Chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử

Sau bài này, em phát biểu đúng khái niệm chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử, suy ra công thức $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ từ quy tắc nhân, và vận dụng để đếm số cách chọn ra $k$ phần tử từ $n$ phần tử rồi sắp xếp chúng theo một thứ tự (thường gắn với các vai trò, chức vụ khác nhau).

Bài trước dạy em cách xếp *toàn bộ* $n$ phần tử theo thứ tự, cho công thức $P_n = n!$ (same-grade bridge). Nhưng nhiều bài toán thực tế không cần xếp hết — chỉ cần chọn ra một phần nhỏ hơn rồi xếp thứ tự cho phần đó. Bài này xử lý đúng tình huống ấy: chọn $k$ trong $n$ phần tử, có phân biệt thứ tự.

Một cách chọn ra $k$ phần tử từ $n$ phần tử phân biệt ($k \le n$) rồi sắp xếp chúng theo một thứ tự nhất định gọi là một chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử, kí hiệu $A_n^k$. Để đếm, ta lại dùng đúng cách suy luận của bài hoán vị, nhưng dừng lại sau đúng $k$ bước thay vì đi hết $n$ bước: vị trí (chức vụ) thứ nhất có thể là bất kỳ ai trong $n$ người, vị trí thứ hai còn $n-1$ người (một người đã nhận chức vụ trước), vị trí thứ $k$ còn $n-k+1$ người.

Với bài toán ban cán sự, $n=8$ bạn ứng cử, $k=3$ chức vụ. Chức vụ lớp trưởng: 8 cách chọn người. Chức vụ lớp phó học tập: 7 cách (một bạn đã nhận chức lớp trưởng). Chức vụ lớp phó lao động: 6 cách. Theo quy tắc nhân, số cách phân công là $8 \times 7 \times 6 = 336$ cách. Viết gọn bằng giai thừa: $8 \times 7 \times 6 = \frac{8!}{5!}$, vì nhân $8!$ với $\frac{1}{5!}$ chính là loại bỏ tích $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$ — phần "đuôi" không dùng đến của $8!$.

Tổng quát, số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử là $A_n^k = n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}$. Công thức này cho thấy hoán vị chỉ là một trường hợp riêng của chỉnh hợp: khi $k=n$, ta có $A_n^n = \frac{n!}{0!} = n! = P_n$ — chọn và xếp toàn bộ $n$ phần tử chính là hoán vị đã học ở bài trước. Ngược lại, khi $k=1$, $A_n^1 = n$ — chọn 1 phần tử từ $n$ phần tử để "xếp vào một vị trí duy nhất" đơn giản chỉ có $n$ cách, đúng như quy tắc nhân cho một công đoạn duy nhất.

Cách viết $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ tiện lợi vì nó tách rõ hai phần: $n!$ là toàn bộ cách xếp $n$ phần tử nếu đi hết $n$ vị trí (hoán vị), còn $(n-k)!$ là phần "đuôi" ứng với $n-k$ phần tử không được chọn — chúng có thể xếp với nhau theo $(n-k)!$ cách nhưng bài toán không quan tâm đến thứ tự của nhóm bị loại này, nên ta chia đi để loại bỏ. Cách hiểu này sẽ hữu ích ở bài tiếp theo, khi ta tiếp tục chia cho $k!$ để loại luôn cả thứ tự của $k$ phần tử được chọn, thu được công thức tổ hợp.

Một điểm cần phân biệt rõ: chỉnh hợp chỉ dùng khi các vai trò của $k$ phần tử được chọn thực sự *khác nhau* — chủ tịch khác phó chủ tịch, giải Nhất khác giải Nhì. Nếu $k$ vị trí đó có vai trò *như nhau* (chẳng hạn chọn 3 bạn cùng vào một đội, không phân biệt ai làm gì), phép nhân $n(n-1)\cdots(n-k+1)$ sẽ đếm trùng nhiều lần cùng một nhóm 3 bạn theo các thứ tự chọn khác nhau — đó chính là vấn đề bài tổ hợp ở phần tiếp theo sẽ giải quyết.

Bài tiếp theo hỏi điều gì xảy ra nếu bỏ hẳn yếu tố thứ tự — chỉ cần chọn ra $k$ phần tử, không phân biệt ai giữ vai trò nào. Đó là tổ hợp, và em sẽ thấy nó liên hệ trực tiếp với chỉnh hợp vừa học.