Bài học

Bài toán khối lượng riêng của hỗn hợp

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính được khối lượng riêng của một hỗn hợp hai chất lỏng khi biết khối lượng và khối lượng riêng của từng chất, và giải được bài toán ngược: biết tổng khối lượng, tổng thể tích và D của từng chất, tìm ra khối lượng hoặc thể tích riêng của mỗi chất trong hỗn hợp.

Kiến thức nền cần nhớ

Em đã biết $D = m/V$ và cách biến đổi công thức để tìm V khi biết m và D. Bài này ghép thêm một kiến thức Toán học cùng chương trình lớp 8: giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế. Đây là kiến thức cùng khối lớp, được ôn lại ở đây để phục vụ đúng bài toán Vật lí — không phải kỹ thuật vượt chương trình.

Khởi động

Một cốc nước và một cốc dầu ăn cùng thể tích, khi trộn lại, khối lượng riêng của hỗn hợp có phải là trung bình cộng đơn giản của hai giá trị D không? Hay còn phụ thuộc vào tỉ lệ thể tích mỗi chất trong hỗn hợp?

Kiến thức trọng tâm

Khi trộn hai chất lỏng không phản ứng hoá học với nhau và thể tích cộng gộp bình thường (giả thiết thường dùng ở cấp học này), khối lượng riêng của hỗn hợp tính theo công thức tổng quát: $D_{hh} = \dfrac{m_1 + m_2}{V_1 + V_2}$ , trong đó $m_1, V_1$ và $m_2, V_2$ lần lượt là khối lượng và thể tích của mỗi chất thành phần. Đây chính là công thức $D=m/V$ quen thuộc, chỉ áp dụng cho TOÀN BỘ hỗn hợp thay vì cho một chất riêng lẻ.

Khi trộn hai chất lỏng không phản ứng hoá học với nhau và thể tích cộng gộp bình thường (giả thiết thường dùng ở cấp học này), khối lượng riêng của hỗn hợp tính theo công thức tổng quát: $D_{hh} = \dfrac{m_1 + m_2}{V_1 + V_2}$, trong đó $m_1, V_1$ và $m_2, V_2$ lần lượt là khối lượng và thể tích của mỗi chất thành phần. Đây chính là công thức $D=m/V$ quen thuộc, chỉ áp dụng cho TOÀN BỘ hỗn hợp thay vì cho một chất riêng lẻ.

Điểm mấu chốt cần nhớ: $D_{hh}$ KHÔNG phải là trung bình cộng đơn giản $(D_1+D_2)/2$ của hai chất, trừ khi hai chất được trộn theo đúng THỂ TÍCH bằng nhau. Nếu trộn theo khối lượng bằng nhau, hay theo một tỉ lệ bất kỳ khác, $D_{hh}$ phải tính bằng đúng công thức tổng quát ở trên — tính riêng từng $m_i$ và $V_i$ rồi mới cộng lại, không được cộng D trực tiếp.

Về bản chất, bài toán hỗn hợp và bài toán vật rỗng ở Chương 2 giải quyết cùng một câu hỏi: khi một "vật" (hay một hỗn hợp) gồm nhiều phần có D khác nhau, D chung của cả khối tính thế nào? Với vật rỗng, hai phần là chất đặc và không khí; với hỗn hợp, hai phần là hai chất lỏng. Cả hai trường hợp đều dùng đúng một công thức gốc: cộng khối lượng các phần, cộng thể tích các phần, rồi chia.

D của hỗn hợp (923 kg/m³) nằm giữa D của hai chất thành phần, nhưng KHÔNG phải trung bình cộng đơn giản (900), vì trộn theo khối lượng bằng nhau chứ không phải theo thể tích bằng nhau.

Ví dụ mẫu

Ví dụ

Tính khối lượng riêng của hỗn hợp nước và dầu ăn

1
Trộn 2 kg nước ( $D_1 = 1000\ kg/m^3$ ) với 1 kg dầu ăn ( $D_2 = 800\ kg/m^3$ ). Tính khối lượng riêng của hỗn hợp.
Trộn 2 kg nước ($D_1 = 1000\ kg/m^3$) với 1 kg dầu ăn ($D_2 = 800\ kg/m^3$). Tính khối lượng riêng của hỗn hợp.
2
Biến đổi công thức $V = m/D$ : $V_1 = \dfrac{2}{1000} = 0{,}002\ m^3$ (nước) và $V_2 = \dfrac{1}{800} = 0{,}00125\ m^3$ (dầu ăn).
Biến đổi công thức $V = m/D$: $V_1 = \dfrac{2}{1000} = 0{,}002\ m^3$ (nước) và $V_2 = \dfrac{1}{800} = 0{,}00125\ m^3$ (dầu ăn).
3
Tổng khối lượng: $m = m_1+m_2 = 2+1 = 3\ kg$ . Tổng thể tích: $V = V_1+V_2 = 0{,}002+0{,}00125 = 0{,}00325\ m^3$ .
Tổng khối lượng: $m = m_1+m_2 = 2+1 = 3\ kg$. Tổng thể tích: $V = V_1+V_2 = 0{,}002+0{,}00125 = 0{,}00325\ m^3$.
4
Áp dụng công thức $D_{hh} = \dfrac{m}{V} = \dfrac{3}{0{,}00325} ≈ 923\ kg/m^3$ . Vậy khối lượng riêng hỗn hợp xấp xỉ 923 kg/m³ — nằm giữa 800 và 1000 nhưng lệch về phía D của nước, vì trong hỗn hợp có nhiều nước hơn về khối lượng.
Áp dụng công thức $D_{hh} = \dfrac{m}{V} = \dfrac{3}{0{,}00325} ≈ 923\ kg/m^3$. Vậy khối lượng riêng hỗn hợp xấp xỉ 923 kg/m³ — nằm giữa 800 và 1000 nhưng lệch về phía D của nước, vì trong hỗn hợp có nhiều nước hơn về khối lượng.

Ví dụ dạng thi

Ví dụ

Tìm thể tích từng chất khi biết tổng khối lượng và tổng thể tích hỗn hợp

1
Một hỗn hợp nước và dầu ăn có tổng thể tích 500 cm³ và tổng khối lượng 440 g. Biết $D_{nước} = 1000\ kg/m^3$ và $D_{dầu} = 800\ kg/m^3$ . Tính thể tích của mỗi chất trong hỗn hợp.
Một hỗn hợp nước và dầu ăn có tổng thể tích 500 cm³ và tổng khối lượng 440 g. Biết $D_{nước} = 1000\ kg/m^3$ và $D_{dầu} = 800\ kg/m^3$. Tính thể tích của mỗi chất trong hỗn hợp.
2
Gọi $V_1$ (m³) là thể tích nước, $V_2$ (m³) là thể tích dầu ăn. Đổi $V = 500\ cm^3 = 0{,}0005\ m^3$ và $m = 440\ g = 0{,}44\ kg$ . Ta có hệ: (1) $V_1+V_2=0{,}0005$ và (2) $1000V_1+800V_2=0{,}44$ (vì $m_1=D_1V_1$ , $m_2=D_2V_2$ ).
Gọi $V_1$ (m³) là thể tích nước, $V_2$ (m³) là thể tích dầu ăn. Đổi $V = 500\ cm^3 = 0{,}0005\ m^3$ và $m = 440\ g = 0{,}44\ kg$. Ta có hệ: (1) $V_1+V_2=0{,}0005$ và (2) $1000V_1+800V_2=0{,}44$ (vì $m_1=D_1V_1$, $m_2=D_2V_2$).
3
Từ (1): $V_1 = 0{,}0005-V_2$ . Thế vào (2): $1000(0{,}0005-V_2)+800V_2=0{,}44$ , tức là $0{,}5-1000V_2+800V_2=0{,}44$ , suy ra $0{,}5-200V_2=0{,}44$ , do đó $200V_2=0{,}06$ , nên $V_2=0{,}0003\ m^3$ .
Từ (1): $V_1 = 0{,}0005-V_2$. Thế vào (2): $1000(0{,}0005-V_2)+800V_2=0{,}44$, tức là $0{,}5-1000V_2+800V_2=0{,}44$, suy ra $0{,}5-200V_2=0{,}44$, do đó $200V_2=0{,}06$, nên $V_2=0{,}0003\ m^3$.
4
Từ (1): $V_1=0{,}0005-0{,}0003=0{,}0002\ m^3$ . Kiểm tra: $m_1=1000\times 0{,}0002=0{,}2\ kg=200\ g$ ; $m_2=800\times 0{,}0003=0{,}24\ kg=240\ g$ ; tổng $=440\ g$ (TMĐK, khớp với đề bài).
Từ (1): $V_1=0{,}0005-0{,}0003=0{,}0002\ m^3$. Kiểm tra: $m_1=1000\times 0{,}0002=0{,}2\ kg=200\ g$; $m_2=800\times 0{,}0003=0{,}24\ kg=240\ g$; tổng $=440\ g$ (TMĐK, khớp với đề bài).
5
Vậy thể tích nước là $V_1=0{,}0002\ m^3=200\ cm^3$ , thể tích dầu ăn là $V_2=0{,}0003\ m^3=300\ cm^3$ .
Vậy thể tích nước là $V_1=0{,}0002\ m^3=200\ cm^3$, thể tích dầu ăn là $V_2=0{,}0003\ m^3=300\ cm^3$.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm rất phổ biến là lấy $D_{hh} = (D_1+D_2)/2$ cho MỌI bài toán trộn, kể cả khi hai chất trộn theo khối lượng bằng nhau chứ không phải theo thể tích bằng nhau. Trung bình cộng đơn giản chỉ đúng khi trộn đúng thể tích bằng nhau — mọi trường hợp khác bắt buộc phải tính riêng $V_1, V_2$ rồi cộng lại theo đúng công thức $D_{hh}=(m_1+m_2)/(V_1+V_2)$ .

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Khối lượng riêng của hỗn hợp hai chất lỏng: $D_{hh} = (m_1+m_2)/(V_1+V_2)$ . Trung bình cộng đơn giản của D1 và D2 chỉ đúng khi trộn theo đúng thể tích bằng nhau — mọi tỉ lệ khác phải tính riêng từng V rồi cộng lại.

Khối lượng riêng của hỗn hợp hai chất lỏng: $D_{hh} = (m_1+m_2)/(V_1+V_2)$. Trung bình cộng đơn giản của D1 và D2 chỉ đúng khi trộn theo đúng thể tích bằng nhau — mọi tỉ lệ khác phải tính riêng từng V rồi cộng lại.

Công thức này mở rộng tự nhiên cho ba chất lỏng trở lên, chỉ cần cộng thêm $m_3, V_3$ vào tử và mẫu số — bản chất vẫn là định nghĩa gốc $D=m/V$ áp dụng cho toàn bộ hỗn hợp, không phải một công thức riêng cần học thuộc thêm.

Cầu nối

Cả khoá học đã đi từ định nghĩa D, cách đo D, cách dùng D nhận biết chất và dự đoán nổi/chìm, đến bài toán hỗn hợp. Bài ôn tập cuối cùng sẽ ghép tất cả những kiến thức này vào các bài toán tổng hợp nhiều bước, đúng dạng đề kiểm tra cuối kì.