Khai triển nhị thức Newton

Sau bài này, em phát biểu đúng công thức khai triển nhị thức Newton $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$, khai triển đầy đủ được một luỹ thừa cụ thể của một nhị thức, và tìm được hệ số của một số hạng cho trước trong khai triển mà không cần khai triển toàn bộ.

Hai bài trước cho em công thức tổ hợp $C_n^k$ và ý nghĩa đếm của nó — số cách chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử (same-grade bridge). Bài này cho em thấy chính những con số $C_n^k$ đó, tưởng chỉ dùng để đếm, lại là hệ số của một công thức đại số cực kỳ quan trọng: khai triển của $(a+b)^n$.

Không phải trùng hợp. Khai triển $(a+b)^n$ nghĩa là nhân $n$ nhân tử $(a+b)$ với nhau: $(a+b)(a+b)\cdots(a+b)$. Khi nhân ra, mỗi số hạng của kết quả được tạo bằng cách chọn, từ mỗi nhân tử trong $n$ nhân tử, hoặc $a$ hoặc $b$, rồi nhân tất cả các lựa chọn đó lại. Số hạng $a^{n-k}b^k$ (chọn $b$ đúng $k$ lần trong số $n$ nhân tử, còn lại chọn $a$) xuất hiện đúng bằng số cách chọn $k$ nhân tử (trong $n$ nhân tử) để lấy $b$ — mà đó chính là định nghĩa của $C_n^k$: chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử, không phân biệt thứ tự.

Vậy công thức khai triển nhị thức Newton là $(a+b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \cdots + C_n^n b^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k$. Khai triển có đúng $n+1$ số hạng (ứng với $k=0,1,\ldots,n$), số mũ của $a$ giảm dần từ $n$ về $0$ trong khi số mũ của $b$ tăng dần từ $0$ lên $n$, và tổng hai số mũ trong mỗi số hạng luôn bằng $n$ — một cách kiểm tra nhanh xem một số hạng có viết đúng hay không.

Dãy hệ số $C_n^0, C_n^1, \ldots, C_n^n$ khi xếp thành các hàng theo $n=0,1,2,\ldots$ tạo thành tam giác Pascal — mỗi số trong tam giác bằng tổng hai số ngay phía trên nó ở hàng trước, vì $C_n^k = C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}$ (chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử bằng cách hoặc chọn phần tử thứ $n$ và thêm $k-1$ phần tử từ $n-1$ phần tử còn lại, hoặc không chọn phần tử thứ $n$ và lấy đủ $k$ phần tử từ $n-1$ phần tử còn lại). Tam giác Pascal cho em một cách tra hệ số nhanh mà không cần tính giai thừa, đặc biệt hữu ích khi $n$ nhỏ.

Nhìn dãy hệ số 1, 4, 6, 4, 1 ở biểu đồ trên, em thấy ngay tính đối xứng: $C_4^0=C_4^4=1$, $C_4^1=C_4^3=4$, giữa là $C_4^2=6$ đứng một mình. Đây chính là tính chất $C_n^k=C_n^{n-k}$ đã học ở bài Tổ hợp, và nó cho một hệ quả trực tiếp trên khai triển: hai số hạng cách đều hai đầu của $(a+b)^n$ luôn có hệ số bằng nhau. Với $(x+2)^4$ phía dưới, điều này không hiển nhiên nhìn qua vì $a=x$ và $b=2$ khác giá trị, nhưng các hệ số $1, 4, 6, 4, 1$ vẫn giữ đối xứng — chỉ riêng các luỹ thừa của 2 mới phá vỡ tính đối xứng của giá trị cuối cùng mỗi số hạng.

Một cách khác để nhớ công thức, không cần thuộc lòng dấu tổng: viết số hạng thứ $k+1$ (không phải thứ $k$, vì số hạng đầu tiên ứng với $k=0$) là $C_n^k a^{n-k} b^k$. Ba việc cần làm để viết đúng số hạng này: xác định đúng hệ số tổ hợp $C_n^k$, đúng số mũ của $a$ (bằng $n$ trừ đi $k$), và đúng số mũ của $b$ (bằng chính $k$). Quên bất kỳ phần nào trong ba phần — hệ số hoặc một trong hai số mũ — đều dẫn đến một số hạng sai, dù các phần còn lại có đúng.

Khi nhị thức có hệ số khác 1, như $(2x+1)^n$, cần cẩn thận: số hạng tổng quát là $C_n^k (2x)^{n-k} \cdot 1^k = C_n^k \cdot 2^{n-k} \cdot x^{n-k}$ — luỹ thừa $2^{n-k}$ cũng phải nhân vào hệ số, không chỉ có $C_n^k$. Bỏ sót phần này là lỗi rất phổ biến khi nhị thức có hệ số đi kèm biến.