Bài học

Điều kiện sóng dừng trên dây

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải thích được sóng dừng hình thành do giao thoa giữa sóng tới và sóng phản xạ trên một sợi dây, nêu đúng vị trí nút và bụng sóng, và vận dụng điều kiện chiều dài dây $\ell=k\lambda/2$ (hai đầu cố định) hay $\ell=(2k+1)\lambda/4$ (một đầu tự do) để tính bước sóng, tần số từ số bụng hoặc nút quan sát được.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài giao thoa vừa học cho hai nguồn sóng riêng biệt. Bài này áp dụng chính quy luật giao thoa đó (same-grade bridge trực tiếp) cho một tình huống đặc biệt: chỉ có MỘT sóng, nhưng nó phản xạ ngược lại tại đầu dây, và sóng tới cùng sóng phản xạ của chính nó lại đóng vai trò như hai nguồn kết hợp gặp nhau trên cùng một sợi dây.

Khởi động

Cầm một đầu sợi dây thun buộc cố định đầu kia vào tường, rồi rung tay đều đặn lên xuống. Nếu chọn đúng tần số rung, trên dây xuất hiện những chỗ gần như đứng yên hoàn toàn xen kẽ với những chỗ rung lên xuống rất mạnh — dạng sóng trông như không còn 'chạy' đi đâu nữa, chỉ rung tại chỗ. Vì sao một sóng vẫn đang truyền trên dây lại tạo ra hình ảnh đứng yên như vậy?

Kiến thức trọng tâm

Trên sóng dừng có hai loại điểm đặc biệt: nút sóng là những điểm luôn đứng yên (biên độ dao động tổng hợp bằng 0, ứng với điều kiện cực tiểu của giao thoa sóng tới – sóng phản xạ), và bụng sóng là những điểm dao động với biên độ lớn nhất (ứng với điều kiện cực đại). Nút và bụng xen kẽ đều đặn dọc theo dây, cách nhau đúng $\lambda/4$ (nút liền kề bụng) hoặc $\lambda/2$ (hai nút liền kề, hoặc hai bụng liền kề).

Với dây hai đầu cố định: cả hai đầu dây đều là nút (vì bị giữ chặt, không dao động được). Để hình thành sóng dừng ổn định, chiều dài dây $\ell$ phải chứa vừa đủ một số nguyên lần nửa bước sóng:

$\ell=k\frac{\lambda}{2},\quad k=1,2,3,\ldots$

khi đó dây có đúng $k$ bụng sóng và $k+1$ nút sóng (kể cả hai đầu dây cố định cũng là nút).

Với dây một đầu cố định, một đầu tự do: đầu cố định vẫn là nút, nhưng đầu tự do luôn là một bụng sóng. Điều kiện chiều dài trở thành:

$\ell=(2k+1)\frac{\lambda}{4},\quad k=0,1,2,\ldots$

ứng với $(k+1)$ bụng sóng và $(k+1)$ nút sóng. Hai công thức trên chỉ khác nhau ở điều kiện biên tại đầu tự do — em cần nhận diện đúng đề bài cho loại dây nào trước khi chọn công thức.

Vì sao gọi là 'sóng dừng'? Vì hình ảnh dao động không còn di chuyển dọc theo dây như một sóng thông thường nữa — mỗi điểm trên dây (trừ các nút) vẫn dao động lên xuống tại chỗ, nhưng vị trí các nút và bụng luôn cố định theo thời gian, khác hẳn một sóng đang lan truyền, nơi hình dạng sóng dịch chuyển dần theo phương truyền. Đây cũng chính là hiện tượng đứng sau âm thanh của các nhạc cụ dây (đàn ghi ta, đàn tranh) và nhạc cụ khí (sáo, kèn): dây đàn được gảy hoặc cột khí trong ống được thổi sẽ tự hình thành sóng dừng ở đúng những tần số thoả điều kiện chiều dài đã nêu — gọi là các tần số riêng của dây/ống đó — và chỉ những tần số này mới phát ra âm nghe rõ, ổn định.

Một điều thú vị khác: tại đúng vị trí nút sóng, năng lượng không truyền qua được (vì phần tử ở đó không dao động), nên năng lượng dao động bị 'nhốt' lại trong từng đoạn dây giữa hai nút liền kề, dao động qua lại giữa dạng động năng (khi phần tử đi qua vị trí cân bằng, tốc độ lớn) và thế năng đàn hồi (khi phần tử ở biên, tốc độ bằng 0), chứ không lan toả dọc theo dây như một sóng thông thường. Đây là lí do vật lí sâu xa cho việc gọi hiện tượng này là 'sóng dừng' — sóng vẫn còn đó, nhưng không còn mang năng lượng đi xa được nữa.

Khi sóng truyền tới đầu dây cố định (buộc chặt vào tường), nó bị phản xạ ngược trở lại, và tại đầu cố định sóng phản xạ luôn ngược pha với sóng tới. Sóng tới và sóng phản xạ khi đó truyền ngược chiều nhau trên cùng một sợi dây và có cùng tần số — chúng giao thoa với nhau đúng theo quy luật đã học ở bài trước. Kết quả giao thoa này không di chuyển dọc dây theo thời gian nữa (vì hai sóng luôn truyền ngược chiều, hiệu đường đi tại mỗi điểm cố định không đổi), mà tạo thành một hình ảnh cố định gọi là **sóng dừng**. Trên sóng dừng có hai loại điểm đặc biệt: **nút sóng** là những điểm luôn đứng yên (biên độ dao động tổng hợp bằng 0, ứng với điều kiện cực tiểu của giao thoa sóng tới – sóng phản xạ), và **bụng sóng** là những điểm dao động với biên độ lớn nhất (ứng với điều kiện cực đại). Nút và bụng xen kẽ đều đặn dọc theo dây, cách nhau đúng $\lambda/4$ (nút liền kề bụng) hoặc $\lambda/2$ (hai nút liền kề, hoặc hai bụng liền kề). **Với dây hai đầu cố định**: cả hai đầu dây đều là nút (vì bị giữ chặt, không dao động được). Để hình thành sóng dừng ổn định, chiều dài dây $\ell$ phải chứa vừa đủ một số nguyên lần nửa bước sóng: $$\ell=k\frac{\lambda}{2},\quad k=1,2,3,\ldots$$ khi đó dây có đúng $k$ bụng sóng và $k+1$ nút sóng (kể cả hai đầu dây cố định cũng là nút). **Với dây một đầu cố định, một đầu tự do**: đầu cố định vẫn là nút, nhưng đầu tự do luôn là một bụng sóng. Điều kiện chiều dài trở thành: $$\ell=(2k+1)\frac{\lambda}{4},\quad k=0,1,2,\ldots$$ ứng với $(k+1)$ bụng sóng và $(k+1)$ nút sóng. Hai công thức trên chỉ khác nhau ở điều kiện biên tại đầu tự do — em cần nhận diện đúng đề bài cho loại dây nào trước khi chọn công thức. Vì sao gọi là 'sóng dừng'? Vì hình ảnh dao động không còn di chuyển dọc theo dây như một sóng thông thường nữa — mỗi điểm trên dây (trừ các nút) vẫn dao động lên xuống tại chỗ, nhưng vị trí các nút và bụng luôn cố định theo thời gian, khác hẳn một sóng đang lan truyền, nơi hình dạng sóng dịch chuyển dần theo phương truyền. Đây cũng chính là hiện tượng đứng sau âm thanh của các nhạc cụ dây (đàn ghi ta, đàn tranh) và nhạc cụ khí (sáo, kèn): dây đàn được gảy hoặc cột khí trong ống được thổi sẽ tự hình thành sóng dừng ở đúng những tần số thoả điều kiện chiều dài đã nêu — gọi là các tần số riêng của dây/ống đó — và chỉ những tần số này mới phát ra âm nghe rõ, ổn định. Một điều thú vị khác: tại đúng vị trí nút sóng, năng lượng không truyền qua được (vì phần tử ở đó không dao động), nên năng lượng dao động bị 'nhốt' lại trong từng đoạn dây giữa hai nút liền kề, dao động qua lại giữa dạng động năng (khi phần tử đi qua vị trí cân bằng, tốc độ lớn) và thế năng đàn hồi (khi phần tử ở biên, tốc độ bằng 0), chứ không lan toả dọc theo dây như một sóng thông thường. Đây là lí do vật lí sâu xa cho việc gọi hiện tượng này là 'sóng dừng' — sóng vẫn còn đó, nhưng không còn mang năng lượng đi xa được nữa.

Với

\ell=1{,}2

m và

k=3

bụng, ta có

\lambda=2\ell/3=0{,}8

m; hai nút liền kề cách nhau

\lambda/2=0{,}4

m.Với $\ell=1{,}2$ m và $k=3$ bụng, ta có $\lambda=2\ell/3=0{,}8$ m; hai nút liền kề cách nhau $\lambda/2=0{,}4$ m.

Ví dụ

Tính bước sóng từ chiều dài dây và số bụng sóng

1
Một sợi dây đàn hồi dài $\ell=1{,}2$ m, hai đầu cố định, khi rung đúng tần số thích hợp thì hình thành sóng dừng với 3 bụng sóng. Tính bước sóng $\lambda$ .
Một sợi dây đàn hồi dài $\ell=1{,}2$ m, hai đầu cố định, khi rung đúng tần số thích hợp thì hình thành sóng dừng với 3 bụng sóng. Tính bước sóng $\lambda$.
2
Theo điều kiện $\ell=k\lambda/2$ với $k$ là số bụng sóng, ở đây $k=3$ .
Theo điều kiện $\ell=k\lambda/2$ với $k$ là số bụng sóng, ở đây $k=3$.
3
Ta có $1{,}2=3\times \lambda/2\Rightarrow \lambda=2\times 1{,}2/3=0{,}8$ m.
Ta có $1{,}2=3\times \lambda/2\Rightarrow \lambda=2\times 1{,}2/3=0{,}8$ m.
4
Thay ngược lại: $k\lambda/2=3\times 0{,}8/2=1{,}2$ m, đúng bằng $\ell$ đề đã cho — số liệu tự khớp.
Thay ngược lại: $k\lambda/2=3\times 0{,}8/2=1{,}2$ m, đúng bằng $\ell$ đề đã cho — số liệu tự khớp.
5
Vậy bước sóng của sóng dừng này là $\lambda=0{,}8$ m, và trên dây có $3+1=4$ nút sóng (kể cả hai đầu dây cố định).
Vậy bước sóng của sóng dừng này là $\lambda=0{,}8$ m, và trên dây có $3+1=4$ nút sóng (kể cả hai đầu dây cố định).

Ví dụ

Sóng dừng trên dây một đầu tự do (mở rộng)

1
Một sợi dây dài $\ell=0{,}6$ m, một đầu cố định, một đầu tự do, hình thành sóng dừng ứng với $k=1$ trong công thức $\ell=(2k+1)\lambda/4$ . Tính bước sóng, số bụng và số nút trên dây.
Một sợi dây dài $\ell=0{,}6$ m, một đầu cố định, một đầu tự do, hình thành sóng dừng ứng với $k=1$ trong công thức $\ell=(2k+1)\lambda/4$. Tính bước sóng, số bụng và số nút trên dây.
2
Với $k=1$ : $\ell=(2\times 1+1)\lambda/4=3\lambda/4$ .
Với $k=1$: $\ell=(2\times 1+1)\lambda/4=3\lambda/4$.
3
$\lambda=4\ell/3=4\times 0{,}6/3=0{,}8$ m.
$\lambda=4\ell/3=4\times 0{,}6/3=0{,}8$ m.
4
Với dây một đầu cố định, một đầu tự do, số bụng và số nút đều bằng $k+1=1+1=2$ .
Với dây một đầu cố định, một đầu tự do, số bụng và số nút đều bằng $k+1=1+1=2$.
5
Thay ngược lại: $(2k+1)\lambda/4=(2\times 1+1)\times 0{,}8/4=3\times 0{,}8/4=0{,}6$ m, đúng bằng $\ell$ đề đã cho.
Thay ngược lại: $(2k+1)\lambda/4=(2\times 1+1)\times 0{,}8/4=3\times 0{,}8/4=0{,}6$ m, đúng bằng $\ell$ đề đã cho.
6
Vậy bước sóng là $\lambda=0{,}8$ m, dây có 2 bụng sóng (kể cả bụng tại đầu tự do) và 2 nút sóng (kể cả nút tại đầu cố định) — khác hẳn công thức và cách đếm của dây hai đầu cố định ở ví dụ trước.
Vậy bước sóng là $\lambda=0{,}8$ m, dây có 2 bụng sóng (kể cả bụng tại đầu tự do) và 2 nút sóng (kể cả nút tại đầu cố định) — khác hẳn công thức và cách đếm của dây hai đầu cố định ở ví dụ trước.

Ví dụ

Tính tần số dao động từ số bụng sóng và tốc độ truyền (dạng đề thi)

1
Một sợi dây đàn hồi dài $\ell=0{,}6$ m, hai đầu cố định, hình thành sóng dừng với 4 bụng sóng. Biết tốc độ truyền sóng trên dây là $v=6$ m/s. Tính bước sóng và tần số dao động của dây.
Một sợi dây đàn hồi dài $\ell=0{,}6$ m, hai đầu cố định, hình thành sóng dừng với 4 bụng sóng. Biết tốc độ truyền sóng trên dây là $v=6$ m/s. Tính bước sóng và tần số dao động của dây.
2
Với $k=4$ bụng sóng, áp dụng $\ell=k\lambda/2$ : $\lambda=2\ell/k=2\times 0{,}6/4=0{,}3$ m. (1)
Với $k=4$ bụng sóng, áp dụng $\ell=k\lambda/2$: $\lambda=2\ell/k=2\times 0{,}6/4=0{,}3$ m. (1)
3
Từ (1) và công thức liên hệ đã học ở Bài 2, ta có $f=v/\lambda=6/0{,}3=20$ Hz.
Từ (1) và công thức liên hệ đã học ở Bài 2, ta có $f=v/\lambda=6/0{,}3=20$ Hz.
4
Trên dây khi đó có $4+1=5$ nút sóng, cách đều nhau $\lambda/2=0{,}15$ m; bốn khoảng cách liên tiếp giữa 5 nút cộng lại là $4\times 0{,}15=0{,}6$ m, đúng bằng chiều dài dây $\ell$ — số liệu tự hợp lí.
Trên dây khi đó có $4+1=5$ nút sóng, cách đều nhau $\lambda/2=0{,}15$ m; bốn khoảng cách liên tiếp giữa 5 nút cộng lại là $4\times 0{,}15=0{,}6$ m, đúng bằng chiều dài dây $\ell$ — số liệu tự hợp lí.
5
Vậy bước sóng là $0{,}3$ m và tần số dao động của dây là $f=20$ Hz.
Vậy bước sóng là $0{,}3$ m và tần số dao động của dây là $f=20$ Hz.

Sai lầm thường gặp

Nhầm lẫn hay gặp nhất: đếm nhầm số bụng sóng thành số nút sóng (hoặc ngược lại) khi đọc đề. Với dây hai đầu cố định, số nút luôn nhiều hơn số bụng đúng 1 đơn vị; với dây một đầu tự do, số nút bằng đúng số bụng. Ngoài ra, dùng nhầm công thức $\ell=k\lambda/2$ của dây hai đầu cố định cho dây một đầu tự do (lẽ ra phải dùng $\ell=(2k+1)\lambda/4$ ) là lỗi thường gặp thứ hai.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Bài ôn tập cuối khoá sẽ kết hợp cả bốn ý đã học — mô tả sóng bằng $\lambda$ , $T$ , $f$ , $v$ ; viết phương trình sóng; xác định giao thoa; và tính điều kiện sóng dừng — trong những bài toán tổng hợp đúng kiểu đề kiểm tra giữa kì.

Bài ôn tập cuối khoá sẽ kết hợp cả bốn ý đã học — mô tả sóng bằng $\lambda$, $T$, $f$, $v$; viết phương trình sóng; xác định giao thoa; và tính điều kiện sóng dừng — trong những bài toán tổng hợp đúng kiểu đề kiểm tra giữa kì.