Bài học

Tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu đúng khái niệm tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử, suy ra công thức $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ từ chỉnh hợp, và vận dụng để đếm số cách chọn ra $k$ phần tử từ $n$ phần tử khi các phần tử được chọn không phân biệt vai trò.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước cho em công thức chỉnh hợp $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ (same-grade bridge), áp dụng khi $k$ phần tử được chọn còn giữ vai trò khác nhau. Bài này xử lý trường hợp còn lại, cũng thường gặp không kém: chọn $k$ phần tử mà không phân biệt ai làm gì — chỉ quan tâm nhóm gồm những ai, không quan tâm thứ tự chọn.

Khởi động

Vẫn 8 bạn ứng cử ở lớp, nhưng lần này nhà trường chỉ cần lập một "đội tình nguyện" gồm 3 bạn, không có chức vụ riêng — cả 3 bạn được chọn đều là thành viên như nhau. Nếu đội gồm An, Bình, Chi, đó chỉ là MỘT đội duy nhất, dù chọn An trước hay chọn Chi trước cũng cho ra cùng một đội. Có bao nhiêu đội tình nguyện 3 người khác nhau có thể lập từ 8 bạn?

Tổ hợp — chọn $k$ phần tử, không phân biệt thứ tự

Một cách chọn ra $k$ phần tử từ $n$ phần tử phân biệt, không quan tâm đến thứ tự chọn, gọi là một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử, kí hiệu $C_n^k$ . Điểm mấu chốt để suy ra công thức: mỗi tổ hợp — mỗi nhóm $k$ phần tử — tương ứng với đúng $k!$ chỉnh hợp khác nhau, vì $k$ phần tử trong nhóm đó có thể xếp theo $k!$ thứ tự khác nhau (hoán vị của $k$ phần tử). Nói cách khác, chỉnh hợp "đếm dư" mỗi nhóm đúng $k!$ lần so với tổ hợp.

Một cách chọn ra $k$ phần tử từ $n$ phần tử phân biệt, không quan tâm đến thứ tự chọn, gọi là một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử, kí hiệu $C_n^k$. Điểm mấu chốt để suy ra công thức: mỗi tổ hợp — mỗi nhóm $k$ phần tử — tương ứng với đúng $k!$ chỉnh hợp khác nhau, vì $k$ phần tử trong nhóm đó có thể xếp theo $k!$ thứ tự khác nhau (hoán vị của $k$ phần tử). Nói cách khác, chỉnh hợp "đếm dư" mỗi nhóm đúng $k!$ lần so với tổ hợp.

Với bài toán đội tình nguyện, mỗi đội 3 bạn (một tổ hợp) tương ứng với $3! = 6$ cách phân chức vụ khác nhau cho 3 bạn đó (mỗi cách là một chỉnh hợp). Vậy để đi từ số chỉnh hợp về số tổ hợp, ta chia cho $k!$ : $C_n^k = \frac{A_n^k}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ . Thay số: $C_8^3 = \frac{A_8^3}{3!} = \frac{336}{6} = 56$ . Vậy có 56 đội tình nguyện 3 người khác nhau có thể lập từ 8 bạn — ít hơn hẳn 336 cách phân chức vụ ở bài trước, đúng như dự đoán, vì tổ hợp không còn đếm các cách sắp xếp vai trò khác nhau trong cùng một nhóm.

Với bài toán đội tình nguyện, mỗi đội 3 bạn (một tổ hợp) tương ứng với $3! = 6$ cách phân chức vụ khác nhau cho 3 bạn đó (mỗi cách là một chỉnh hợp). Vậy để đi từ số chỉnh hợp về số tổ hợp, ta chia cho $k!$: $C_n^k = \frac{A_n^k}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Thay số: $C_8^3 = \frac{A_8^3}{3!} = \frac{336}{6} = 56$. Vậy có 56 đội tình nguyện 3 người khác nhau có thể lập từ 8 bạn — ít hơn hẳn 336 cách phân chức vụ ở bài trước, đúng như dự đoán, vì tổ hợp không còn đếm các cách sắp xếp vai trò khác nhau trong cùng một nhóm.

Một tính chất đáng nhớ của tổ hợp: $C_n^k = C_n^{n-k}$ , vì chọn ra $k$ phần tử để giữ lại cũng đồng thời xác định $n-k$ phần tử bị bỏ lại — hai việc chọn đó là một, chỉ nhìn từ hai phía khác nhau. Ví dụ $C_8^3 = C_8^5 = 56$ : chọn 3 bạn vào đội tình nguyện cũng chính là chọn 5 bạn không vào đội. Tính chất này giúp em kiểm tra nhanh kết quả, và sẽ xuất hiện lại rõ ràng hơn khi học nhị thức Newton ở chương sau, nơi các hệ số $C_n^k$ đối xứng quanh giữa.

Một tính chất đáng nhớ của tổ hợp: $C_n^k = C_n^{n-k}$, vì chọn ra $k$ phần tử để giữ lại cũng đồng thời xác định $n-k$ phần tử bị bỏ lại — hai việc chọn đó là một, chỉ nhìn từ hai phía khác nhau. Ví dụ $C_8^3 = C_8^5 = 56$: chọn 3 bạn vào đội tình nguyện cũng chính là chọn 5 bạn *không* vào đội. Tính chất này giúp em kiểm tra nhanh kết quả, và sẽ xuất hiện lại rõ ràng hơn khi học nhị thức Newton ở chương sau, nơi các hệ số $C_n^k$ đối xứng quanh giữa.

Dãy

C_8^k

đối xứng quanh

k=4

C_8^3=C_8^5=56

, đúng vì

C_n^k=C_n^{n-k}

(

k=0,8

luôn bằng 1, không vẽ).Dãy $C_8^k$ đối xứng quanh $k=4$: $C_8^3=C_8^5=56$, đúng vì $C_n^k=C_n^{n-k}$ ($k=0,8$ luôn bằng 1, không vẽ).

Biểu đồ trên còn cho thấy một điều thú vị: giá trị lớn nhất trong cả dãy rơi đúng vào giữa, $C_8^4=70$ — chọn đúng một nửa số phần tử cho nhiều cách nhất. Điều này khá tự nhiên: chọn 4 giữ lại đồng thời là chọn 4 bỏ đi, và khi hai phần bằng nhau, số cách phối hợp giữa chúng đạt cực đại. Tính chất này sẽ xuất hiện lại rõ hơn khi em học nhị thức Newton — dãy hệ số của một khai triển nhị thức chính là một dòng các giá trị $C_n^k$ như biểu đồ trên.

Tổ hợp xuất hiện dày đặc trong đời sống: chọn số cho một tấm vé số (không quan tâm thứ tự ghi trên phiếu), chọn nguyên liệu cho một món ăn từ một danh sách, chọn câu hỏi làm bài thi khi đề cho phép chọn $k$ trong $n$ câu. Điểm chung: kết quả chỉ được xác định bởi những phần tử nào có mặt, không phải bởi thứ tự chúng được nhắc đến hay được chọn ra.

Tổ hợp xuất hiện dày đặc trong đời sống: chọn số cho một tấm vé số (không quan tâm thứ tự ghi trên phiếu), chọn nguyên liệu cho một món ăn từ một danh sách, chọn câu hỏi làm bài thi khi đề cho phép chọn $k$ trong $n$ câu. Điểm chung: kết quả chỉ được xác định bởi *những phần tử nào* có mặt, không phải bởi thứ tự chúng được nhắc đến hay được chọn ra.

Ví dụ

Lập đội tình nguyện 3 người từ 8 bạn

1
Một lớp có 8 bạn ứng cử. Nhà trường cần lập một đội tình nguyện gồm 3 bạn, không phân biệt vai trò giữa các thành viên. Hỏi có bao nhiêu đội tình nguyện khác nhau có thể lập được?
2
Ta có việc chọn 3 trong 8 bạn mà không phân biệt thứ tự hay vai trò — đúng dạng tổ hợp chập 3 của 8 phần tử, $n=8$ , $k=3$ .
Ta có việc chọn 3 trong 8 bạn mà không phân biệt thứ tự hay vai trò — đúng dạng tổ hợp chập 3 của 8 phần tử, $n=8$, $k=3$.
3
Theo công thức $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ , ta có $C_8^3 = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56$ .
Theo công thức $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, ta có $C_8^3 = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56$.
4
Số chỉnh hợp chập 3 của 8 là $A_8^3=336$ (đã tính ở bài trước). Mỗi đội 3 bạn ứng với $3!=6$ cách xếp vai trò, nên số đội là $336/6=56$ , khớp kết quả trên.
Số chỉnh hợp chập 3 của 8 là $A_8^3=336$ (đã tính ở bài trước). Mỗi đội 3 bạn ứng với $3!=6$ cách xếp vai trò, nên số đội là $336/6=56$, khớp kết quả trên.
5
Vậy có 56 đội tình nguyện 3 người khác nhau.

Ví dụ

Chọn đội tuyển thi đấu — dạng thi

1
Một câu lạc bộ có 10 thành viên. Ban chủ nhiệm cần chọn ra 4 thành viên đi thi đấu giao lưu, không phân biệt vai trò trong đội. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
2
Ta có chọn 4 trong 10 thành viên, không phân biệt thứ tự — tổ hợp chập 4 của 10 phần tử, $n=10$ , $k=4$ .
Ta có chọn 4 trong 10 thành viên, không phân biệt thứ tự — tổ hợp chập 4 của 10 phần tử, $n=10$, $k=4$.
3
$C_{10}^4 = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210$ .
$C_{10}^4 = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210$.
4
Theo tính chất $C_n^k=C_n^{n-k}$ , $C_{10}^4$ phải bằng $C_{10}^6$ — chọn 4 người đi thi cũng là chọn 6 người ở lại. Tính trực tiếp $C_{10}^6=\frac{10!}{6! \cdot 4!}$ cho cùng biểu thức, nên hai giá trị chắc chắn bằng nhau — cách kiểm tra này không tính lại từ đầu mà chỉ xác nhận công thức đối xứng. Vậy có 210 cách chọn đội 4 thành viên.
Theo tính chất $C_n^k=C_n^{n-k}$, $C_{10}^4$ phải bằng $C_{10}^6$ — chọn 4 người đi thi cũng là chọn 6 người ở lại. Tính trực tiếp $C_{10}^6=\frac{10!}{6! \cdot 4!}$ cho cùng biểu thức, nên hai giá trị chắc chắn bằng nhau — cách kiểm tra này không tính lại từ đầu mà chỉ xác nhận công thức đối xứng. Vậy có 210 cách chọn đội 4 thành viên.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất ở bài này là quên chia cho $k!$ , nhầm tổ hợp thành chỉnh hợp — tính đội tình nguyện ra 336 thay vì 56. Dấu hiệu để phát hiện: đọc lại đề, nếu các phần tử được chọn không giữ vai trò gì khác nhau ("đội", "nhóm", "tập hợp con"), đó là tổ hợp; nếu có gắn chức vụ, giải thưởng, thứ hạng riêng biệt, đó là chỉnh hợp.

Sai lầm phổ biến nhất ở bài này là quên chia cho $k!$, nhầm tổ hợp thành chỉnh hợp — tính đội tình nguyện ra 336 thay vì 56. Dấu hiệu để phát hiện: đọc lại đề, nếu các phần tử được chọn không giữ vai trò gì khác nhau ("đội", "nhóm", "tập hợp con"), đó là tổ hợp; nếu có gắn chức vụ, giải thưởng, thứ hạng riêng biệt, đó là chỉnh hợp.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử là cách chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử, không phân biệt thứ tự, tính bởi $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{A_n^k}{k!}$ . Tính chất $C_n^k = C_n^{n-k}$ giúp kiểm tra nhanh kết quả và sẽ quay lại ở nhị thức Newton.

Tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử là cách chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử, không phân biệt thứ tự, tính bởi $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{A_n^k}{k!}$. Tính chất $C_n^k = C_n^{n-k}$ giúp kiểm tra nhanh kết quả và sẽ quay lại ở nhị thức Newton.

Ba công cụ đếm — hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp — nhìn na ná nhau nhưng áp dụng cho ba tình huống khác biệt. Bài tiếp theo tổng kết cách phân biệt chúng, rồi luyện tập phối hợp cả ba trong những bài toán hỗn hợp gần với đề kiểm tra thật.

Mục tiêu bài học

Kiến thức nền cần nhớ

Tổ hợp — chọn kkk phần tử, không phân biệt thứ tự

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Tổ hợp — chọn $k$ phần tử, không phân biệt thứ tự