Bài học

Không gian mẫu, biến cố và xác suất cổ điển

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em xác định đúng không gian mẫu và biến cố của một phép thử, và tính đúng xác suất theo định nghĩa cổ điển $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$ khi các kết quả đồng khả năng.

Kiến thức nền cần nhớ

Ở cấp THCS, em đã làm quen sơ lược với khái niệm xác suất qua trò chơi tung đồng xu, gieo xúc xắc (prior-grade review). Bài này định nghĩa chặt chẽ hơn, gắn với hai khái niệm nền tảng: không gian mẫu và biến cố, rồi đưa ra công thức cụ thể để tính xác suất.

Khởi động

Rút ngẫu nhiên một lá bài từ bộ bài 52 lá đã xáo đều. Rút được lá Át có phải là chuyện may rủi hoàn toàn, hay có một con số cụ thể đo được mức độ chắc chắn của việc đó? Nếu có, con số ấy tính thế nào?

Kiến thức trọng tâm

Một phép thử ngẫu nhiên là một hành động mà ta không thể đoán trước chắc chắn kết quả, dù biết trước mọi kết quả có thể xảy ra — ví dụ gieo một con xúc xắc, rút một lá bài, tung một đồng xu. Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử gọi là không gian mẫu, kí hiệu $\Omega$ , và số phần tử của nó là $n(\Omega)$ . Với phép thử gieo một xúc xắc 6 mặt, $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$ nên $n(\Omega)=6$ .

Một phép thử ngẫu nhiên là một hành động mà ta không thể đoán trước chắc chắn kết quả, dù biết trước mọi kết quả có thể xảy ra — ví dụ gieo một con xúc xắc, rút một lá bài, tung một đồng xu. Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử gọi là không gian mẫu, kí hiệu $\Omega$, và số phần tử của nó là $n(\Omega)$. Với phép thử gieo một xúc xắc 6 mặt, $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$ nên $n(\Omega)=6$.

Một biến cố là một tập con của không gian mẫu, mô tả một sự kiện mà ta quan tâm. Chẳng hạn với phép thử gieo xúc xắc, biến cố $A$ : xuất hiện mặt chẵn là tập $A=\{2;4;6\}\subset\Omega$ , nên $n(A)=3$ . Biến cố xảy ra khi kết quả của phép thử là một phần tử thuộc tập biến cố đó.

Một biến cố là một tập con của không gian mẫu, mô tả một sự kiện mà ta quan tâm. Chẳng hạn với phép thử gieo xúc xắc, biến cố $A$: xuất hiện mặt chẵn là tập $A=\{2;4;6\}\subset\Omega$, nên $n(A)=3$. Biến cố xảy ra khi kết quả của phép thử là một phần tử thuộc tập biến cố đó.

Khi mọi kết quả trong không gian mẫu có cùng khả năng xảy ra — gọi là các kết quả đồng khả năng — xác suất của biến cố $A$ được tính theo định nghĩa cổ điển: $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$ . Điều kiện đồng khả năng rất quan trọng: công thức này chỉ đúng khi xúc xắc cân đối, đồng xu không bị lệch, bộ bài được xáo đều — nếu một mặt xúc xắc nặng hơn các mặt khác, các kết quả không còn đồng khả năng và công thức trên không áp dụng được nữa.

Khi mọi kết quả trong không gian mẫu có cùng khả năng xảy ra — gọi là các kết quả đồng khả năng — xác suất của biến cố $A$ được tính theo định nghĩa cổ điển: $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$. Điều kiện đồng khả năng rất quan trọng: công thức này chỉ đúng khi xúc xắc cân đối, đồng xu không bị lệch, bộ bài được xáo đều — nếu một mặt xúc xắc nặng hơn các mặt khác, các kết quả không còn đồng khả năng và công thức trên không áp dụng được nữa.

Từ định nghĩa, $0\le P(A)\le1$ với mọi biến cố $A$ : khi $A=\varnothing$ (biến cố không thể xảy ra), $P(A)=0$ ; khi $A=\Omega$ (biến cố chắc chắn xảy ra), $P(A)=1$ . Xác suất càng gần 1, biến cố càng dễ xảy ra; càng gần 0, biến cố càng khó xảy ra. Quy trình tính xác suất cổ điển luôn theo đúng ba bước: xác định không gian mẫu $\Omega$ , đếm số phần tử của biến cố $n(A)$ , rồi lập tỉ số $n(A)/n(\Omega)$ .

Từ định nghĩa, $0\le P(A)\le1$ với mọi biến cố $A$: khi $A=\varnothing$ (biến cố không thể xảy ra), $P(A)=0$; khi $A=\Omega$ (biến cố chắc chắn xảy ra), $P(A)=1$. Xác suất càng gần 1, biến cố càng dễ xảy ra; càng gần 0, biến cố càng khó xảy ra. Quy trình tính xác suất cổ điển luôn theo đúng ba bước: xác định không gian mẫu $\Omega$, đếm số phần tử của biến cố $n(A)$, rồi lập tỉ số $n(A)/n(\Omega)$.

Với mỗi biến cố $A$ , biến cố đối của $A$ — kí hiệu $\overline{A}$ — là biến cố $A$ không xảy ra, gồm tất cả các kết quả của $\Omega$ không thuộc $A$ . Vì $A$ và $\overline{A}$ luôn cùng nhau lấp đầy toàn bộ không gian mẫu mà không chồng lấn, $n(A)+n(\overline{A})=n(\Omega)$ , suy ra $P(A)+P(\overline{A})=1$ , tức $P(\overline{A})=1-P(A)$ . Công thức này đặc biệt hữu ích khi biến cố cần tính xác suất có dạng ít nhất một... — đếm trực tiếp các trường hợp ít nhất một thường phức tạp hơn nhiều so với đếm biến cố đối không có trường hợp nào, rồi lấy 1 trừ đi kết quả đó.

Với mỗi biến cố $A$, biến cố đối của $A$ — kí hiệu $\overline{A}$ — là biến cố $A$ không xảy ra, gồm tất cả các kết quả của $\Omega$ không thuộc $A$. Vì $A$ và $\overline{A}$ luôn cùng nhau lấp đầy toàn bộ không gian mẫu mà không chồng lấn, $n(A)+n(\overline{A})=n(\Omega)$, suy ra $P(A)+P(\overline{A})=1$, tức $P(\overline{A})=1-P(A)$. Công thức này đặc biệt hữu ích khi biến cố cần tính xác suất có dạng ít nhất một... — đếm trực tiếp các trường hợp ít nhất một thường phức tạp hơn nhiều so với đếm biến cố đối không có trường hợp nào, rồi lấy 1 trừ đi kết quả đó.

Ví dụ

Xác suất rút được quân Át từ bộ bài 52 lá

1
Rút ngẫu nhiên một lá bài từ bộ bài tây 52 lá đã xáo đều. Tính xác suất rút được một lá Át.
2
Mỗi lá bài trong 52 lá có cùng khả năng được rút, nên đây là các kết quả đồng khả năng và $n(\Omega)=52$ .
Mỗi lá bài trong 52 lá có cùng khả năng được rút, nên đây là các kết quả đồng khả năng và $n(\Omega)=52$.
3
Gọi $A$ : rút được lá Át. Bộ bài có đúng 4 lá Át (Át Cơ, Át Rô, Át Chuồn, Át Bích), nên $n(A)=4$ .
Gọi $A$: rút được lá Át. Bộ bài có đúng 4 lá Át (Át Cơ, Át Rô, Át Chuồn, Át Bích), nên $n(A)=4$.
4
Áp dụng định nghĩa cổ điển, $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{4}{52}=\dfrac{1}{13}$ .
Áp dụng định nghĩa cổ điển, $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{4}{52}=\dfrac{1}{13}$.
5
Vậy xác suất rút được lá Át bằng $\dfrac{1}{13}\approx0,077$ , tức khoảng 7,7%.
Vậy xác suất rút được lá Át bằng $\dfrac{1}{13}\approx0,077$, tức khoảng 7,7%.

Ví dụ

Xác suất tổng hai mặt xúc xắc bằng 7

1
Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai xúc xắc bằng 7.
2
Mỗi xúc xắc có 6 mặt, kết quả của phép thử là một cặp (số chấm xúc xắc 1, số chấm xúc xắc 2), nên theo quy tắc nhân, $n(\Omega)=6\times6=36$ , và mọi cặp đều đồng khả năng.
Mỗi xúc xắc có 6 mặt, kết quả của phép thử là một cặp (số chấm xúc xắc 1, số chấm xúc xắc 2), nên theo quy tắc nhân, $n(\Omega)=6\times6=36$, và mọi cặp đều đồng khả năng.
3
Gọi $A$ : tổng hai mặt bằng 7. Liệt kê các cặp thỏa mãn: $(1;6),(2;5),(3;4),(4;3),(5;2),(6;1)$ . Vậy $n(A)=6$ .
Gọi $A$: tổng hai mặt bằng 7. Liệt kê các cặp thỏa mãn: $(1;6),(2;5),(3;4),(4;3),(5;2),(6;1)$. Vậy $n(A)=6$.
4
Ta có $P(A)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$ .
Ta có $P(A)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$.
5
Vậy xác suất để tổng hai mặt xúc xắc bằng 7 là $\dfrac{1}{6}\approx0,167$ — đây cũng chính là tổng có xác suất cao nhất trong tất cả các tổng có thể, vì có nhiều cặp cho tổng này nhất.
Vậy xác suất để tổng hai mặt xúc xắc bằng 7 là $\dfrac{1}{6}\approx0,167$ — đây cũng chính là tổng có xác suất cao nhất trong tất cả các tổng có thể, vì có nhiều cặp cho tổng này nhất.

Ví dụ

Dùng biến cố đối để tính xác suất ít nhất một

1
Gieo một con xúc xắc cân đối 3 lần liên tiếp. Tính xác suất để xuất hiện ít nhất một lần mặt 6 chấm.
2
Mỗi lần gieo có 6 kết quả, ba lần liên tiếp theo quy tắc nhân: $n(\Omega)=6^3=216$ .
Mỗi lần gieo có 6 kết quả, ba lần liên tiếp theo quy tắc nhân: $n(\Omega)=6^3=216$.
3
Gọi $A$ : ít nhất một lần ra mặt 6. Biến cố đối $\overline{A}$ : không lần nào ra mặt 6, tức cả 3 lần đều ra một trong 5 mặt còn lại. Theo quy tắc nhân, $n(\overline{A})=5\times5\times5=125$ .
Gọi $A$: ít nhất một lần ra mặt 6. Biến cố đối $\overline{A}$: không lần nào ra mặt 6, tức cả 3 lần đều ra một trong 5 mặt còn lại. Theo quy tắc nhân, $n(\overline{A})=5\times5\times5=125$.
4
$P(\overline{A})=\dfrac{125}{216}$ .
$P(\overline{A})=\dfrac{125}{216}$.
5
$P(A)=1-P(\overline{A})=1-\dfrac{125}{216}=\dfrac{91}{216}\approx0,421$ .
$P(A)=1-P(\overline{A})=1-\dfrac{125}{216}=\dfrac{91}{216}\approx0,421$.
6
Vậy xác suất để xuất hiện ít nhất một lần mặt 6 trong 3 lần gieo xấp xỉ 42,1%. Đếm trực tiếp biến cố ít nhất một lần ra mặt 6 phải chia thành ba trường hợp (đúng 1, đúng 2, đúng 3 lần), còn đếm biến cố đối không lần nào ra mặt 6 chỉ cần một phép nhân — đây chính là lý do biến cố đối thường được ưu tiên cho các bài toán dạng ít nhất một.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là quên kiểm tra điều kiện đồng khả năng — không phải phép thử nào cũng cho các kết quả đồng khả năng, và công thức cổ điển chỉ dùng được khi điều đó đúng. Một sai lầm khác khi gieo hai xúc xắc là chỉ đếm các tổng có thể (từ 2 đến 12, có 11 giá trị) rồi coi mỗi tổng đồng khả năng như nhau — sai, vì tổng 7 có nhiều cặp xúc xắc tạo ra hơn tổng 2 hay tổng 12. Không gian mẫu đúng phải đếm từng cặp kết quả, không phải từng giá trị tổng.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Không gian mẫu $\Omega$ : tập tất cả kết quả có thể của phép thử. Biến cố: tập con của $\Omega$ . Khi các kết quả đồng khả năng, $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$ , luôn thỏa $0\le P(A)\le1$ . Biến cố đối $\overline{A}$ : $\overline{A}$ xảy ra khi $A$ không xảy ra, và $P(\overline{A})=1-P(A)$ — công cụ chính để tính nhanh xác suất của biến cố dạng ít nhất một.

Không gian mẫu $\Omega$: tập tất cả kết quả có thể của phép thử. Biến cố: tập con của $\Omega$. Khi các kết quả đồng khả năng, $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$, luôn thỏa $0\le P(A)\le1$. Biến cố đối $\overline{A}$: $\overline{A}$ xảy ra khi $A$ không xảy ra, và $P(\overline{A})=1-P(A)$ — công cụ chính để tính nhanh xác suất của biến cố dạng ít nhất một.

Khi số phần tử của không gian mẫu hoặc biến cố còn nhỏ, liệt kê trực tiếp là đủ. Nhưng khi bài toán chọn ra nhiều đối tượng cùng lúc — như chọn một nhóm học sinh từ cả lớp — liệt kê từng kết quả trở nên bất khả thi. Bài tiếp theo dùng lại các công thức đếm đã học ở khóa Quy tắc đếm, Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp để đếm $n(\Omega)$ và $n(A)$ nhanh hơn nhiều.