chuyển động theo cung tròn quanh điểm treo, còn dây luôn dọc theo bán kính), nên theo $A = Fs\cos\alpha$ với $\alpha = 90°$ , công của lực căng dây luôn bằng 0. Do đó chỉ có trọng lực sinh công, và cơ năng của con lắc được bảo toàn. (1)
Lực căng dây luôn vuông góc với hướng chuyển động tức thời của vật nặng (vì vật chuyển động theo cung tròn quanh điểm treo, còn dây luôn dọc theo bán kính), nên theo $A = Fs\cos\alpha$ với $\alpha = 90°$, công của lực căng dây luôn bằng 0. Do đó chỉ có trọng lực sinh công, và cơ năng của con lắc được bảo toàn. (1)
3
Chọn vị trí thấp nhất của quỹ đạo làm mốc thế năng. Ở vị trí thả (cao hơn mốc $0{,}5$ m, đứng yên): $W_1 = mgh = 0{,}2 \times 9{,}8 \times 0{,}5 = 0{,}98$ J. Ở vị trí thấp nhất (độ cao bằng 0): $W_2 = \frac{1}{2}mv^2$ . Theo (1), $W_2 = W_1$ .
Chọn vị trí thấp nhất của quỹ đạo làm mốc thế năng. Ở vị trí thả (cao hơn mốc $0{,}5$ m, đứng yên): $W_1 = mgh = 0{,}2 \times 9{,}8 \times 0{,}5 = 0{,}98$ J. Ở vị trí thấp nhất (độ cao bằng 0): $W_2 = \frac{1}{2}mv^2$. Theo (1), $W_2 = W_1$.
4
$\frac{1}{2} \times 0{,}2 \times v^2 = 0{,}98$ , suy ra $v^2 = \dfrac{2 \times 0{,}98}{0{,}2} = 9{,}8$ , nên $v = \sqrt{9{,}8} \approx 3{,}13$ m/s.
$\frac{1}{2} \times 0{,}2 \times v^2 = 0{,}98$, suy ra $v^2 = \dfrac{2 \times 0{,}98}{0{,}2} = 9{,}8$, nên $v = \sqrt{9{,}8} \approx 3{,}13$ m/s.
5
Vậy tốc độ của vật nặng khi qua vị trí thấp nhất là khoảng $3{,}13$ m/s. Lực căng dây không xuất hiện trong phương trình bảo toàn cơ năng vì nó không sinh công — luôn vuông góc với chuyển động — dù đó là một lực thực sự đang giữ vật chuyển động theo cung tròn.
Vậy tốc độ của vật nặng khi qua vị trí thấp nhất là khoảng $3{,}13$ m/s. Lực căng dây không xuất hiện trong phương trình bảo toàn cơ năng vì nó không sinh công — luôn vuông góc với chuyển động — dù đó là một lực thực sự đang giữ vật chuyển động theo cung tròn.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm hay gặp nhất là áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho cả những quá trình có ma sát hoặc lực cản đáng kể — trong trường hợp đó, cơ năng KHÔNG được bảo toàn, phần cơ năng mất đi đúng bằng trị tuyệt đối công của lực ma sát, và phải dùng dạng tổng quát hơn: $W_2 - W_1 = A_{ma sat}$ . Sai lầm khác là quên đổi mốc thế năng cho hợp lí trước khi viết phương trình bảo toàn, khiến hai vế của phương trình không cùng một hệ quy chiếu độ cao.

Sai lầm hay gặp nhất là áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho cả những quá trình có ma sát hoặc lực cản đáng kể — trong trường hợp đó, cơ năng KHÔNG được bảo toàn, phần cơ năng mất đi đúng bằng trị tuyệt đối công của lực ma sát, và phải dùng dạng tổng quát hơn: $W_2 - W_1 = A_{ma sat}$. Sai lầm khác là quên đổi mốc thế năng cho hợp lí trước khi viết phương trình bảo toàn, khiến hai vế của phương trình không cùng một hệ quy chiếu độ cao.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Cơ năng $W = W_đ + W_t$ được bảo toàn khi chỉ có trọng lực hoặc lực đàn hồi sinh công. Lực căng dây, phản lực vuông góc với chuyển động không phá vỡ sự bảo toàn vì công của chúng bằng 0. Nếu có ma sát, cơ năng giảm đúng bằng trị tuyệt đối công của lực ma sát.

Khoá học tiếp theo học một đại lượng bảo toàn thứ hai — động lượng — đặc biệt hữu ích khi hai vật va chạm nhau, tình huống mà cơ năng thường không còn được bảo toàn nhưng động lượng thì vẫn còn.