Ứng dụng nhị thức Newton

Sau bài này, em vận dụng công thức khai triển nhị thức Newton để tính nhanh tổng $C_n^0+C_n^1+\cdots+C_n^n$ bằng cách thay số hợp lý, và xấp xỉ giá trị của một luỹ thừa dạng $(1+x)^n$ với $x$ nhỏ mà không cần nhân trực tiếp nhiều lần.

Bài trước cho em công thức $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k$ (same-grade bridge). Ý tưởng của bài này rất đơn giản nhưng mạnh: công thức đúng với *mọi* giá trị của $a$ và $b$, kể cả những giá trị đặc biệt như $a=b=1$, hoặc $a=1$ với $b$ là một số thập phân nhỏ. Thay đúng giá trị, ta biến công thức đại số thành một công cụ tính toán thực tế.

Trong công thức $(1+x)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^k$ (lấy $a=1$, $b=x$ trong công thức tổng quát), thay $x=1$: vế trái trở thành $(1+1)^n = 2^n$, còn vế phải trở thành $C_n^0+C_n^1+\cdots+C_n^n$ (vì $1^k=1$ với mọi $k$). Vậy $C_n^0+C_n^1+\cdots+C_n^n = 2^n$ — tổng tất cả các hệ số của một khai triển nhị thức Newton (với $a=b=1$) luôn bằng $2^n$, không cần cộng từng số hạng.

Với bài toán câu lạc bộ, $n=5$: tổng số cách đăng ký là $2^5=32$. Kết quả này còn có một cách hiểu trực tiếp không cần nhị thức Newton: mỗi câu lạc bộ trong 5 câu lạc bộ, bạn học sinh chỉ có đúng 2 lựa chọn độc lập — đăng ký hoặc không đăng ký — nên theo quy tắc nhân đã học ở bài đầu chương, tổng số cách là $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5 = 32$. Hai cách suy luận hoàn toàn khác nhau — một dùng nhị thức Newton, một dùng quy tắc nhân — nhưng cho cùng một kết quả, một cách kiểm chứng công thức rất thuyết phục.

Kết quả $2^n$ này thực ra đã ẩn trong mọi bài toán "chọn một tập con bất kỳ" mà em sẽ gặp lại nhiều lần: một tập hợp $n$ phần tử có đúng $2^n$ tập con, kể cả tập rỗng và chính tập hợp đó. Lý do là mỗi phần tử độc lập rơi vào một trong hai khả năng — có mặt trong tập con, hoặc không — nên số tập con bằng đúng tổng số cách chọn theo từng kích thước $k=0,1,\ldots,n$, cũng chính là $C_n^0+C_n^1+\cdots+C_n^n$. Nhị thức Newton, quy tắc nhân, và bài toán đếm tập con hoá ra chỉ là ba cách nhìn của cùng một sự thật.

Ứng dụng thứ hai giải quyết một bài toán khác: tính gần đúng $1{,}02^5$ mà không nhân tay 5 lần số thập phân. Viết $1{,}02 = 1+0{,}02$, áp dụng nhị thức Newton: $(1+0{,}02)^5 = \sum_{k=0}^{5} C_5^k \cdot 0{,}02^k$. Vì $0{,}02$ khá nhỏ, các luỹ thừa cao của nó ($0{,}02^3, 0{,}02^4, \ldots$) rất nhỏ và đóng góp không đáng kể vào tổng — ta có thể *cắt bớt*, chỉ giữ lại vài số hạng đầu, để tính gần đúng mà vẫn đủ chính xác cho phần lớn yêu cầu thực tế.

Giữ đến số hạng bậc 2: $1{,}02^5 \approx C_5^0 + C_5^1 \cdot 0{,}02 + C_5^2 \cdot 0{,}02^2 = 1 + 5 \times 0{,}02 + 10 \times 0{,}0004 = 1 + 0{,}1 + 0{,}004 = 1{,}104$. Giá trị thật của $1{,}02^5$ (tính bằng máy tính) là $1{,}1040808\ldots$, làm tròn đến hàng phần nghìn cũng là $1{,}104$ — xấp xỉ chỉ giữ 3 số hạng đầu đã đủ chính xác đến 3 chữ số thập phân, sai số nằm ở số hạng bậc 3 trở đi, quá nhỏ để ảnh hưởng đến kết quả làm tròn.