Bài học

Số trung bình, trung vị và mốt của mẫu số liệu

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính đúng số trung bình của một mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số, tìm đúng trung vị và mốt của một mẫu số liệu bất kỳ, và biết chọn số đặc trưng phù hợp khi so sánh hai mẫu số liệu khác nhau.

Kiến thức nền cần nhớ

Từ lớp 7, em đã biết tính số trung bình cộng của một dãy số bằng cách lấy tổng chia cho số lượng giá trị (prior-grade review). Bài này dùng lại ý tưởng đó, nhưng mở rộng sang mẫu số liệu trình bày qua bảng tần số — nơi mỗi giá trị đi kèm một số lần xuất hiện — đồng thời giới thiệu hai số đặc trưng mới của chương trình lớp 10: trung vị và mốt.

Khởi động

Tổ Một và Tổ Hai của một lớp học cùng làm bài kiểm tra 15 phút, thang điểm 10. Điểm trung bình của cả hai tổ đều bằng 7. Có thể kết luận trình độ hai tổ giống hệt nhau không? Nếu điểm của Tổ Một tập trung quanh mức 6, 7, 8, còn nửa Tổ Hai đạt 10 điểm và nửa còn lại chỉ đạt 4 điểm, con số 7 chung ấy có còn mô tả đúng bức tranh của cả hai tổ?

Kiến thức trọng tâm

Với một mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số — giá trị $x_1, x_2, \ldots, x_k$ xuất hiện lần lượt $n_1, n_2, \ldots, n_k$ lần, tổng số lần quan sát là $n=n_1+n_2+\cdots+n_k$ — số trung bình được tính theo công thức $\bar{x}=\dfrac{n_1x_1+n_2x_2+\cdots+n_kx_k}{n}$ . Công thức này chỉ là một cách viết gọn của phép cộng tất cả các giá trị rồi chia cho số lượng: thay vì cộng một giá trị lặp lại nhiều lần theo từng lần một, ta nhân giá trị đó với tần số của nó trước, rồi mới cộng lại.

Với một mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số — giá trị $x_1, x_2, \ldots, x_k$ xuất hiện lần lượt $n_1, n_2, \ldots, n_k$ lần, tổng số lần quan sát là $n=n_1+n_2+\cdots+n_k$ — số trung bình được tính theo công thức $\bar{x}=\dfrac{n_1x_1+n_2x_2+\cdots+n_kx_k}{n}$. Công thức này chỉ là một cách viết gọn của phép cộng tất cả các giá trị rồi chia cho số lượng: thay vì cộng một giá trị lặp lại nhiều lần theo từng lần một, ta nhân giá trị đó với tần số của nó trước, rồi mới cộng lại.

Trung vị (kí hiệu $M_e$ ) là giá trị nằm chính giữa của mẫu số liệu sau khi đã sắp xếp theo thứ tự không giảm. Với $n$ giá trị: nếu $n$ lẻ, trung vị là giá trị đứng ở vị trí chính giữa; nếu $n$ chẵn, trung vị là trung bình cộng của hai giá trị đứng ở hai vị trí chính giữa. Khác với số trung bình, trung vị chỉ phụ thuộc vào vị trí của các giá trị sau khi sắp xếp, không phụ thuộc việc giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất lớn hay bé đến đâu — đây chính là lý do trung vị ít bị ảnh hưởng bởi một vài giá trị bất thường trong mẫu.

Trung vị (kí hiệu $M_e$) là giá trị nằm chính giữa của mẫu số liệu sau khi đã sắp xếp theo thứ tự không giảm. Với $n$ giá trị: nếu $n$ lẻ, trung vị là giá trị đứng ở vị trí chính giữa; nếu $n$ chẵn, trung vị là trung bình cộng của hai giá trị đứng ở hai vị trí chính giữa. Khác với số trung bình, trung vị chỉ phụ thuộc vào vị trí của các giá trị sau khi sắp xếp, không phụ thuộc việc giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất lớn hay bé đến đâu — đây chính là lý do trung vị ít bị ảnh hưởng bởi một vài giá trị bất thường trong mẫu.

Mốt (kí hiệu $M_o$ ) là giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất trong mẫu số liệu. Một mẫu số liệu có thể có một mốt, nhiều mốt (khi hai hay nhiều giá trị cùng đạt tần số lớn nhất), hoặc không có mốt rõ ràng nếu mọi giá trị đều xuất hiện với tần số như nhau. Mốt hữu ích khi em muốn biết giá trị nào phổ biến nhất — chẳng hạn cỡ giày bán chạy nhất của một cửa hàng — điều mà số trung bình không cho biết trực tiếp.

Mốt (kí hiệu $M_o$) là giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất trong mẫu số liệu. Một mẫu số liệu có thể có một mốt, nhiều mốt (khi hai hay nhiều giá trị cùng đạt tần số lớn nhất), hoặc không có mốt rõ ràng nếu mọi giá trị đều xuất hiện với tần số như nhau. Mốt hữu ích khi em muốn biết giá trị nào phổ biến nhất — chẳng hạn cỡ giày bán chạy nhất của một cửa hàng — điều mà số trung bình không cho biết trực tiếp.

Quay lại tình huống ở phần khởi động: nếu tính thêm trung vị của hai tổ, bức tranh sẽ rõ hơn nhiều. Với Tổ Một, điểm tập trung quanh 6, 7, 8 nên trung vị cũng gần bằng 7, khớp với số trung bình — dữ liệu khá đồng đều. Với Tổ Hai, khi nửa lớp đạt 10 và nửa còn lại chỉ đạt 4, trung vị sẽ nằm đâu đó giữa 4 và 10, có thể lệch hẳn khỏi 7 tùy vào cách chia đôi lớp. Số trung bình dùng toàn bộ giá trị nên nhạy với những giá trị cách xa phần còn lại của mẫu; trung vị bền hơn trước những giá trị đó. Khi một mẫu số liệu có giá trị bất thường — một vài học sinh điểm rất thấp hoặc rất cao so với cả lớp — trung vị thường mô tả mức phổ biến trung thực hơn số trung bình.

Bảng tần số của Tổ Một: 30 học sinh, điểm từ 5 đến 10.

Ví dụ

Số trung bình, trung vị và mốt của điểm kiểm tra Tổ Một

1
Bảng tần số điểm kiểm tra 15 phút của 30 học sinh Tổ Một: điểm 5 có 3 học sinh, điểm 6 có 5 học sinh, điểm 7 có 8 học sinh, điểm 8 có 7 học sinh, điểm 9 có 4 học sinh, điểm 10 có 3 học sinh. Tính số trung bình, tìm trung vị và mốt của mẫu số liệu này.
2
Ta có $n=3+5+8+7+4+3=30$ . Áp dụng công thức, $\bar{x}=\dfrac{5\times3+6\times5+7\times8+8\times7+9\times4+10\times3}{30}=\dfrac{15+30+56+56+36+30}{30}=\dfrac{223}{30}\approx7,43$ (điểm).
Ta có $n=3+5+8+7+4+3=30$. Áp dụng công thức, $\bar{x}=\dfrac{5\times3+6\times5+7\times8+8\times7+9\times4+10\times3}{30}=\dfrac{15+30+56+56+36+30}{30}=\dfrac{223}{30}\approx7,43$ (điểm).
3
Xét tần số tích lũy: đến điểm 5 có 3 học sinh, đến điểm 6 có $3+5=8$ học sinh, đến điểm 7 có $8+8=16$ học sinh. Vì $n=30$ chẵn, trung vị là trung bình cộng của giá trị đứng thứ 15 và thứ 16. Cả hai vị trí này đều nằm trong khoảng từ vị trí 9 đến 16 — khoảng ứng với điểm 7, vì tần số tích lũy đến điểm 6 là 8 còn đến điểm 7 là 16. Suy ra học sinh thứ 15 và thứ 16 đều đạt điểm 7, nên $M_e=7$ .
Xét tần số tích lũy: đến điểm 5 có 3 học sinh, đến điểm 6 có $3+5=8$ học sinh, đến điểm 7 có $8+8=16$ học sinh. Vì $n=30$ chẵn, trung vị là trung bình cộng của giá trị đứng thứ 15 và thứ 16. Cả hai vị trí này đều nằm trong khoảng từ vị trí 9 đến 16 — khoảng ứng với điểm 7, vì tần số tích lũy đến điểm 6 là 8 còn đến điểm 7 là 16. Suy ra học sinh thứ 15 và thứ 16 đều đạt điểm 7, nên $M_e=7$.
4
Ta có tần số lớn nhất trong bảng là 8, ứng với điểm 7. Vậy $M_o=7$ .
Ta có tần số lớn nhất trong bảng là 8, ứng với điểm 7. Vậy $M_o=7$.
5
Vậy điểm trung bình của Tổ Một xấp xỉ 7,43, trong khi trung vị và mốt đều bằng 7. Ba số đặc trưng khá gần nhau, cho thấy điểm số của Tổ Một phân bố khá đồng đều quanh mức 7, không có nhiều giá trị bất thường kéo số trung bình đi xa.

Ví dụ

Trung vị và mốt của một mẫu số liệu nhỏ

1
Số lỗi chính tả trong 9 bài văn của một nhóm học sinh lần lượt là: 5; 2; 3; 8; 4; 3; 6; 3; 7. Tìm trung vị và mốt của mẫu số liệu này.
2
Ta có sắp xếp lại theo thứ tự không giảm: 2; 3; 3; 3; 4; 5; 6; 7; 8.
3
Mẫu số liệu có $n=9$ giá trị, là số lẻ, nên trung vị là giá trị đứng ở vị trí chính giữa, tức vị trí thứ $\dfrac{9+1}{2}=5$ . Giá trị đó là 4. Vậy $M_e=4$ .
Mẫu số liệu có $n=9$ giá trị, là số lẻ, nên trung vị là giá trị đứng ở vị trí chính giữa, tức vị trí thứ $\dfrac{9+1}{2}=5$. Giá trị đó là 4. Vậy $M_e=4$.
4
Ta có giá trị 3 xuất hiện 3 lần, nhiều hơn bất kỳ giá trị nào khác trong mẫu. Vậy $M_o=3$ .
Ta có giá trị 3 xuất hiện 3 lần, nhiều hơn bất kỳ giá trị nào khác trong mẫu. Vậy $M_o=3$.
5
Vậy trung vị của số lỗi chính tả là 4 lỗi, còn mốt là 3 lỗi — nghĩa là số lỗi phổ biến nhất trong nhóm là 3, dù một nửa số bài có từ 4 lỗi trở lên.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là quên sắp xếp mẫu số liệu trước khi tìm trung vị — với dữ liệu chưa sắp xếp, vị trí chính giữa không có ý nghĩa gì. Sai lầm khác là khi $n$ chẵn, học sinh chỉ lấy một trong hai giá trị chính giữa thay vì tính trung bình cộng của cả hai. Về mốt, nhiều em nhầm mốt là giá trị lớn nhất của mẫu, trong khi mốt phải là giá trị có tần số lớn nhất — hai điều hoàn toàn khác nhau.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Số trung bình $\bar{x}=\dfrac{\sum n_ix_i}{n}$ dùng toàn bộ giá trị nên nhạy với giá trị bất thường. Trung vị là giá trị (hoặc trung bình cộng hai giá trị) ở chính giữa mẫu đã sắp xếp, bền hơn trước giá trị bất thường. Mốt là giá trị có tần số lớn nhất, cho biết giá trị phổ biến nhất.

Ba số đặc trưng vừa học đều mô tả trung tâm của mẫu số liệu, nhưng chưa nói gì về việc dữ liệu tập trung sát nhau hay trải rộng ra sao. Bài tiếp theo học cách đo chính điều đó: khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai và độ lệch chuẩn.