Bài học

Biểu đồ hộp và phát hiện giá trị ngoại lệ

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em vẽ được biểu đồ hộp từ năm mốc: giá trị nhỏ nhất, $Q_1$ , $Q_2$ , $Q_3$ và giá trị lớn nhất; đọc được thông tin về độ phân tán từ một biểu đồ hộp có sẵn; và áp dụng đúng quy tắc $[Q_1-1,5\Delta_Q;\ Q_3+1,5\Delta_Q]$ để phát hiện giá trị ngoại lệ trong một mẫu số liệu.

Sau bài này, em vẽ được biểu đồ hộp từ năm mốc: giá trị nhỏ nhất, $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ và giá trị lớn nhất; đọc được thông tin về độ phân tán từ một biểu đồ hộp có sẵn; và áp dụng đúng quy tắc $[Q_1-1,5\Delta_Q;\ Q_3+1,5\Delta_Q]$ để phát hiện giá trị ngoại lệ trong một mẫu số liệu.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã tính $Q_1$ , $Q_2$ , $Q_3$ và khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ của mẫu thời gian chạy 5km (same-grade bridge) — năm mốc giá trị nhỏ nhất, $Q_1$ , $Q_2$ , $Q_3$ , giá trị lớn nhất sẽ được dùng ngay để vẽ biểu đồ hộp trong bài này.

Bài trước đã tính $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ và khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ của mẫu thời gian chạy 5km (same-grade bridge) — năm mốc giá trị nhỏ nhất, $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$, giá trị lớn nhất sẽ được dùng ngay để vẽ biểu đồ hộp trong bài này.

Khởi động

Một huấn luyện viên muốn biết thành tích của cả đội bằng một hình vẽ duy nhất, thay vì đọc từng con số. Có cách nào gói gọn giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất và ba mốc tứ phân vị vào một hình đơn giản, giúp nhìn một cái là thấy ngay mẫu số liệu phân bố ra sao không?

Kiến thức trọng tâm

Biểu đồ hộp (box plot) trình bày năm mốc của mẫu số liệu — giá trị nhỏ nhất $x_{min}$ , $Q_1$ , $Q_2$ (trung vị), $Q_3$ , giá trị lớn nhất $x_{max}$ — trên cùng một trục số. Một hình chữ nhật (hộp) được vẽ từ $Q_1$ đến $Q_3$ , chứa 50% giá trị ở giữa mẫu; một vạch trong hộp đánh dấu $Q_2$ . Hai đoạn thẳng (râu) nối từ hai cạnh hộp ra đến $x_{min}$ và $x_{max}$ . Nhìn vào một biểu đồ hộp, em đọc được ngay: mẫu số liệu trải rộng đến đâu (từ $x_{min}$ đến $x_{max}$ ), 50% dữ liệu giữa tập trung ra sao (bề rộng của hộp, chính là $\Delta_Q$ ), và trung vị nằm ở đâu trong khoảng đó.

Biểu đồ hộp (box plot) trình bày năm mốc của mẫu số liệu — giá trị nhỏ nhất $x_{min}$, $Q_1$, $Q_2$ (trung vị), $Q_3$, giá trị lớn nhất $x_{max}$ — trên cùng một trục số. Một hình chữ nhật (hộp) được vẽ từ $Q_1$ đến $Q_3$, chứa 50% giá trị ở giữa mẫu; một vạch trong hộp đánh dấu $Q_2$. Hai đoạn thẳng (râu) nối từ hai cạnh hộp ra đến $x_{min}$ và $x_{max}$. Nhìn vào một biểu đồ hộp, em đọc được ngay: mẫu số liệu trải rộng đến đâu (từ $x_{min}$ đến $x_{max}$), 50% dữ liệu giữa tập trung ra sao (bề rộng của hộp, chính là $\Delta_Q$), và trung vị nằm ở đâu trong khoảng đó.

Vị trí của vạch $Q_2$ trong hộp cũng cho biết hình dạng phân bố: nếu $Q_2$ nằm lệch về phía $Q_1$ , phần dữ liệu phía trên trung vị trải rộng hơn phần phía dưới; nếu lệch về phía $Q_3$ , điều ngược lại đúng. Hai râu dài ngắn khác nhau cũng cho biết dữ liệu có trải rộng đều hai phía hay không.

Vị trí của vạch $Q_2$ trong hộp cũng cho biết hình dạng phân bố: nếu $Q_2$ nằm lệch về phía $Q_1$, phần dữ liệu phía trên trung vị trải rộng hơn phần phía dưới; nếu lệch về phía $Q_3$, điều ngược lại đúng. Hai râu dài ngắn khác nhau cũng cho biết dữ liệu có trải rộng đều hai phía hay không.

Biểu đồ hộp còn giúp phát hiện giá trị ngoại lệ — những giá trị nằm cách xa bất thường so với phần còn lại của mẫu. Quy tắc phổ biến: một giá trị $x$ được coi là ngoại lệ nếu nó nằm ngoài đoạn $[Q_1-1,5\Delta_Q;\ Q_3+1,5\Delta_Q]$ , trong đó $\Delta_Q=Q_3-Q_1$ là khoảng tứ phân vị đã học ở bài trước. Hệ số $1,5$ không phải ngẫu nhiên: nó đủ rộng để không coi những dao động bình thường là bất thường, nhưng đủ hẹp để phát hiện đúng những giá trị thực sự tách biệt khỏi phần lớn dữ liệu.

Biểu đồ hộp còn giúp phát hiện giá trị ngoại lệ — những giá trị nằm cách xa bất thường so với phần còn lại của mẫu. Quy tắc phổ biến: một giá trị $x$ được coi là ngoại lệ nếu nó nằm ngoài đoạn $[Q_1-1,5\Delta_Q;\ Q_3+1,5\Delta_Q]$, trong đó $\Delta_Q=Q_3-Q_1$ là khoảng tứ phân vị đã học ở bài trước. Hệ số $1,5$ không phải ngẫu nhiên: nó đủ rộng để không coi những dao động bình thường là bất thường, nhưng đủ hẹp để phát hiện đúng những giá trị thực sự tách biệt khỏi phần lớn dữ liệu.

Quy tắc ngoại lệ dùng $\Delta_Q$ thay vì khoảng biến thiên $R$ vì lý do đã nêu ở bài trước: $\Delta_Q$ chỉ dựa vào 50% dữ liệu giữa nên bản thân nó không bị bóp méo bởi chính giá trị ngoại lệ đang cần tìm — nếu dùng $R=x_{max}-x_{min}$ để xét ngoại lệ, một giá trị ngoại lệ sẽ tự làm to khoảng đó lên, che giấu chính nó. Một giá trị nằm đúng bằng ngưỡng, không vượt qua, chưa bị coi là ngoại lệ — quy tắc chỉ áp dụng cho giá trị nằm hẳn ngoài đoạn.

Trong thực tế, biểu đồ hộp thường được dùng để so sánh nhiều mẫu số liệu cùng lúc — chẳng hạn so sánh điểm thi của nhiều lớp, hoặc doanh thu nhiều tháng — bằng cách đặt các biểu đồ hộp song song trên cùng một trục số. Khi đó, hộp nào nằm cao hơn cho biết mẫu đó có xu hướng lớn hơn; hộp nào hẹp hơn cho biết mẫu đó đồng đều hơn; và mẫu có điểm nằm ngoài hai râu cho biết mẫu đó có giá trị bất thường. Đây chính là lý do biểu đồ hộp phổ biến trong báo cáo thống kê: một hình vẽ duy nhất truyền tải được cả xu hướng trung tâm, độ phân tán, lẫn sự hiện diện của giá trị ngoại lệ, thay vì phải đọc một bảng số liệu dài.

Năm mốc này là dữ liệu để vẽ hộp từ Q1 đến Q3 và hai râu tới giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.

Ví dụ

Vẽ biểu đồ hộp cho mẫu thời gian chạy 5km

1
Dùng lại mẫu thời gian chạy 5km (phút) của 10 học sinh ở bài trước: 12; 15; 17; 18; 20; 21; 23; 25; 28; 30, với $Q_1=17$ , $Q_2=20,5$ , $Q_3=25$ . Mô tả biểu đồ hộp của mẫu số liệu này.
Dùng lại mẫu thời gian chạy 5km (phút) của 10 học sinh ở bài trước: 12; 15; 17; 18; 20; 21; 23; 25; 28; 30, với $Q_1=17$, $Q_2=20,5$, $Q_3=25$. Mô tả biểu đồ hộp của mẫu số liệu này.
2
Ta có $x_{min}=12$ , $Q_1=17$ , $Q_2=20,5$ , $Q_3=25$ , $x_{max}=30$ .
Ta có $x_{min}=12$, $Q_1=17$, $Q_2=20,5$, $Q_3=25$, $x_{max}=30$.
3
Hộp được vẽ từ 17 đến 25 trên trục số, chứa 50% học sinh có thời gian ở giữa mẫu; vạch tại 20,5 đánh dấu trung vị, nằm gần chính giữa hộp.
4
Râu trái nối từ 17 xuống 12 (giá trị nhỏ nhất), râu phải nối từ 25 lên 30 (giá trị lớn nhất).
5
Vậy biểu đồ hộp cho thấy thời gian chạy của 10 học sinh trải từ 12 đến 30 phút, với 50% học sinh ở giữa hoàn thành trong khoảng 17 đến 25 phút — không có dấu hiệu giá trị nào tách biệt bất thường khỏi phần còn lại.

Ví dụ

Kiểm tra giá trị ngoại lệ trong thời gian tự học

1
Thời gian tự học ở nhà (phút) mỗi ngày trong 10 ngày của một bạn học sinh, đã sắp xếp: 40; 45; 50; 55; 60; 62; 65; 70; 75; 150. Kiểm tra xem giá trị 150 có phải là giá trị ngoại lệ hay không.
2
Nửa dưới: 40; 45; 50; 55; 60, nửa trên: 62; 65; 70; 75; 150. Trung vị của nửa dưới $Q_1=50$ ; trung vị của nửa trên $Q_3=70$ .
Nửa dưới: 40; 45; 50; 55; 60, nửa trên: 62; 65; 70; 75; 150. Trung vị của nửa dưới $Q_1=50$; trung vị của nửa trên $Q_3=70$.
3
$\Delta_Q=Q_3-Q_1=70-50=20$ (phút).
$\Delta_Q=Q_3-Q_1=70-50=20$ (phút).
4
Ngưỡng dưới: $Q_1-1,5\Delta_Q=50-1,5\times20=50-30=20$ . Ngưỡng trên: $Q_3+1,5\Delta_Q=70+1,5\times20=70+30=100$ . Vậy đoạn không ngoại lệ là $[20;100]$ .
Ngưỡng dưới: $Q_1-1,5\Delta_Q=50-1,5\times20=50-30=20$. Ngưỡng trên: $Q_3+1,5\Delta_Q=70+1,5\times20=70+30=100$. Vậy đoạn không ngoại lệ là $[20;100]$.
5
Vì $150>100$ , giá trị 150 nằm ngoài đoạn $[20;100]$ , nên đây là một giá trị ngoại lệ. Có thể hôm đó bạn học sinh có một buổi ôn tập đặc biệt dài, không đại diện cho thói quen tự học thường ngày.
Vì $150>100$, giá trị 150 nằm ngoài đoạn $[20;100]$, nên đây là một giá trị ngoại lệ. Có thể hôm đó bạn học sinh có một buổi ôn tập đặc biệt dài, không đại diện cho thói quen tự học thường ngày.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm hay gặp là dùng khoảng biến thiên $R$ thay vì khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ khi tính ngưỡng ngoại lệ — hai đại lượng này đo những thứ khác nhau. Một sai lầm khác là quên nhân hệ số 1,5 trước khi cộng/trừ, hoặc cộng nhầm ngưỡng trên vào $Q_1$ thay vì $Q_3$ . Cuối cùng, một giá trị nằm đúng bằng ngưỡng (không vượt qua) không bị coi là ngoại lệ — quy tắc chỉ áp dụng cho giá trị nằm hẳn ngoài đoạn.

Sai lầm hay gặp là dùng khoảng biến thiên $R$ thay vì khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ khi tính ngưỡng ngoại lệ — hai đại lượng này đo những thứ khác nhau. Một sai lầm khác là quên nhân hệ số 1,5 trước khi cộng/trừ, hoặc cộng nhầm ngưỡng trên vào $Q_1$ thay vì $Q_3$. Cuối cùng, một giá trị nằm đúng bằng ngưỡng (không vượt qua) không bị coi là ngoại lệ — quy tắc chỉ áp dụng cho giá trị nằm hẳn ngoài đoạn.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Biểu đồ hộp trình bày $x_{min}$ , $Q_1$ , $Q_2$ , $Q_3$ , $x_{max}$ trên một trục số: hộp từ $Q_1$ đến $Q_3$ , vạch $Q_2$ trong hộp, hai râu tới $x_{min}$ và $x_{max}$ . Một giá trị là ngoại lệ nếu nó nằm ngoài đoạn $[Q_1-1,5\Delta_Q;\ Q_3+1,5\Delta_Q]$ .

Biểu đồ hộp trình bày $x_{min}$, $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$, $x_{max}$ trên một trục số: hộp từ $Q_1$ đến $Q_3$, vạch $Q_2$ trong hộp, hai râu tới $x_{min}$ và $x_{max}$. Một giá trị là ngoại lệ nếu nó nằm ngoài đoạn $[Q_1-1,5\Delta_Q;\ Q_3+1,5\Delta_Q]$.

Toàn bộ Chương 1 đến Chương 3 vừa trang bị cho em một bộ công cụ đầy đủ để mô tả một mẫu số liệu: trung tâm (số trung bình, trung vị, mốt) và độ phân tán (khoảng biến thiên, tứ phân vị, phương sai, độ lệch chuẩn, biểu đồ hộp). Chương tiếp theo chuyển sang một chủ đề khác của Toán 10: xác suất — công cụ để đo mức độ chắc chắn của một biến cố trước khi nó xảy ra.