Bài học

Điều kiện cực đại, cực tiểu giao thoa

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nêu được điều kiện để hai nguồn sóng là hai nguồn kết hợp, viết đúng điều kiện cực đại giao thoa $d_2-d_1=k\lambda$ và cực tiểu giao thoa $d_2-d_1=(k+0{,}5)\lambda$ , và vận dụng để phân loại một điểm cho trước là cực đại, cực tiểu, hay không thuộc loại nào.

Sau bài này, em nêu được điều kiện để hai nguồn sóng là hai nguồn kết hợp, viết đúng điều kiện cực đại giao thoa $d_2-d_1=k\lambda$ và cực tiểu giao thoa $d_2-d_1=(k+0{,}5)\lambda$, và vận dụng để phân loại một điểm cho trước là cực đại, cực tiểu, hay không thuộc loại nào.

Kiến thức nền cần nhớ

Ba bài trước đã trang bị đủ những công cụ cần cho bài này: mỗi điểm trên đường truyền sóng dao động điều hoà với biên độ, chu kì xác định (Bài 1), cách tính bước sóng từ $v$ và $f$ (Bài 2), và cách một điểm cách nguồn một khoảng $x$ sẽ trễ pha ra sao so với nguồn (Bài 3, same-grade bridge trực tiếp). Bài này đặt CÙNG một điểm dưới tác dụng của HAI nguồn sóng cùng lúc, và hỏi: dao động tổng hợp tại điểm đó mạnh lên hay triệt tiêu?

Khởi động

Ném đồng thời hai hòn đá xuống mặt hồ ở hai vị trí gần nhau, mỗi hòn đá tạo ra một hệ sóng tròn lan ra. Ở những chỗ hai hệ sóng đó gặp nhau, mặt nước có lúc dập dềnh rất mạnh, có lúc lại gần như phẳng lặng dù cả hai sóng vẫn đang lan tới. Vì sao cùng nhận hai sóng, có chỗ lại mạnh lên, có chỗ lại gần như triệt tiêu nhau?

Kiến thức trọng tâm

Hai nguồn kết hợp là hai nguồn sóng dao động cùng tần số (cùng $f$ , do đó cùng $T$ , cùng $\lambda$ trên cùng môi trường) và có hiệu số pha không đổi theo thời gian (đơn giản nhất, thường gặp trong chương trình, là hai nguồn cùng pha). Chỉ khi hai nguồn kết hợp, sóng do chúng phát ra mới tạo được một hình ảnh giao thoa ổn định, không đổi theo thời gian — nếu tần số hai nguồn khác nhau, độ lệch pha giữa chúng thay đổi liên tục, hình ảnh dập dềnh mạnh yếu tại mỗi điểm cũng đổi liên tục, ta sẽ không thấy được các vân giao thoa cố định.

Xét một điểm $M$ nhận sóng từ nguồn $S_1$ đi qua quãng đường $d_1$ và từ nguồn $S_2$ đi qua quãng đường $d_2$ . Vì hai nguồn cùng pha, độ lệch pha giữa hai sóng tới $M$ chỉ do hiệu đường đi $d_2-d_1$ quyết định, đúng theo công thức độ lệch pha đã học ở Bài 3: $\Delta\varphi=2\pi(d_2-d_1)/\lambda$ . Từ đây suy ra hai điều kiện:

Cực đại giao thoa (hai sóng tới cùng pha, tăng cường lẫn nhau, biên độ dao động tổng hợp đạt cực đại): $d_2-d_1=k\lambda,\quad k\in\mathbb{Z}$
Cực tiểu giao thoa (hai sóng tới ngược pha, triệt tiêu lẫn nhau, biên độ dao động tổng hợp đạt cực tiểu, gần như đứng yên nếu hai sóng cùng biên độ): $d_2-d_1=\left(k+0{,}5\right)\lambda,\quad k\in\mathbb{Z}$

Nói cách khác: hiệu đường đi bằng một số nguyên lần bước sóng thì tăng cường, bằng một số bán nguyên (nửa nguyên) lần bước sóng thì triệt tiêu. Một điểm mà $d_2-d_1$ không rơi vào cả hai trường hợp trên (không phải bội nguyên, cũng không phải bội bán nguyên của $\lambda$ ) thì không phải cực đại cũng không phải cực tiểu — dao động ở đó có biên độ trung gian, lớn hơn cực tiểu nhưng nhỏ hơn cực đại.

Vì điều kiện cực đại (hay cực tiểu) chỉ phụ thuộc vào hiệu $d_2-d_1$ , mà trong hình học, tập hợp các điểm có hiệu khoảng cách tới hai điểm cố định ( $S_1$ , $S_2$ ) không đổi tạo thành một đường hypebol nhận $S_1$ , $S_2$ làm hai tiêu điểm — nên trên mặt nước, tập hợp các điểm cực đại giao thoa (ứng với mỗi giá trị $k$ ) tạo thành một họ đường hypebol, xen kẽ với họ đường hypebol của các điểm cực tiểu. Đây chính là hình ảnh các vân giao thoa cong quan sát được trên mặt nước trong thí nghiệm giao thoa sóng, khác hẳn các đường thẳng song song mà nhiều học sinh hình dung nhầm ban đầu.

**Hai nguồn kết hợp** là hai nguồn sóng dao động cùng tần số (cùng $f$, do đó cùng $T$, cùng $\lambda$ trên cùng môi trường) và có hiệu số pha không đổi theo thời gian (đơn giản nhất, thường gặp trong chương trình, là hai nguồn cùng pha). Chỉ khi hai nguồn kết hợp, sóng do chúng phát ra mới tạo được một hình ảnh giao thoa ổn định, không đổi theo thời gian — nếu tần số hai nguồn khác nhau, độ lệch pha giữa chúng thay đổi liên tục, hình ảnh dập dềnh mạnh yếu tại mỗi điểm cũng đổi liên tục, ta sẽ không thấy được các vân giao thoa cố định. Xét một điểm $M$ nhận sóng từ nguồn $S_1$ đi qua quãng đường $d_1$ và từ nguồn $S_2$ đi qua quãng đường $d_2$. Vì hai nguồn cùng pha, độ lệch pha giữa hai sóng tới $M$ chỉ do hiệu đường đi $d_2-d_1$ quyết định, đúng theo công thức độ lệch pha đã học ở Bài 3: $\Delta\varphi=2\pi(d_2-d_1)/\lambda$. Từ đây suy ra hai điều kiện: - **Cực đại giao thoa** (hai sóng tới cùng pha, tăng cường lẫn nhau, biên độ dao động tổng hợp đạt cực đại): $$d_2-d_1=k\lambda,\quad k\in\mathbb{Z}$$ - **Cực tiểu giao thoa** (hai sóng tới ngược pha, triệt tiêu lẫn nhau, biên độ dao động tổng hợp đạt cực tiểu, gần như đứng yên nếu hai sóng cùng biên độ): $$d_2-d_1=\left(k+0{,}5\right)\lambda,\quad k\in\mathbb{Z}$$ Nói cách khác: hiệu đường đi bằng một số nguyên lần bước sóng thì tăng cường, bằng một số bán nguyên (nửa nguyên) lần bước sóng thì triệt tiêu. Một điểm mà $d_2-d_1$ không rơi vào cả hai trường hợp trên (không phải bội nguyên, cũng không phải bội bán nguyên của $\lambda$) thì không phải cực đại cũng không phải cực tiểu — dao động ở đó có biên độ trung gian, lớn hơn cực tiểu nhưng nhỏ hơn cực đại. Vì điều kiện cực đại (hay cực tiểu) chỉ phụ thuộc vào hiệu $d_2-d_1$, mà trong hình học, tập hợp các điểm có hiệu khoảng cách tới hai điểm cố định ($S_1$, $S_2$) không đổi tạo thành một đường hypebol nhận $S_1$, $S_2$ làm hai tiêu điểm — nên trên mặt nước, tập hợp các điểm cực đại giao thoa (ứng với mỗi giá trị $k$) tạo thành một họ đường hypebol, xen kẽ với họ đường hypebol của các điểm cực tiểu. Đây chính là hình ảnh các vân giao thoa cong quan sát được trên mặt nước trong thí nghiệm giao thoa sóng, khác hẳn các đường thẳng song song mà nhiều học sinh hình dung nhầm ban đầu.

Hình vẽ mang tính sơ đồ, không theo đúng tỉ lệ khoảng cách của các ví dụ số trong bài — mục đích chỉ để thấy rõ

d_1=S_1M

và

d_2=S_2M

là hai đoạn khác nhau.Hình vẽ mang tính sơ đồ, không theo đúng tỉ lệ khoảng cách của các ví dụ số trong bài — mục đích chỉ để thấy rõ $d_1=S_1M$ và $d_2=S_2M$ là hai đoạn khác nhau.

Ví dụ

Phân loại một điểm là cực đại hay cực tiểu giao thoa

1
Hai nguồn kết hợp phát sóng với bước sóng $\lambda=3$ cm. Điểm $M$ có $d_2-d_1=6$ cm, điểm $N$ có $d_2-d_1=4{,}5$ cm. Xác định $M$ , $N$ là cực đại hay cực tiểu giao thoa.
Hai nguồn kết hợp phát sóng với bước sóng $\lambda=3$ cm. Điểm $M$ có $d_2-d_1=6$ cm, điểm $N$ có $d_2-d_1=4{,}5$ cm. Xác định $M$, $N$ là cực đại hay cực tiểu giao thoa.
2
Ta có $d_2-d_1=6=2\times 3=2\lambda$ , ứng với $k=2$ (số nguyên). Theo điều kiện cực đại, $M$ là điểm cực đại giao thoa.
Ta có $d_2-d_1=6=2\times 3=2\lambda$, ứng với $k=2$ (số nguyên). Theo điều kiện cực đại, $M$ là điểm cực đại giao thoa.
3
Ta có $d_2-d_1=4{,}5=1{,}5\times 3=(1+0{,}5)\lambda$ , ứng với $k=1$ (số nguyên). Theo điều kiện cực tiểu, $N$ là điểm cực tiểu giao thoa.
Ta có $d_2-d_1=4{,}5=1{,}5\times 3=(1+0{,}5)\lambda$, ứng với $k=1$ (số nguyên). Theo điều kiện cực tiểu, $N$ là điểm cực tiểu giao thoa.
4
Đổi cách viết: $6=2\lambda$ và $4{,}5=1{,}5\lambda$ đều là bội của $\lambda/2=1{,}5$ cm (lần lượt là bội chẵn và bội lẻ của $\lambda/2$ ) — đúng quy luật cực đại ứng bội chẵn, cực tiểu ứng bội lẻ của $\lambda/2$ .
Đổi cách viết: $6=2\lambda$ và $4{,}5=1{,}5\lambda$ đều là bội của $\lambda/2=1{,}5$ cm (lần lượt là bội chẵn và bội lẻ của $\lambda/2$) — đúng quy luật cực đại ứng bội chẵn, cực tiểu ứng bội lẻ của $\lambda/2$.
5
Vậy $M$ là cực đại giao thoa (hai sóng tới cùng pha, tăng cường), còn $N$ là cực tiểu giao thoa (hai sóng tới ngược pha, triệt tiêu).
Vậy $M$ là cực đại giao thoa (hai sóng tới cùng pha, tăng cường), còn $N$ là cực tiểu giao thoa (hai sóng tới ngược pha, triệt tiêu).

Ví dụ

Phân loại ba điểm trên một sơ đồ bể nước (dạng đề thi)

1
Hai nguồn kết hợp trên mặt nước phát sóng với bước sóng $\lambda=2$ cm. Ba điểm $P$ , $Q$ , $R$ có hiệu đường đi lần lượt là $d_2-d_1=8$ cm, $5$ cm, $6{,}5$ cm. Phân loại từng điểm là cực đại, cực tiểu, hay không thuộc loại nào.
Hai nguồn kết hợp trên mặt nước phát sóng với bước sóng $\lambda=2$ cm. Ba điểm $P$, $Q$, $R$ có hiệu đường đi lần lượt là $d_2-d_1=8$ cm, $5$ cm, $6{,}5$ cm. Phân loại từng điểm là cực đại, cực tiểu, hay không thuộc loại nào.
2
$8/\lambda=8/2=4$ — là số nguyên, nên $P$ là cực đại giao thoa ( $k=4$ ).
$8/\lambda=8/2=4$ — là số nguyên, nên $P$ là cực đại giao thoa ($k=4$).
3
$5/\lambda=5/2=2{,}5=2+0{,}5$ — là số bán nguyên, nên $Q$ là cực tiểu giao thoa ( $k=2$ ).
$5/\lambda=5/2=2{,}5=2+0{,}5$ — là số bán nguyên, nên $Q$ là cực tiểu giao thoa ($k=2$).
4
$6{,}5/\lambda=6{,}5/2=3{,}25$ — không phải số nguyên, cũng không phải số bán nguyên (không có dạng $k+0{,}5$ với $k$ nguyên). Do đó $R$ không phải cực đại cũng không phải cực tiểu.
$6{,}5/\lambda=6{,}5/2=3{,}25$ — không phải số nguyên, cũng không phải số bán nguyên (không có dạng $k+0{,}5$ với $k$ nguyên). Do đó $R$ không phải cực đại cũng không phải cực tiểu.
5
Vậy $P$ là cực đại, $Q$ là cực tiểu, còn $R$ là một điểm dao động với biên độ trung gian — không thuộc hai loại đặc biệt trên. Kiểm tra: chỉ cần chia $d_2-d_1$ cho $\lambda$ rồi xét thương số là nguyên, bán nguyên, hay không thuộc cả hai dạng.
Vậy $P$ là cực đại, $Q$ là cực tiểu, còn $R$ là một điểm dao động với biên độ trung gian — không thuộc hai loại đặc biệt trên. Kiểm tra: chỉ cần chia $d_2-d_1$ cho $\lambda$ rồi xét thương số là nguyên, bán nguyên, hay không thuộc cả hai dạng.
6
Viết lại theo nửa bước sóng ( $\lambda/2=1$ cm): $P$ ứng với $8$ lần $\lambda/2$ (số chẵn — cực đại), $Q$ ứng với $5$ lần (số lẻ — cực tiểu), còn $R$ ứng với $6{,}5$ lần (không nguyên — không thuộc loại nào). Cách viết này giúp kiểm tra nhanh mà không cần nhớ riêng hai công thức.
Viết lại theo nửa bước sóng ($\lambda/2=1$ cm): $P$ ứng với $8$ lần $\lambda/2$ (số chẵn — cực đại), $Q$ ứng với $5$ lần (số lẻ — cực tiểu), còn $R$ ứng với $6{,}5$ lần (không nguyên — không thuộc loại nào). Cách viết này giúp kiểm tra nhanh mà không cần nhớ riêng hai công thức.

Ví dụ

Khoảng cách giữa hai cực đại liên tiếp trên đoạn nối hai nguồn (mở rộng)

1
Hai nguồn kết hợp $S_1$ , $S_2$ phát sóng với bước sóng $\lambda=4$ cm. Tính khoảng cách giữa hai điểm cực đại giao thoa liên tiếp nằm ngay trên đoạn thẳng nối hai nguồn.
Hai nguồn kết hợp $S_1$, $S_2$ phát sóng với bước sóng $\lambda=4$ cm. Tính khoảng cách giữa hai điểm cực đại giao thoa liên tiếp nằm ngay trên đoạn thẳng nối hai nguồn.
2
Xét điểm $M$ nằm trên đoạn $S_1S_2$ (độ dài $L$ ), cách $S_1$ một khoảng $d_1$ ; khi đó $d_2=L-d_1$ . Điều kiện cực đại $d_2-d_1=k\lambda$ trở thành $L-2d_1=k\lambda$ , suy ra $d_1=(L-k\lambda)/2$ .
Xét điểm $M$ nằm trên đoạn $S_1S_2$ (độ dài $L$), cách $S_1$ một khoảng $d_1$; khi đó $d_2=L-d_1$. Điều kiện cực đại $d_2-d_1=k\lambda$ trở thành $L-2d_1=k\lambda$, suy ra $d_1=(L-k\lambda)/2$.
3
Với hai giá trị $k$ và $k+1$ , hai vị trí cực đại tương ứng chênh lệch nhau: $d_1(k)-d_1(k+1)=\dfrac{L-k\lambda}{2}-\dfrac{L-(k+1)\lambda}{2}=\dfrac{\lambda}{2}$ .
Với hai giá trị $k$ và $k+1$, hai vị trí cực đại tương ứng chênh lệch nhau: $d_1(k)-d_1(k+1)=\dfrac{L-k\lambda}{2}-\dfrac{L-(k+1)\lambda}{2}=\dfrac{\lambda}{2}$.
4
Vậy hai cực đại liên tiếp trên đoạn nối hai nguồn luôn cách nhau đúng $\lambda/2=4/2=2$ cm, không phụ thuộc độ dài $L$ hay giá trị $k$ cụ thể — đây là quy luật chung cho mọi cặp nguồn kết hợp cùng pha. Bằng lập luận hoàn toàn tương tự, hai cực tiểu liên tiếp trên cùng đoạn thẳng đó cũng cách nhau đúng $\lambda/2$ , và một cực đại luôn cách cực tiểu liền kề đúng $\lambda/4$ .
Vậy hai cực đại liên tiếp trên đoạn nối hai nguồn luôn cách nhau đúng $\lambda/2=4/2=2$ cm, không phụ thuộc độ dài $L$ hay giá trị $k$ cụ thể — đây là quy luật chung cho mọi cặp nguồn kết hợp cùng pha. Bằng lập luận hoàn toàn tương tự, hai cực tiểu liên tiếp trên cùng đoạn thẳng đó cũng cách nhau đúng $\lambda/2$, và một cực đại luôn cách cực tiểu liền kề đúng $\lambda/4$.

Sai lầm thường gặp

Lỗi hay gặp: quên đổi $d_2-d_1$ và $\lambda$ về cùng một đơn vị trước khi chia, hoặc nhầm điều kiện cực tiểu thành $d_2-d_1=k\lambda/2$ (sai — công thức đúng là $(k+0{,}5)\lambda$ , chỉ ứng với các bội SỐ LẺ của $\lambda/2$ , không phải mọi bội của $\lambda/2$ , vì bội chẵn của $\lambda/2$ chính là bội nguyên của $\lambda$ — tức lại là điều kiện cực đại).

Lỗi hay gặp: quên đổi $d_2-d_1$ và $\lambda$ về cùng một đơn vị trước khi chia, hoặc nhầm điều kiện cực tiểu thành $d_2-d_1=k\lambda/2$ (sai — công thức đúng là $(k+0{,}5)\lambda$, chỉ ứng với các bội SỐ LẺ của $\lambda/2$, không phải mọi bội của $\lambda/2$, vì bội chẵn của $\lambda/2$ chính là bội nguyên của $\lambda$ — tức lại là điều kiện cực đại).

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Bài tiếp theo xét một trường hợp giao thoa đặc biệt xảy ra ngay trên một sợi dây, giữa sóng tới và sóng phản xạ của chính nó — hiện tượng sóng dừng.