Điều kiện hai mặt phẳng song song và tính chất giao tuyến

Trong một tòa nhà nhiều tầng, mặt sàn của tầng này và mặt trần ngay phía trên nó song song với nhau — không có điểm nào của sàn trùng với trần dù cả hai đều trải rộng ra vô hạn về lí thuyết. Một cột trụ xuyên thẳng từ sàn lên trần cắt cả hai mặt phẳng đó tại hai điểm khác nhau; một cầu thang bộ xây xiên cũng cắt cả hai mặt tại hai điểm. Điều đáng chú ý: đường ống hay khe hở mà một bức tường xiên cắt qua sàn và cắt qua trần luôn tạo ra hai vệt cắt song song nhau — đó chính là nội dung bài học này.

Chỉ cần **hai** đường thẳng cắt nhau — không phải một — vì một đường thẳng song song với $(Q)$ chưa đủ để buộc cả mặt phẳng chứa nó song song với $(Q)$ (mặt phẳng đó vẫn có thể xoay quanh đường thẳng ấy và cắt $(Q)$). Hai đường cắt nhau thì cố định hẳn mặt phẳng, nên khi cả hai đều song song $(Q)$, toàn bộ mặt phẳng buộc phải song song theo.

Tính chất này là hệ quả trực tiếp của định lí giao tuyến ba mặt phẳng đã học ở Chương 2: ba mặt phẳng $(P)$, $(Q)$, $(R)$ đôi một cắt nhau (giả sử $(P)$, $(Q)$ không cắt nhau thì không tính là "đôi một cắt nhau" theo đúng nghĩa, nhưng ở đây ta xét trực tiếp hai giao tuyến $a = (R)\cap(P)$ và $b = (R)\cap(Q)$): vì $(P) \parallel (Q)$ nên $a$ và $b$ không thể cắt nhau (nếu cắt nhau tại một điểm thì điểm đó thuộc cả $(P)$ lẫn $(Q)$, mâu thuẫn với $(P) \parallel (Q)$); mà $a$, $b$ lại cùng nằm trong $(R)$ nên đồng phẳng — không cắt nhau và đồng phẳng nghĩa là song song.

Nhận xét thêm: kết quả $MNPQ$ là hình bình hành hoàn toàn không phụ thuộc vào việc bốn độ cao $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{3}{4}$ đã chọn ở trên — chỉ cần $M$, $N$, $P$ nằm trên ba cạnh bên bất kì (không cần cùng tỉ lệ), điểm $Q$ trên cạnh bên còn lại luôn tồn tại duy nhất sao cho cả bốn điểm đồng phẳng (vì mặt phẳng qua $M$, $N$, $P$ đã xác định, và nó phải cắt cạnh bên thứ tư tại đúng một điểm), và thiết diện luôn là hình bình hành nhờ hai cặp mặt bên đối diện của hình hộp song song với nhau — một tính chất chỉ hình hộp mới có, không đúng cho hình chóp.

Trước khi bước vào kĩ năng dựng thiết diện ở Chương 6, bài tiếp theo lùi lại một bước để hỏi: vì sao một hình khối ba chiều lại vẽ được thành những nét trên trang giấy phẳng, và vì sao hình vuông thật lại luôn được vẽ thành hình bình hành. Câu trả lời — phép chiếu song song — chính là cơ sở toán học cho mọi hình vẽ đã xuất hiện từ đầu khóa học đến giờ.