Bài học

Tính xác suất bằng tổ hợp và chỉnh hợp

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em dùng đúng công thức chỉnh hợp $A_n^k$ và tổ hợp $C_n^k$ để đếm $n(\Omega)$ và $n(A)$ trong các phép thử chọn ngẫu nhiên nhiều đối tượng cùng lúc, rồi tính xác suất cổ điển từ đó.

Kiến thức nền cần nhớ

Khóa Quy tắc đếm, Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp đã trang bị cho em ba công thức đếm: hoán vị $P_n=n!$ (sắp xếp toàn bộ $n$ đối tượng có thứ tự), chỉnh hợp $A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}$ (chọn và sắp xếp có thứ tự $k$ trong $n$ đối tượng), và tổ hợp $C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ (chọn $k$ trong $n$ đối tượng, không quan tâm thứ tự) (same-grade bridge). Bài này không nhắc lại cách chứng minh các công thức đó, mà tập trung vào việc dùng chúng để đếm $n(\Omega)$ và $n(A)$ khi tính xác suất.

Khởi động

Một lớp có 10 bạn, trong đó 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 bạn để lập một nhóm thuyết trình. Có bao nhiêu cách chọn 3 bạn sao cho đúng 2 nam và 1 nữ, so với tổng số cách chọn 3 bạn bất kỳ? Liệt kê từng trường hợp gần như bất khả thi khi số lượng lớn — công thức tổ hợp giải quyết bài toán này gọn hơn nhiều.

Kiến thức trọng tâm

Khi phép thử là chọn ngẫu nhiên $k$ đối tượng trong $n$ đối tượng mà thứ tự chọn không quan trọng (chỉ quan tâm nhóm được chọn gồm những ai), số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega)=C_n^k$ . Đây là trường hợp thường gặp nhất khi chọn một nhóm, chọn một đội, chọn một ủy ban không phân vai trò.

Khi phép thử là chọn ngẫu nhiên $k$ đối tượng trong $n$ đối tượng mà thứ tự chọn không quan trọng (chỉ quan tâm nhóm được chọn gồm những ai), số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega)=C_n^k$. Đây là trường hợp thường gặp nhất khi chọn một nhóm, chọn một đội, chọn một ủy ban không phân vai trò.

Để đếm $n(A)$ khi biến cố yêu cầu một tỉ lệ cụ thể giữa các nhóm con — ví dụ đúng 2 nam và 1 nữ trong 3 người được chọn — ta tách việc chọn thành hai bước độc lập: chọn số nam cần thiết trong nhóm nam, chọn số nữ cần thiết trong nhóm nữ, rồi áp dụng quy tắc nhân để ghép hai lựa chọn đó lại với nhau. Mỗi bước là một phép chọn không thứ tự trong nội bộ nhóm đó, nên dùng đúng công thức tổ hợp $C$ cho từng bước.

Nếu bài toán có thêm yêu cầu về vai trò hoặc thứ tự — chẳng hạn chọn 3 bạn rồi phân công tổ trưởng, tổ phó, thành viên — thứ tự lúc này lại quan trọng, và số cách chọn phải tính bằng chỉnh hợp $A_n^k$ thay vì tổ hợp $C_n^k$ . Việc đầu tiên khi giải một bài xác suất có chọn nhiều đối tượng luôn là tự hỏi: kết quả có phân biệt theo thứ tự/vai trò hay không? Câu trả lời quyết định dùng $A_n^k$ hay $C_n^k$ cho cả không gian mẫu lẫn biến cố — dùng sai công thức ở một trong hai chỗ sẽ làm sai toàn bộ phân số xác suất, dù mỗi công thức tính riêng lẻ đều đúng.

Nếu bài toán có thêm yêu cầu về vai trò hoặc thứ tự — chẳng hạn chọn 3 bạn rồi phân công tổ trưởng, tổ phó, thành viên — thứ tự lúc này lại quan trọng, và số cách chọn phải tính bằng chỉnh hợp $A_n^k$ thay vì tổ hợp $C_n^k$. Việc đầu tiên khi giải một bài xác suất có chọn nhiều đối tượng luôn là tự hỏi: kết quả có phân biệt theo thứ tự/vai trò hay không? Câu trả lời quyết định dùng $A_n^k$ hay $C_n^k$ cho cả không gian mẫu lẫn biến cố — dùng sai công thức ở một trong hai chỗ sẽ làm sai toàn bộ phân số xác suất, dù mỗi công thức tính riêng lẻ đều đúng.

Ví dụ

Xác suất chọn đúng 2 nam và 1 nữ trong nhóm thuyết trình

1
Một lớp có 10 học sinh, gồm 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để lập một nhóm thuyết trình (không phân vai trò). Tính xác suất để nhóm được chọn có đúng 2 nam và 1 nữ.
2
Chọn 3 học sinh bất kỳ trong 10 học sinh, không phân biệt thứ tự, nên $n(\Omega)=C_{10}^3=\dfrac{10!}{3!\,7!}=120$ .
Chọn 3 học sinh bất kỳ trong 10 học sinh, không phân biệt thứ tự, nên $n(\Omega)=C_{10}^3=\dfrac{10!}{3!\,7!}=120$.
3
Chọn 2 nam trong 6 nam: $C_6^2=\dfrac{6!}{2!\,4!}=15$ cách.
Chọn 2 nam trong 6 nam: $C_6^2=\dfrac{6!}{2!\,4!}=15$ cách.
4
Chọn 1 nữ trong 4 nữ: $C_4^1=4$ cách.
Chọn 1 nữ trong 4 nữ: $C_4^1=4$ cách.
5
Theo quy tắc nhân, số cách chọn đúng 2 nam và 1 nữ là $n(A)=C_6^2\times C_4^1=15\times4=60$ .
Theo quy tắc nhân, số cách chọn đúng 2 nam và 1 nữ là $n(A)=C_6^2\times C_4^1=15\times4=60$.
6
Vậy $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{60}{120}=\dfrac{1}{2}$ .
Vậy $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{60}{120}=\dfrac{1}{2}$.
7
Xác suất để nhóm thuyết trình có đúng 2 nam và 1 nữ bằng $\dfrac{1}{2}$ — đúng một nửa số cách chọn 3 bạn bất kỳ rơi vào đúng tỉ lệ này, phản ánh việc 2 nam 1 nữ là tỉ lệ khá cân đối với 6 nam, 4 nữ trong nhóm 3 người.
Xác suất để nhóm thuyết trình có đúng 2 nam và 1 nữ bằng $\dfrac{1}{2}$ — đúng một nửa số cách chọn 3 bạn bất kỳ rơi vào đúng tỉ lệ này, phản ánh việc 2 nam 1 nữ là tỉ lệ khá cân đối với 6 nam, 4 nữ trong nhóm 3 người.

Ví dụ

Dùng biến cố đối khi đếm bằng tổ hợp: xác suất có ít nhất một nữ

1
Vẫn với lớp 10 học sinh (6 nam, 4 nữ) ở ví dụ trên, chọn ngẫu nhiên 3 học sinh. Tính xác suất để nhóm được chọn có ít nhất một nữ.
2
Gọi $B$ : có ít nhất một nữ. Biến cố đối $\overline{B}$ : không có nữ nào, tức cả 3 học sinh đều là nam.
Gọi $B$: có ít nhất một nữ. Biến cố đối $\overline{B}$: không có nữ nào, tức cả 3 học sinh đều là nam.
3
Chọn 3 nam trong 6 nam: $n(\overline{B})=C_6^3=20$ .
Chọn 3 nam trong 6 nam: $n(\overline{B})=C_6^3=20$.
4
$P(\overline{B})=\dfrac{20}{120}=\dfrac{1}{6}$ (nhắc lại $n(\Omega)=C_{10}^3=120$ đã tính ở ví dụ trước).
$P(\overline{B})=\dfrac{20}{120}=\dfrac{1}{6}$ (nhắc lại $n(\Omega)=C_{10}^3=120$ đã tính ở ví dụ trước).
5
$P(B)=1-P(\overline{B})=1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}$ .
$P(B)=1-P(\overline{B})=1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}$.
6
Vậy xác suất để nhóm 3 người có ít nhất một nữ là $\dfrac{5}{6}\approx0,833$ . Đếm trực tiếp biến cố có ít nhất một nữ sẽ phải cộng ba trường hợp (đúng 1, đúng 2, đúng 3 nữ); đếm biến cố đối toàn nam chỉ cần một phép tính tổ hợp duy nhất — kết hợp cả hai kỹ năng của bài học: chọn đúng công thức đếm và dùng biến cố đối để rút gọn phép đếm.
Vậy xác suất để nhóm 3 người có ít nhất một nữ là $\dfrac{5}{6}\approx0,833$. Đếm trực tiếp biến cố có ít nhất một nữ sẽ phải cộng ba trường hợp (đúng 1, đúng 2, đúng 3 nữ); đếm biến cố đối toàn nam chỉ cần một phép tính tổ hợp duy nhất — kết hợp cả hai kỹ năng của bài học: chọn đúng công thức đếm và dùng biến cố đối để rút gọn phép đếm.

Biến cố đối không phải lúc nào cũng là lựa chọn nhanh hơn: nếu biến cố cần tính đã có dạng đơn giản, như đúng 2 nam và 1 nữ ở ví dụ đầu bài, đếm trực tiếp thường ngắn gọn hơn cả việc xét biến cố đối rồi lấy 1 trừ đi. Biến cố đối phát huy tác dụng rõ nhất khi biến cố ban đầu có dạng ít nhất một hoặc nhiều nhất một — những dạng phải tách thành nhiều trường hợp con nếu đếm trực tiếp — vì khi đó biến cố đối thường chỉ gồm đúng một trường hợp duy nhất, như toàn nam ở ví dụ trên.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là dùng chỉnh hợp $A$ khi đề không yêu cầu phân biệt vai trò, khiến cả $n(\Omega)$ lẫn $n(A)$ đều bị nhân thêm một hệ số hoán vị thừa — hệ số thừa đó giống nhau ở tử và mẫu nên xác suất cuối cùng không đổi, nhưng cách trình bày sẽ bị coi là dùng sai công thức. Sai lầm khác là quên nhân hai bước lại với nhau khi đếm $n(A)$ — chỉ tính $C_6^2$ hoặc chỉ tính $C_4^1$ mà quên bước còn lại. Cuối cùng, cần chọn đúng một cách đếm (tổ hợp hay chỉnh hợp) cho cả không gian mẫu và biến cố — trộn lẫn hai loại công thức giữa tử số và mẫu số của phân số xác suất làm sai toàn bộ kết quả.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Khi chọn $k$ trong $n$ đối tượng không phân biệt thứ tự, $n(\Omega)$ hoặc $n(A)$ tính bằng tổ hợp $C_n^k$ ; nếu có phân biệt vai trò/thứ tự thì dùng chỉnh hợp $A_n^k$ . Khi biến cố có nhiều nhóm con (ví dụ nam và nữ), đếm số cách của từng nhóm con rồi nhân lại theo quy tắc nhân. Với biến cố dạng ít nhất một, đếm biến cố đối (không có đối tượng nào thuộc loại đó) bằng tổ hợp thường gọn hơn nhiều so với đếm trực tiếp.

Khi chọn $k$ trong $n$ đối tượng không phân biệt thứ tự, $n(\Omega)$ hoặc $n(A)$ tính bằng tổ hợp $C_n^k$; nếu có phân biệt vai trò/thứ tự thì dùng chỉnh hợp $A_n^k$. Khi biến cố có nhiều nhóm con (ví dụ nam và nữ), đếm số cách của từng nhóm con rồi nhân lại theo quy tắc nhân. Với biến cố dạng ít nhất một, đếm biến cố đối (không có đối tượng nào thuộc loại đó) bằng tổ hợp thường gọn hơn nhiều so với đếm trực tiếp.

Chương này đã trang bị cho em công cụ tính xác suất cổ điển, từ liệt kê trực tiếp đến dùng tổ hợp, chỉnh hợp khi số lượng lớn. Phần ôn tập cuối khóa sẽ kết hợp lại toàn bộ nội dung Thống kê và Xác suất — cả số đặc trưng mẫu số liệu lẫn xác suất cổ điển — trong các bài toán tổng hợp theo đúng cấu trúc đề kiểm tra.