Lập phương trình sóng và tính li độ dao động

Sau bài này, em viết được phương trình sóng $u(x,t)=A\cos(\omega t-2\pi x/\lambda)$ khi biết $A$, $T$ (hoặc $f$) và $\lambda$, tính được li độ tại một vị trí và thời điểm cho trước, và xác định được độ lệch pha giữa hai điểm trên phương truyền sóng.

Bài trước đã cho biết mỗi phần tử trên đường truyền sóng dao động điều hoà với cùng biên độ $A$, cùng chu kì $T$ như nguồn, nhưng trễ pha hơn nguồn một khoảng tỉ lệ với khoảng cách $x$ tới nguồn (same-grade bridge với chính bài trước). Bài này viết chính xác độ trễ pha đó thành một công thức duy nhất, gọi là phương trình sóng, thay vì chỉ mô tả bằng lời.

Chọn nguồn sóng tại gốc toạ độ $O$ ($x=0$), dao động theo phương trình $u(0,t)=A\cos(\omega t)$, với $\omega=2\pi/T=2\pi f$. Một điểm $M$ cách nguồn một khoảng $x$ trên phương truyền sóng chỉ nhận được dao động sau thời gian trễ $\Delta t=x/v$ (thời gian sóng đi từ $O$ đến $M$ với tốc độ $v$). Do đó, li độ tại $M$ ở thời điểm $t$ bằng đúng li độ tại $O$ ở thời điểm sớm hơn $\Delta t$: $$u(x,t)=A\cos\!\left(\omega (t-\Delta t)\right)=A\cos\!\left(\omega t-\omega\frac{x}{v}\right)$$ Vì $\omega/v=2\pi f/v=2\pi/\lambda$ (do $v=\lambda f$), phương trình trên viết gọn lại thành **phương trình sóng** của một sóng truyền theo chiều dương trục $x$: $$u(x,t)=A\cos\!\left(\omega t-\frac{2\pi x}{\lambda}\right)$$ Số hạng $2\pi x/\lambda$ chính là phần pha bị 'trừ bớt' do khoảng cách $x$ tới nguồn — điểm càng xa nguồn ($x$ càng lớn) thì pha càng bị trừ nhiều, nghĩa là dao động càng trễ so với nguồn. Đây chính là cách phương trình 'mã hoá' độ trễ pha mà bài trước chỉ mô tả bằng lời. Từ một phương trình sóng duy nhất, ta có thể tính li độ tại bất kì cặp $(x,t)$ nào — chỉ cần thay số trực tiếp. Ta cũng có thể so sánh pha dao động giữa hai điểm $M_1$ (toạ độ $x_1$) và $M_2$ (toạ độ $x_2$, với $x_2>x_1$, tức $M_2$ xa nguồn hơn) bằng **độ lệch pha**: $$\Delta\varphi=\frac{2\pi \Delta x}{\lambda}, \quad \Delta x=x_2-x_1$$ trong đó $M_2$ luôn trễ pha hơn $M_1$ đúng $\Delta\varphi$ vì ở xa nguồn hơn. Khi $\Delta x=k\lambda$ ($k$ nguyên), $\Delta\varphi=k\cdot 2\pi$, hai điểm dao động cùng pha (đồng pha). Khi $\Delta x=(k+0{,}5)\lambda$, $\Delta\varphi=(2k+1)\pi$, hai điểm dao động ngược pha. Một cách khác để hiểu công thức, không cần nhớ máy móc: hãy hình dung sóng như một hàng người đang lần lượt giơ tay lên hạ tay xuống theo đúng nhịp của người đứng đầu hàng (nguồn), nhưng mỗi người chỉ giơ tay sau người đứng trước mình một khoảng trễ cố định. Người càng đứng xa đầu hàng thì càng trễ nhịp so với người đầu hàng — đó chính là ý nghĩa của số hạng $2\pi x/\lambda$. Nếu khoảng cách giữa hai người đúng bằng một số nguyên lần 'chu kì một nhịp giơ tay', hai người đó tình cờ giơ tay cùng lúc dù người này trễ hơn người kia rất nhiều nhịp — đó là trường hợp đồng pha dù không đứng cạnh nhau. Cũng cần lưu ý: phương trình sóng ở trên mô tả một sóng lí tưởng, biên độ không đổi khi truyền đi (bỏ qua mất mát năng lượng do ma sát trong môi trường). Trong thực tế biên độ có thể giảm dần theo khoảng cách, nhưng ở mức độ nền tảng của chương trình, ta luôn giả thiết sóng truyền không mất năng lượng để việc tính toán chỉ tập trung vào phần pha. Một điểm cuối cùng cần phân biệt rõ: công thức $u(x,t)=A\cos(\omega t-2\pi x/\lambda)$ chỉ áp dụng cho sóng truyền theo **chiều dương** trục $x$. Nếu sóng truyền theo chiều âm trục $x$ (từ phải sang trái, ngược chiều dương đã chọn), điểm càng có toạ độ $x$ nhỏ (càng ở bên trái) mới là điểm càng xa nguồn, nên dấu của số hạng pha đảo ngược thành **cộng**: $u(x,t)=A\cos(\omega t+2\pi x/\lambda)$. Chỉ cần nhìn dấu trước $2\pi x/\lambda$ trong một phương trình sóng đã cho, em xác định ngay được sóng đang truyền theo chiều nào của trục toạ độ đã chọn.