Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Quy tắc cộng và quy tắc nhân
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em nhận ra được khi nào một bài toán đếm cần cộng số cách lại với nhau, khi nào cần nhân số cách của từng bước, và vận dụng đúng hai quy tắc đó để đếm số cách chọn, số cách sắp xếp, hay số dãy kí hiệu trong những tình huống quen thuộc — kể cả khi các bước cho phép lặp lại lựa chọn.
Kiến thức nền cần nhớ
Ở lớp dưới, em đã quen đếm trực tiếp bằng cách liệt kê: có mấy quả táo, mấy bạn trong lớp. Từ chương này, số lượng cần đếm lớn dần — chọn một bộ trang phục, xếp một hàng học sinh, tạo một dãy mã — liệt kê tay không còn khả thi. Em cần một công cụ đếm mà không cần viết ra từng trường hợp. Toàn bộ chương Tổ hợp — Xác suất của lớp 10 xây trên hai quy tắc nền tảng này; nắm chắc chúng, các bài sau về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp chỉ còn là những công thức rút gọn từ đúng hai ý tưởng này mà thôi.
Khởi động
Một quán ăn có 3 món chính (phở, cơm, bún) và 2 món phụ (nộm, gỏi). Một khách chỉ đủ tiền gọi đúng một món — không phải một chính và một phụ. Một khách khác muốn thử vận may: bốc thăm ngẫu nhiên 1 chữ cái và 2 chữ số để tạo mã giảm giá. Cả hai bài toán đều là "đếm số cách", nhưng vì sao cách tính cho hai bài lại hoàn toàn khác nhau?
Quy tắc cộng — khi bài toán chia thành các trường hợp riêng biệt
Quay lại vị khách thứ nhất: anh ấy chỉ gọi một món, và món đó hoặc nằm trong nhóm 3 món chính, hoặc nằm trong nhóm 2 món phụ — không có cách chọn nào thuộc cả hai nhóm cùng lúc. Khi một hành động được thực hiện theo đúng một trong nhiều phương án tách biệt, và các phương án không chồng lẫn nhau, số cách thực hiện hành động đó bằng tổng số cách của từng phương án. Đây là quy tắc cộng: nếu phương án 1 có $m$ cách, phương án 2 có $n$ cách, và hai phương án không có cách nào trùng nhau, thì có $m+n$ cách để thực hiện một trong hai phương án đó. Với vị khách trên, số cách chọn món là $3+2=5$ cách — đúng bằng số món có trong thực đơn, dễ kiểm tra lại bằng cách liệt kê.
Dấu hiệu nhận ra quy tắc cộng nằm ở từ "hoặc": chọn món chính *hoặc* món phụ, đi xe buýt *hoặc* đi xe máy, chọn đại diện là nam *hoặc* là nữ. Điều kiện bắt buộc là các phương án phải rời nhau — không có phần tử nào vừa thuộc phương án này vừa thuộc phương án kia. Nếu một số học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Văn, phép cộng đơn giản số học sinh giỏi Toán với số học sinh giỏi Văn sẽ đếm trùng những bạn đó — quy tắc cộng chỉ áp dụng đúng khi các nhóm phân biệt hoàn toàn.
Quy tắc nhân — khi bài toán là một chuỗi công đoạn liên tiếp
Vị khách thứ hai lại khác hẳn: để tạo một mã, khách phải thực hiện *liên tiếp* hai việc — chọn 1 chữ cái, rồi chọn 2 chữ số — và mỗi mã hoàn chỉnh cần cả hai việc đó cùng xảy ra. Khi một công việc được chia thành nhiều công đoạn nối tiếp nhau, công đoạn 1 có $m$ cách thực hiện, ứng với mỗi cách đó công đoạn 2 lại có $n$ cách thực hiện, thì toàn bộ công việc có $m \times n$ cách. Đây là quy tắc nhân, và nó mở rộng tự nhiên cho nhiều hơn hai công đoạn: cứ nhân số cách của tất cả các công đoạn lại với nhau.
Giả sử mã giảm giá gồm 1 chữ cái lấy từ bảng chữ cái tiếng Anh (26 chữ cái) và 2 chữ số, mỗi chữ số lấy từ 0 đến 9 và được phép lặp lại — nghĩa là hai chữ số trong mã có thể giống nhau, ví dụ mã "A55" vẫn hợp lệ. Công đoạn 1 (chọn chữ cái) có 26 cách. Công đoạn 2 (chọn chữ số thứ nhất) có 10 cách, không phụ thuộc vào chữ cái đã chọn. Công đoạn 3 (chọn chữ số thứ hai) cũng có 10 cách, vì chữ số này được phép lặp lại chữ số trước — số lựa chọn không bị bớt đi. Theo quy tắc nhân, tổng số mã có thể tạo là $26 \times 10 \times 10 = 2600$ mã.
Chi tiết "được phép lặp lại" ở trên không phải là thừa: nó chính là điều giữ cho số cách ở mỗi công đoạn không đổi. Nếu đề bài yêu cầu hai chữ số phải khác nhau, công đoạn chọn chữ số thứ hai chỉ còn 9 cách — vì một chữ số đã bị dùng ở công đoạn trước không còn trong tập lựa chọn nữa. Ghi nhớ điều này ngay từ bây giờ: liệu lựa chọn ở bước sau có bị giảm đi vì đã dùng ở bước trước hay không sẽ là câu hỏi cốt lõi khi em học hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp ở các bài sau — nơi mỗi phần tử chỉ được chọn đúng một lần.
Ví dụ
Chọn thực đơn cho bữa trưa
1
Một quán ăn có 3 món chính (phở, cơm, bún) và 2 món phụ (nộm, gỏi). Một khách chỉ gọi đúng một món cho bữa trưa. Hỏi khách có bao nhiêu cách chọn?
2
Ta có khách chỉ chọn một món duy nhất, và món đó hoặc là món chính hoặc là món phụ — hai nhóm này không có món nào trùng nhau. Đây là dấu hiệu của quy tắc cộng, không phải quy tắc nhân.
3
Số cách chọn 1 trong 3 món chính là 3. Số cách chọn 1 trong 2 món phụ là 2. Theo quy tắc cộng, tổng số cách chọn một món bất kỳ là $3+2=5$ cách.
4
Liệt kê trực tiếp: phở, cơm, bún, nộm, gỏi — đúng 5 món, khớp với kết quả tính được. Vậy khách có 5 cách chọn một món cho bữa trưa.
Ví dụ
Tạo mã giảm giá — dạng thi
1
Một mã giảm giá gồm đúng 1 chữ cái (lấy từ 26 chữ cái tiếng Anh) và 2 chữ số (mỗi chữ số từ 0 đến 9, được phép lặp lại), viết theo thứ tự chữ cái — chữ số — chữ số. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu mã khác nhau?
2
Ta có việc tạo một mã cần thực hiện liên tiếp ba công đoạn: chọn chữ cái, chọn chữ số thứ nhất, chọn chữ số thứ hai. Mỗi mã hoàn chỉnh đòi hỏi cả ba công đoạn đều xảy ra, nên đây là quy tắc nhân.
3
Công đoạn chọn chữ cái có 26 cách. Do chữ số được phép lặp lại, công đoạn chọn chữ số thứ nhất có 10 cách và công đoạn chọn chữ số thứ hai cũng có 10 cách, không phụ thuộc chữ số đã chọn trước đó.
4
Theo quy tắc nhân, tổng số mã là $26 \times 10 \times 10 = 2600$ mã.
5
Vậy có thể tạo được 2600 mã giảm giá khác nhau.
Hai ví dụ trên chỉ khác nhau ở một điểm: bài toán mã giảm giá cần *cả ba* công đoạn cùng xảy ra để tạo ra một mã, trong khi bài toán thực đơn chỉ cần *một trong* các phương án xảy ra để tạo ra một lựa chọn. Từ "và", "rồi", "tiếp theo" thường báo hiệu quy tắc nhân; từ "hoặc", "hay" thường báo hiệu quy tắc cộng. Nhưng đừng chỉ dựa vào từ ngữ — luôn kiểm tra lại bằng câu hỏi: đây là một chuỗi bước nối tiếp, hay là nhiều phương án tách biệt?
Sai lầm thường gặp
Sai lầm phổ biến nhất là cộng số cách của các công đoạn nối tiếp thay vì nhân chúng — chẳng hạn nghĩ mã giảm giá có $26+10+10=46$ cách. Sai lầm ngược lại cũng gặp: nhân số cách của các phương án rời nhau, biến bài toán thực đơn thành $3 \times 2=6$ cách, trong khi thực đơn chỉ có đúng 5 món để chọn. Luôn tự hỏi: đề bài cần *một trong nhiều phương án*, hay cần *tất cả các bước cùng xảy ra*?
Luyện tập có hướng dẫn
Luyện tập độc lập
Kiểm tra nhanh
Ghi nhớ
Quy tắc cộng: khi một hành động chỉ xảy ra theo đúng một trong nhiều phương án rời nhau, cộng số cách của từng phương án. Quy tắc nhân: khi một công việc là chuỗi công đoạn nối tiếp, đều phải xảy ra, nhân số cách của từng công đoạn. Trong quy tắc nhân, để ý xem lựa chọn có được lặp lại hay bị giảm dần qua từng bước.
Bài tiếp theo dùng chính quy tắc nhân vừa học để xây công thức đếm số cách xếp tất cả các phần tử của một tập hợp theo thứ tự — gọi là hoán vị. Em sẽ thấy công thức đó chỉ là quy tắc nhân được áp dụng liên tiếp cho từng vị trí trong hàng.
Ở lớp dưới, em đã quen đếm trực tiếp bằng cách liệt kê: có mấy quả táo, mấy bạn trong lớp. Từ chương này, số lượng cần đếm lớn dần — chọn một bộ trang phục, xếp một hàng học sinh, tạo một dãy mã — liệt kê tay không còn khả thi. Em cần một công cụ đếm mà không cần viết ra từng trường hợp. Toàn bộ chương Tổ hợp — Xác suất của lớp 10 xây trên hai quy tắc nền tảng này; nắm chắc chúng, các bài sau về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp chỉ còn là những công thức rút gọn từ đúng hai ý tưởng này mà thôi.
Quay lại vị khách thứ nhất: anh ấy chỉ gọi một món, và món đó hoặc nằm trong nhóm 3 món chính, hoặc nằm trong nhóm 2 món phụ — không có cách chọn nào thuộc cả hai nhóm cùng lúc. Khi một hành động được thực hiện theo đúng một trong nhiều phương án tách biệt, và các phương án không chồng lẫn nhau, số cách thực hiện hành động đó bằng tổng số cách của từng phương án. Đây là quy tắc cộng: nếu phương án 1 có m cách, phương án 2 có n cách, và hai phương án không có cách nào trùng nhau, thì có m+n cách để thực hiện một trong hai phương án đó. Với vị khách trên, số cách chọn món là 3+2=5 cách — đúng bằng số món có trong thực đơn, dễ kiểm tra lại bằng cách liệt kê.
Dấu hiệu nhận ra quy tắc cộng nằm ở từ "hoặc": chọn món chính hoặc món phụ, đi xe buýt hoặc đi xe máy, chọn đại diện là nam hoặc là nữ. Điều kiện bắt buộc là các phương án phải rời nhau — không có phần tử nào vừa thuộc phương án này vừa thuộc phương án kia. Nếu một số học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Văn, phép cộng đơn giản số học sinh giỏi Toán với số học sinh giỏi Văn sẽ đếm trùng những bạn đó — quy tắc cộng chỉ áp dụng đúng khi các nhóm phân biệt hoàn toàn.
Vị khách thứ hai lại khác hẳn: để tạo một mã, khách phải thực hiện liên tiếp hai việc — chọn 1 chữ cái, rồi chọn 2 chữ số — và mỗi mã hoàn chỉnh cần cả hai việc đó cùng xảy ra. Khi một công việc được chia thành nhiều công đoạn nối tiếp nhau, công đoạn 1 có m cách thực hiện, ứng với mỗi cách đó công đoạn 2 lại có n cách thực hiện, thì toàn bộ công việc có m×n cách. Đây là quy tắc nhân, và nó mở rộng tự nhiên cho nhiều hơn hai công đoạn: cứ nhân số cách của tất cả các công đoạn lại với nhau.
Giả sử mã giảm giá gồm 1 chữ cái lấy từ bảng chữ cái tiếng Anh (26 chữ cái) và 2 chữ số, mỗi chữ số lấy từ 0 đến 9 và được phép lặp lại — nghĩa là hai chữ số trong mã có thể giống nhau, ví dụ mã "A55" vẫn hợp lệ. Công đoạn 1 (chọn chữ cái) có 26 cách. Công đoạn 2 (chọn chữ số thứ nhất) có 10 cách, không phụ thuộc vào chữ cái đã chọn. Công đoạn 3 (chọn chữ số thứ hai) cũng có 10 cách, vì chữ số này được phép lặp lại chữ số trước — số lựa chọn không bị bớt đi. Theo quy tắc nhân, tổng số mã có thể tạo là 26×10×10=2600 mã.
Chi tiết "được phép lặp lại" ở trên không phải là thừa: nó chính là điều giữ cho số cách ở mỗi công đoạn không đổi. Nếu đề bài yêu cầu hai chữ số phải khác nhau, công đoạn chọn chữ số thứ hai chỉ còn 9 cách — vì một chữ số đã bị dùng ở công đoạn trước không còn trong tập lựa chọn nữa. Ghi nhớ điều này ngay từ bây giờ: liệu lựa chọn ở bước sau có bị giảm đi vì đã dùng ở bước trước hay không sẽ là câu hỏi cốt lõi khi em học hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp ở các bài sau — nơi mỗi phần tử chỉ được chọn đúng một lần.
Số cách chọn 1 trong 3 món chính là 3. Số cách chọn 1 trong 2 món phụ là 2. Theo quy tắc cộng, tổng số cách chọn một món bất kỳ là 3+2=5 cách.
Theo quy tắc nhân, tổng số mã là 26×10×10=2600 mã.
Hai ví dụ trên chỉ khác nhau ở một điểm: bài toán mã giảm giá cần cả ba công đoạn cùng xảy ra để tạo ra một mã, trong khi bài toán thực đơn chỉ cần một trong các phương án xảy ra để tạo ra một lựa chọn. Từ "và", "rồi", "tiếp theo" thường báo hiệu quy tắc nhân; từ "hoặc", "hay" thường báo hiệu quy tắc cộng. Nhưng đừng chỉ dựa vào từ ngữ — luôn kiểm tra lại bằng câu hỏi: đây là một chuỗi bước nối tiếp, hay là nhiều phương án tách biệt?
Sai lầm phổ biến nhất là cộng số cách của các công đoạn nối tiếp thay vì nhân chúng — chẳng hạn nghĩ mã giảm giá có 26+10+10=46 cách. Sai lầm ngược lại cũng gặp: nhân số cách của các phương án rời nhau, biến bài toán thực đơn thành 3×2=6 cách, trong khi thực đơn chỉ có đúng 5 món để chọn. Luôn tự hỏi: đề bài cần một trong nhiều phương án, hay cần tất cả các bước cùng xảy ra?