Bài học

Đo độ phân tán của mẫu số liệu

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính đúng khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị $Q_1, Q_2, Q_3$ , phương sai và độ lệch chuẩn của một mẫu số liệu, đồng thời giải thích được ý nghĩa của từng số đo trong việc so sánh độ ổn định giữa hai mẫu.

Sau bài này, em tính đúng khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị $Q_1, Q_2, Q_3$, phương sai và độ lệch chuẩn của một mẫu số liệu, đồng thời giải thích được ý nghĩa của từng số đo trong việc so sánh độ ổn định giữa hai mẫu.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã cho em công thức số trung bình $\bar{x}$ và cách tìm trung vị (same-grade bridge) — cả hai đại lượng đó được dùng lại ngay trong bài này, vì phương sai và tứ phân vị đều xây dựng dựa trên chúng.

Khởi động

Hai xạ thủ cùng bắn 7 phát vào bia, cùng đạt điểm trung bình 5 trên 7 phát. Nhưng xạ thủ A luôn bắn quanh mức 4–6 điểm, còn xạ thủ B có phát đạt 2 điểm và phát khác đạt 8 điểm. Nếu chỉ nhìn điểm trung bình, không thể biết ai bắn ổn định hơn. Làm sao đo được sự ổn định đó bằng một con số cụ thể?

Kiến thức trọng tâm

Số đo đơn giản nhất cho độ phân tán là khoảng biến thiên $R=x_{max}-x_{min}$ — hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu. Khoảng biến thiên dễ tính nhưng chỉ dùng đúng hai giá trị của mẫu, bỏ qua toàn bộ thông tin về các giá trị còn lại, nên rất nhạy cảm nếu mẫu có một giá trị bất thường.

Tứ phân vị chia mẫu số liệu đã sắp xếp thành bốn phần có số lượng giá trị bằng nhau, gồm ba mốc $Q_1, Q_2, Q_3$ . $Q_2$ chính là trung vị của cả mẫu. Để tìm $Q_1$ và $Q_3$ , ta chia mẫu thành nửa dưới và nửa trên: nếu $n$ chẵn, nửa dưới là $n/2$ giá trị nhỏ nhất và nửa trên là $n/2$ giá trị lớn nhất; nếu $n$ lẻ, ta bỏ giá trị chính giữa (chính là $Q_2$ ) ra khỏi cả hai nửa trước khi chia. Khi đó $Q_1$ là trung vị của nửa dưới, còn $Q_3$ là trung vị của nửa trên. Đây là quy ước được dùng xuyên suốt bài học này — có nhiều quy ước tứ phân vị khác nhau trong thống kê, nhưng sách giáo khoa lớp 10 và các đề kiểm tra ở Việt Nam đều dùng đúng cách chia này, nên em cần áp dụng nhất quán trong mọi bài toán.

Tứ phân vị chia mẫu số liệu đã sắp xếp thành bốn phần có số lượng giá trị bằng nhau, gồm ba mốc $Q_1, Q_2, Q_3$. $Q_2$ chính là trung vị của cả mẫu. Để tìm $Q_1$ và $Q_3$, ta chia mẫu thành nửa dưới và nửa trên: nếu $n$ chẵn, nửa dưới là $n/2$ giá trị nhỏ nhất và nửa trên là $n/2$ giá trị lớn nhất; nếu $n$ lẻ, ta bỏ giá trị chính giữa (chính là $Q_2$) ra khỏi cả hai nửa trước khi chia. Khi đó $Q_1$ là trung vị của nửa dưới, còn $Q_3$ là trung vị của nửa trên. Đây là quy ước được dùng xuyên suốt bài học này — có nhiều quy ước tứ phân vị khác nhau trong thống kê, nhưng sách giáo khoa lớp 10 và các đề kiểm tra ở Việt Nam đều dùng đúng cách chia này, nên em cần áp dụng nhất quán trong mọi bài toán.

Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q=Q_3-Q_1$ đo độ trải rộng của 50% dữ liệu ở giữa mẫu, sau khi đã bỏ đi 25% giá trị nhỏ nhất và 25% giá trị lớn nhất. Vì bỏ qua hai đầu mút, khoảng tứ phân vị ít bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường hơn khoảng biến thiên — đây cũng chính là công cụ mà bài học sau dùng để phát hiện giá trị ngoại lệ.

Phương sai đo độ phân tán bằng cách xét từng giá trị lệch bao xa so với số trung bình, rồi lấy trung bình của các độ lệch đã bình phương: $s^2=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$ . Bình phương độ lệch để mọi độ lệch, dù âm hay dương, đều đóng góp dương vào tổng — nếu không bình phương, các độ lệch âm và dương sẽ triệt tiêu lẫn nhau, luôn cho tổng bằng 0. Vì đã bình phương, đơn vị của phương sai là bình phương đơn vị dữ liệu gốc (chẳng hạn điểm², kg²) nên khó so sánh trực tiếp với dữ liệu ban đầu. Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{s^2}$ khắc phục điều này bằng cách lấy căn bậc hai, đưa đơn vị trở lại giống dữ liệu gốc.

Phương sai đo độ phân tán bằng cách xét từng giá trị lệch bao xa so với số trung bình, rồi lấy trung bình của các độ lệch đã bình phương: $s^2=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$. Bình phương độ lệch để mọi độ lệch, dù âm hay dương, đều đóng góp dương vào tổng — nếu không bình phương, các độ lệch âm và dương sẽ triệt tiêu lẫn nhau, luôn cho tổng bằng 0. Vì đã bình phương, đơn vị của phương sai là bình phương đơn vị dữ liệu gốc (chẳng hạn điểm², kg²) nên khó so sánh trực tiếp với dữ liệu ban đầu. Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{s^2}$ khắc phục điều này bằng cách lấy căn bậc hai, đưa đơn vị trở lại giống dữ liệu gốc.

Quay lại hai xạ thủ ở phần khởi động: cả hai có điểm trung bình bằng nhau, nhưng độ lệch chuẩn của xạ thủ A sẽ nhỏ hơn nhiều so với xạ thủ B, vì điểm của A luôn gần mức trung bình còn điểm của B dao động rất xa về hai phía. Độ lệch chuẩn càng nhỏ, mẫu số liệu càng đồng đều quanh giá trị trung bình; độ lệch chuẩn càng lớn, mẫu càng phân tán. Đây là lý do độ lệch chuẩn thường được dùng để đánh giá độ ổn định — của một xạ thủ, một dây chuyền sản xuất, hay một lớp học.

Khoảng tứ phân vị là khoảng cách từ Q1 đến Q3 trên trục số.

Ví dụ

Phương sai và độ lệch chuẩn của số sản phẩm lỗi

1
Một dây chuyền sản xuất ghi lại số sản phẩm lỗi mỗi ngày trong 7 ngày liên tiếp: 3; 5; 4; 6; 3; 7; 7 (đơn vị: sản phẩm). Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu này.
2
Ta có $n=7$ và $\bar{x}=\dfrac{3+5+4+6+3+7+7}{7}=\dfrac{35}{7}=5$ (sản phẩm).
Ta có $n=7$ và $\bar{x}=\dfrac{3+5+4+6+3+7+7}{7}=\dfrac{35}{7}=5$ (sản phẩm).
3
Độ lệch của từng giá trị so với $\bar{x}=5$ lần lượt là: $-2; 0; -1; 1; -2; 2; 2$ .
Độ lệch của từng giá trị so với $\bar{x}=5$ lần lượt là: $-2; 0; -1; 1; -2; 2; 2$.
4
Bình phương các độ lệch: $4; 0; 1; 1; 4; 4; 4$ , tổng bằng $18$ . Suy ra $s^2=\dfrac{18}{7}\approx2,57$ .
Bình phương các độ lệch: $4; 0; 1; 1; 4; 4; 4$, tổng bằng $18$. Suy ra $s^2=\dfrac{18}{7}\approx2,57$.
5
Ta có $s=\sqrt{s^2}=\sqrt{2,57}\approx1,60$ (sản phẩm).
Ta có $s=\sqrt{s^2}=\sqrt{2,57}\approx1,60$ (sản phẩm).
6
Vậy phương sai xấp xỉ 2,57 (sản phẩm)² và độ lệch chuẩn xấp xỉ 1,60 sản phẩm — số sản phẩm lỗi mỗi ngày dao động quanh mức trung bình 5 với độ lệch điển hình khoảng 1,6 sản phẩm.

Ví dụ

Tứ phân vị của thời gian hoàn thành bài chạy

1
Thời gian hoàn thành bài chạy 5km (đơn vị: phút) của 10 học sinh trong buổi kiểm tra thể lực, đã sắp xếp không giảm: 12; 15; 17; 18; 20; 21; 23; 25; 28; 30. Tìm $Q_1, Q_2, Q_3$ và khoảng tứ phân vị.
Thời gian hoàn thành bài chạy 5km (đơn vị: phút) của 10 học sinh trong buổi kiểm tra thể lực, đã sắp xếp không giảm: 12; 15; 17; 18; 20; 21; 23; 25; 28; 30. Tìm $Q_1, Q_2, Q_3$ và khoảng tứ phân vị.
2
Ta có $n=10$ là số chẵn, nên $Q_2$ là trung bình cộng của giá trị thứ 5 và thứ 6: $Q_2=\dfrac{20+21}{2}=20,5$ (phút).
Ta có $n=10$ là số chẵn, nên $Q_2$ là trung bình cộng của giá trị thứ 5 và thứ 6: $Q_2=\dfrac{20+21}{2}=20,5$ (phút).
3
Nửa dưới gồm 5 giá trị nhỏ nhất: 12; 15; 17; 18; 20. Nửa trên gồm 5 giá trị lớn nhất: 21; 23; 25; 28; 30.
4
$Q_1$ là trung vị của nửa dưới, tức giá trị đứng thứ 3 trong 5 giá trị: $Q_1=17$ . $Q_3$ là trung vị của nửa trên, tức giá trị đứng thứ 3: $Q_3=25$ .
$Q_1$ là trung vị của nửa dưới, tức giá trị đứng thứ 3 trong 5 giá trị: $Q_1=17$. $Q_3$ là trung vị của nửa trên, tức giá trị đứng thứ 3: $Q_3=25$.
5
$\Delta_Q=Q_3-Q_1=25-17=8$ (phút). Khoảng biến thiên $R=30-12=18$ (phút).
$\Delta_Q=Q_3-Q_1=25-17=8$ (phút). Khoảng biến thiên $R=30-12=18$ (phút).
6
Vậy $Q_1=17$ , $Q_2=20,5$ , $Q_3=25$ (phút); khoảng tứ phân vị bằng 8 phút, nhỏ hơn nhiều so với khoảng biến thiên 18 phút — cho thấy 50% học sinh ở giữa mẫu có thời gian khá gần nhau, dù giá trị nhỏ nhất và lớn nhất cách xa nhau hơn.
Vậy $Q_1=17$, $Q_2=20,5$, $Q_3=25$ (phút); khoảng tứ phân vị bằng 8 phút, nhỏ hơn nhiều so với khoảng biến thiên 18 phút — cho thấy 50% học sinh ở giữa mẫu có thời gian khá gần nhau, dù giá trị nhỏ nhất và lớn nhất cách xa nhau hơn.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm hay gặp nhất khi tìm $Q_1, Q_3$ với $n$ lẻ là quên bỏ trung vị ra khỏi hai nửa trước khi chia, khiến một nửa bị tính thừa một giá trị. Với phương sai, nhiều em quên bình phương độ lệch trước khi cộng, hoặc cộng độ lệch (có âm có dương) rồi chia cho $n$ — kết quả luôn ra 0 nên hoàn toàn vô nghĩa. Một sai lầm khác là nhầm phương sai với độ lệch chuẩn: hai đại lượng khác đơn vị, không thể dùng thay cho nhau khi đề yêu cầu đúng một trong hai.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

$R=x_{max}-x_{min}$ ; $Q_2$ là trung vị, $Q_1$ và $Q_3$ là trung vị của nửa dưới và nửa trên (bỏ $Q_2$ ra khỏi hai nửa khi $n$ lẻ); $\Delta_Q=Q_3-Q_1$ ; phương sai $s^2=\dfrac{1}{n}\sum(x_i-\bar{x})^2$ ; độ lệch chuẩn $s=\sqrt{s^2}$ . Độ lệch chuẩn càng nhỏ, mẫu càng đồng đều.

$R=x_{max}-x_{min}$; $Q_2$ là trung vị, $Q_1$ và $Q_3$ là trung vị của nửa dưới và nửa trên (bỏ $Q_2$ ra khỏi hai nửa khi $n$ lẻ); $\Delta_Q=Q_3-Q_1$; phương sai $s^2=\dfrac{1}{n}\sum(x_i-\bar{x})^2$; độ lệch chuẩn $s=\sqrt{s^2}$. Độ lệch chuẩn càng nhỏ, mẫu càng đồng đều.

Cặp mốc $Q_1$ và $Q_3$ vừa tính không chỉ đo độ phân tán — chúng còn là nguyên liệu để vẽ một biểu đồ trực quan hóa toàn bộ mẫu số liệu chỉ bằng một hình duy nhất: biểu đồ hộp. Bài tiếp theo dùng đúng mẫu thời gian chạy ở trên để vẽ biểu đồ đó.