Bài học

Thế năng trọng trường và thế năng đàn hồi

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính được thế năng trọng trường $W_t = mgh$ khi đã chọn một mốc thế năng cụ thể, tính được thế năng đàn hồi $W_{đh} = \frac{1}{2}kx^2$ của một lò xo biến dạng, và giải thích được vì sao giá trị thế năng trọng trường phụ thuộc vào mốc được chọn trong khi hiệu hai thế năng thì không.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước em đã học động năng — năng lượng của chuyển động (same-grade bridge). Bài này học một dạng năng lượng khác không đến từ tốc độ mà đến từ vị trí của vật trong trọng trường, hoặc từ mức độ biến dạng của một lò xo — gọi chung là thế năng.

Khởi động

Một quyển sách đặt trên bàn cao $0{,}8$ m so với sàn nhà. Thế năng trọng trường của quyển sách là bao nhiêu — con số đó có thay đổi không nếu ta đo độ cao so với mặt bàn thay vì so với sàn nhà? Em thử đoán trước khi đọc tiếp.

Kiến thức trọng tâm

Thế năng trọng trường của một vật khối lượng $m$ ở độ cao $h$ so với một mốc đã chọn được tính bằng:

$W_t = mgh$

trong đó $g$ là gia tốc trọng trường (thường lấy $g = 9{,}8$ m/s² ở lớp 10). Điểm quan trọng nhất của công thức này là độ cao $h$ luôn được đo so với một mốc thế năng do người giải bài tự chọn — thường là mặt đất, sàn nhà, hoặc một mặt phẳng nào đó thuận tiện cho bài toán — và giá trị $h$ , do đó cả giá trị $W_t$ , phụ thuộc vào mốc đó. Đổi mốc thế năng làm thay đổi con số $W_t$ của cùng một vật ở cùng một vị trí, nhưng hiệu hai thế năng giữa hai vị trí bất kỳ của vật thì luôn không đổi dù chọn mốc nào — vì hiệu đó chỉ phụ thuộc vào độ chênh lệch độ cao thực giữa hai vị trí, không phụ thuộc điểm 0 được đặt ở đâu. Vì vậy, khi giải một bài toán thế năng, việc đầu tiên luôn là nêu rõ mốc đã chọn.

Thế năng đàn hồi là năng lượng tích trong một vật đàn hồi (thường là lò xo) khi nó bị biến dạng — kéo dãn hoặc nén lại — so với trạng thái tự nhiên (không biến dạng). Với một lò xo có độ cứng $k$ bị biến dạng một đoạn $x$ (dãn ra hoặc nén lại đều được tính như nhau), thế năng đàn hồi là:

$W_{đh} = \frac{1}{2} k x^2$

trong đó $k$ có đơn vị N/m và $x$ có đơn vị m, cho $W_{đh}$ đơn vị jun như mọi dạng năng lượng khác. Cũng giống động năng theo $v$ , thế năng đàn hồi tăng theo bình phương của độ biến dạng $x$ : nén lò xo sâu gấp đôi không phải tích thêm gấp đôi năng lượng, mà gấp bốn lần.

Quay lại tình huống khởi động: nếu chọn sàn nhà làm mốc, quyển sách (giả sử khối lượng $0{,}4$ kg) có thế năng $W_t = 0{,}4 \times 9{,}8 \times 0{,}8 \approx 3{,}14$ J. Nếu đổi mốc sang mặt bàn (chính là vị trí quyển sách), độ cao so với mốc mới bằng 0, nên $W_t = 0$ J tại đúng vị trí đó — hai con số hoàn toàn khác nhau cho cùng một quyển sách ở cùng một vị trí vật lí, chỉ vì đổi mốc. Đây không phải một mâu thuẫn: thế năng không phải một đại lượng "tuyệt đối" gắn liền với vật, mà luôn là năng lượng tương đối so với một mốc quy ước — điều thực sự có ý nghĩa vật lí (và không đổi khi đổi mốc) là độ chênh thế năng giữa hai vị trí, ví dụ giữa lúc sách trên bàn và lúc sách rơi xuống sàn.

Công của trọng lực khi vật di chuyển giữa hai độ cao bằng đúng độ giảm thế năng trọng trường: $A_{trong luc} = W_{t1} - W_{t2} = mg(h_1 - h_2)$ , và giá trị này không phụ thuộc đường đi cụ thể của vật giữa hai độ cao đó — dù vật rơi thẳng đứng hay trượt theo một mặt phẳng nghiêng bất kỳ, công của trọng lực vẫn chỉ phụ thuộc vị trí đầu và vị trí cuối. Đây là lí do trọng lực được gọi là một lực thế, và tính chất này sẽ được dùng lại trực tiếp ở bài sau khi phát biểu định luật bảo toàn cơ năng. Khác với thế năng trọng trường, thế năng đàn hồi không cần chọn mốc: trạng thái không biến dạng ( $x = 0$ ) luôn là mốc tự nhiên duy nhất, nên giá trị $W_{đh}$ không phụ thuộc vào việc người giải bài đặt hệ quy chiếu ở đâu.

**Thế năng trọng trường** của một vật khối lượng $m$ ở độ cao $h$ so với một mốc đã chọn được tính bằng: $$W_t = mgh$$ trong đó $g$ là gia tốc trọng trường (thường lấy $g = 9{,}8$ m/s² ở lớp 10). Điểm quan trọng nhất của công thức này là độ cao $h$ luôn được đo so với một **mốc thế năng** do người giải bài tự chọn — thường là mặt đất, sàn nhà, hoặc một mặt phẳng nào đó thuận tiện cho bài toán — và giá trị $h$, do đó cả giá trị $W_t$, phụ thuộc vào mốc đó. Đổi mốc thế năng làm thay đổi con số $W_t$ của cùng một vật ở cùng một vị trí, nhưng **hiệu hai thế năng** giữa hai vị trí bất kỳ của vật thì luôn không đổi dù chọn mốc nào — vì hiệu đó chỉ phụ thuộc vào độ chênh lệch độ cao thực giữa hai vị trí, không phụ thuộc điểm 0 được đặt ở đâu. Vì vậy, khi giải một bài toán thế năng, việc đầu tiên luôn là nêu rõ mốc đã chọn. **Thế năng đàn hồi** là năng lượng tích trong một vật đàn hồi (thường là lò xo) khi nó bị biến dạng — kéo dãn hoặc nén lại — so với trạng thái tự nhiên (không biến dạng). Với một lò xo có độ cứng $k$ bị biến dạng một đoạn $x$ (dãn ra hoặc nén lại đều được tính như nhau), thế năng đàn hồi là: $$W_{đh} = \frac{1}{2} k x^2$$ trong đó $k$ có đơn vị N/m và $x$ có đơn vị m, cho $W_{đh}$ đơn vị jun như mọi dạng năng lượng khác. Cũng giống động năng theo $v$, thế năng đàn hồi tăng theo bình phương của độ biến dạng $x$: nén lò xo sâu gấp đôi không phải tích thêm gấp đôi năng lượng, mà gấp bốn lần. Quay lại tình huống khởi động: nếu chọn sàn nhà làm mốc, quyển sách (giả sử khối lượng $0{,}4$ kg) có thế năng $W_t = 0{,}4 \times 9{,}8 \times 0{,}8 \approx 3{,}14$ J. Nếu đổi mốc sang mặt bàn (chính là vị trí quyển sách), độ cao so với mốc mới bằng 0, nên $W_t = 0$ J tại đúng vị trí đó — hai con số hoàn toàn khác nhau cho cùng một quyển sách ở cùng một vị trí vật lí, chỉ vì đổi mốc. Đây không phải một mâu thuẫn: thế năng không phải một đại lượng "tuyệt đối" gắn liền với vật, mà luôn là năng lượng tương đối so với một mốc quy ước — điều thực sự có ý nghĩa vật lí (và không đổi khi đổi mốc) là độ chênh thế năng giữa hai vị trí, ví dụ giữa lúc sách trên bàn và lúc sách rơi xuống sàn. Công của trọng lực khi vật di chuyển giữa hai độ cao bằng đúng độ giảm thế năng trọng trường: $A_{trong luc} = W_{t1} - W_{t2} = mg(h_1 - h_2)$, và giá trị này không phụ thuộc đường đi cụ thể của vật giữa hai độ cao đó — dù vật rơi thẳng đứng hay trượt theo một mặt phẳng nghiêng bất kỳ, công của trọng lực vẫn chỉ phụ thuộc vị trí đầu và vị trí cuối. Đây là lí do trọng lực được gọi là một lực thế, và tính chất này sẽ được dùng lại trực tiếp ở bài sau khi phát biểu định luật bảo toàn cơ năng. Khác với thế năng trọng trường, thế năng đàn hồi không cần chọn mốc: trạng thái không biến dạng ($x = 0$) luôn là mốc tự nhiên duy nhất, nên giá trị $W_{đh}$ không phụ thuộc vào việc người giải bài đặt hệ quy chiếu ở đâu.

Quy trình này nhấn mạnh bước đầu tiên bắt buộc: nêu rõ mốc thế năng trước khi tính

W_t

, vì giá trị số phụ thuộc trực tiếp vào mốc đó.Quy trình này nhấn mạnh bước đầu tiên bắt buộc: nêu rõ mốc thế năng trước khi tính $W_t$, vì giá trị số phụ thuộc trực tiếp vào mốc đó.

Ví dụ

Thế năng trọng trường và thế năng đàn hồi ở dạng cơ bản

1
Một vật khối lượng $m = 3$ kg ở độ cao $h = 5$ m so với mặt đất (chọn mặt đất làm mốc thế năng). Tính thế năng trọng trường của vật, lấy $g = 9{,}8$ m/s². Một lò xo có độ cứng $k = 200$ N/m bị nén lại $x = 0{,}1$ m so với chiều dài tự nhiên. Tính thế năng đàn hồi của lò xo.
Một vật khối lượng $m = 3$ kg ở độ cao $h = 5$ m so với mặt đất (chọn mặt đất làm mốc thế năng). Tính thế năng trọng trường của vật, lấy $g = 9{,}8$ m/s². Một lò xo có độ cứng $k = 200$ N/m bị nén lại $x = 0{,}1$ m so với chiều dài tự nhiên. Tính thế năng đàn hồi của lò xo.
2
Đã chọn mặt đất làm mốc ( $h$ đo từ mặt đất). Áp dụng $W_t = mgh$ : $W_t = 3 \times 9{,}8 \times 5 = 147$ J.
Đã chọn mặt đất làm mốc ($h$ đo từ mặt đất). Áp dụng $W_t = mgh$: $W_t = 3 \times 9{,}8 \times 5 = 147$ J.
3
Áp dụng $W_{đh} = \frac{1}{2}kx^2$ : $W_{đh} = \frac{1}{2} \times 200 \times 0{,}1^2 = 1$ J.
Áp dụng $W_{đh} = \frac{1}{2}kx^2$: $W_{đh} = \frac{1}{2} \times 200 \times 0{,}1^2 = 1$ J.
4
Vậy thế năng trọng trường của vật là $147$ J (so với mốc mặt đất), và thế năng đàn hồi tích trong lò xo bị nén là $1$ J.
Vậy thế năng trọng trường của vật là $147$ J (so với mốc mặt đất), và thế năng đàn hồi tích trong lò xo bị nén là $1$ J.

Ví dụ

Thế năng tổng hợp và ảnh hưởng của việc đổi mốc (dạng đề thi)

1
Một khối gỗ khối lượng $m = 2$ kg đặt trên mặt bàn cao $1{,}2$ m so với sàn nhà. Khối gỗ được ép vào một lò xo có độ cứng $k = 150$ N/m, nén lò xo lại $x = 0{,}2$ m so với chiều dài tự nhiên. Lấy $g = 9{,}8$ m/s². (a) Tính tổng thế năng (trọng trường cộng đàn hồi) của hệ, chọn sàn nhà làm mốc thế năng trọng trường. (b) Nếu đổi mốc sang mặt bàn, thế năng trọng trường của khối gỗ trở thành bao nhiêu?
Một khối gỗ khối lượng $m = 2$ kg đặt trên mặt bàn cao $1{,}2$ m so với sàn nhà. Khối gỗ được ép vào một lò xo có độ cứng $k = 150$ N/m, nén lò xo lại $x = 0{,}2$ m so với chiều dài tự nhiên. Lấy $g = 9{,}8$ m/s². (a) Tính tổng thế năng (trọng trường cộng đàn hồi) của hệ, chọn sàn nhà làm mốc thế năng trọng trường. (b) Nếu đổi mốc sang mặt bàn, thế năng trọng trường của khối gỗ trở thành bao nhiêu?
2
Thế năng đàn hồi không phụ thuộc mốc thế năng trọng trường, luôn tính từ trạng thái tự nhiên của lò xo: $W_{đh} = \frac{1}{2} \times 150 \times 0{,}2^2 = 3$ J. (1)
Thế năng đàn hồi không phụ thuộc mốc thế năng trọng trường, luôn tính từ trạng thái tự nhiên của lò xo: $W_{đh} = \frac{1}{2} \times 150 \times 0{,}2^2 = 3$ J. (1)
3
Với mốc sàn nhà, độ cao của khối gỗ là $h = 1{,}2$ m: $W_t = 2 \times 9{,}8 \times 1{,}2 = 23{,}52$ J. (2)
Với mốc sàn nhà, độ cao của khối gỗ là $h = 1{,}2$ m: $W_t = 2 \times 9{,}8 \times 1{,}2 = 23{,}52$ J. (2)
4
Theo (1) và (2), tổng thế năng của hệ so với mốc sàn nhà là $W = W_t + W_{đh} = 23{,}52 + 3 = 26{,}52$ J.
Theo (1) và (2), tổng thế năng của hệ so với mốc sàn nhà là $W = W_t + W_{đh} = 23{,}52 + 3 = 26{,}52$ J.
5
Nếu chọn mặt bàn — chính là vị trí khối gỗ — làm mốc mới, độ cao của khối gỗ so với mốc mới bằng 0, nên $W_t' = mg \times 0 = 0$ J. Thế năng đàn hồi không đổi vì không liên quan đến mốc trọng trường, vẫn là $3$ J.
Nếu chọn mặt bàn — chính là vị trí khối gỗ — làm mốc mới, độ cao của khối gỗ so với mốc mới bằng 0, nên $W_t' = mg \times 0 = 0$ J. Thế năng đàn hồi không đổi vì không liên quan đến mốc trọng trường, vẫn là $3$ J.
6
Vậy với mốc sàn nhà, tổng thế năng của hệ là $26{,}52$ J (gồm $23{,}52$ J trọng trường và $3$ J đàn hồi); nếu đổi mốc trọng trường sang mặt bàn, thế năng trọng trường trở thành $0$ J, dù bản chất vật lí của hệ (khối gỗ đang bị ép vào lò xo, ở độ cao cố định trên sàn) không hề thay đổi.
Vậy với mốc sàn nhà, tổng thế năng của hệ là $26{,}52$ J (gồm $23{,}52$ J trọng trường và $3$ J đàn hồi); nếu đổi mốc trọng trường sang mặt bàn, thế năng trọng trường trở thành $0$ J, dù bản chất vật lí của hệ (khối gỗ đang bị ép vào lò xo, ở độ cao cố định trên sàn) không hề thay đổi.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm hay gặp nhất là tính thế năng trọng trường mà không nói rõ đã chọn mốc nào, khiến bài giải mất căn cứ khi so sánh với đáp án. Sai lầm khác là quên bình phương độ biến dạng khi tính thế năng đàn hồi, viết nhầm $W_{đh} = \frac{1}{2}kx$ thay vì $\frac{1}{2}kx^2$ — giống hệt lỗi quên bình phương tốc độ khi tính động năng.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Thế năng trọng trường $W_t = mgh$ luôn cần nêu rõ mốc; đổi mốc làm đổi giá trị $W_t$ nhưng không đổi hiệu thế năng giữa hai vị trí. Thế năng đàn hồi $W_{đh} = \frac{1}{2}kx^2$ không phụ thuộc mốc trọng trường, chỉ phụ thuộc độ biến dạng so với trạng thái tự nhiên của lò xo.

Bài tiếp theo gộp động năng và thế năng lại thành một đại lượng duy nhất — cơ năng — và cho biết khi nào tổng đó được bảo toàn trong suốt quá trình chuyển động.