Bài học

Dựng thiết diện khi mặt phẳng cắt chứa sẵn một cạnh của đáy

Mục tiêu bài học

Sau bài học này em dựng được thiết diện của một hình chóp khi mặt phẳng cắt đã chứa sẵn một cạnh của đáy, bằng cách tìm lần lượt từng giao tuyến trên mỗi mặt của hình chóp — hoặc bằng hai điểm chung trực tiếp, hoặc bằng hệ quả đường thẳng song song mặt phẳng.

Kiến thức nền

Kiến thức cần nhớ trước: tìm giao tuyến bằng hai điểm chung (Chương 1); điều kiện và hệ quả đường thẳng song song mặt phẳng (Chương 3); quy tắc hình biểu diễn (Chương 5).

Cắt một khối bánh hình chóp bằng một nhát dao thẳng đi qua ba điểm định trước, vết dao để lại trên toàn bộ mặt ngoài của khối bánh là một đa giác — đó chính là thiết diện. Muốn vẽ đúng đa giác đó trên hình biểu diễn, không thể đoán bằng mắt: phải lần lượt tìm giao tuyến của mặt phẳng cắt với từng mặt của khối chóp, theo một trình tự chặt chẽ.

Thiết diện và phương pháp giao tuyến gốc

Thiết diệnThiết diện (mặt cắt) của một mặt phẳng

(\alpha)

với một khối đa diện là đa giác có các cạnh lần lượt là giao tuyến của

(\alpha)

với từng mặt của khối mà

(\alpha)

cắt qua.Thiết diện (mặt cắt) của một mặt phẳng $(\alpha)$ với một khối đa diện là đa giác có các cạnh lần lượt là giao tuyến của $(\alpha)$ với từng mặt của khối mà $(\alpha)$ cắt qua.

Để dựng thiết diện, ta đi qua từng mặt của khối chóp theo thứ tự liền kề nhau và tìm giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt đó, rồi nối các giao tuyến liên tiếp lại với nhau. Có hai cách tìm một giao tuyến trên một mặt: nếu $(\alpha)$ đã có hai điểm chung với mặt đó (ví dụ hai đỉnh của đáy đã cho sẵn nằm trong $(\alpha)$ ), nối trực tiếp hai điểm đó. Nếu $(\alpha)$ chỉ có một điểm chung với mặt đó, ta cần thêm một điều kiện song song (hệ quả ở Chương 3) để suy ra hướng của giao tuyến còn lại, rồi mới xác định được điểm thứ hai.

Để dựng thiết diện, ta đi qua từng mặt của khối chóp theo thứ tự liền kề nhau và tìm giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt đó, rồi nối các giao tuyến liên tiếp lại với nhau. Có hai cách tìm một giao tuyến trên một mặt: nếu $(\alpha)$ đã có **hai điểm chung** với mặt đó (ví dụ hai đỉnh của đáy đã cho sẵn nằm trong $(\alpha)$), nối trực tiếp hai điểm đó. Nếu $(\alpha)$ chỉ có **một điểm chung** với mặt đó, ta cần thêm một điều kiện song song (hệ quả ở Chương 3) để suy ra hướng của giao tuyến còn lại, rồi mới xác định được điểm thứ hai.

Làm sao biết trước, chỉ nhìn đề bài, mặt nào dùng cách nào? Quy tắc thực dụng: đếm xem $(\alpha)$ đã được cho đi qua bao nhiêu đỉnh hoặc điểm của mỗi mặt. Nếu hai trong ba điểm xác định $(\alpha)$ đều thuộc cùng một mặt của khối (ví dụ hai đỉnh đáy $A$ , $B$ cùng thuộc mặt đáy), mặt đó luôn dùng được cách nối trực tiếp — không cần suy luận gì thêm. Những mặt còn lại của khối, nơi $(\alpha)$ chỉ chạm đúng một điểm đã biết, mới là nơi cần vận dụng một quan hệ song song có sẵn (từ giả thiết đề bài, như đáy là hình bình hành) để suy ra hướng đi tiếp của giao tuyến. Nhận diện được ngay từ đầu bài mặt nào rơi vào trường hợp nào giúp tránh loay hoay thử sai khi trình bày.

Làm sao biết trước, chỉ nhìn đề bài, mặt nào dùng cách nào? Quy tắc thực dụng: đếm xem $(\alpha)$ đã được cho đi qua bao nhiêu đỉnh hoặc điểm của mỗi mặt. Nếu hai trong ba điểm xác định $(\alpha)$ đều thuộc cùng một mặt của khối (ví dụ hai đỉnh đáy $A$, $B$ cùng thuộc mặt đáy), mặt đó luôn dùng được cách nối trực tiếp — không cần suy luận gì thêm. Những mặt còn lại của khối, nơi $(\alpha)$ chỉ chạm đúng một điểm đã biết, mới là nơi cần vận dụng một quan hệ song song có sẵn (từ giả thiết đề bài, như đáy là hình bình hành) để suy ra hướng đi tiếp của giao tuyến. Nhận diện được ngay từ đầu bài mặt nào rơi vào trường hợp nào giúp tránh loay hoay thử sai khi trình bày.

Lời giải có hình

Dựng thiết diện ABMK của hình chóp cắt bởi mp(ABM)

Bước 1

Hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SC. Mặt phẳng (ABM) cắt hình chóp theo một thiết diện.

Ví dụ

Ví dụ vận dụng — thiết diện ABMK

1
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm $SC$ . Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $(ABM)$ .
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm $SC$. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $(ABM)$.
2
$B$ , $M$ là hai điểm chung của $(ABM)$ và mặt bên $(SBC)$ ( $B$ là đỉnh chung, $M \in SC \subset (SBC)$ ), nên $(ABM) \cap (SBC) = BM$ . $A$ , $B$ là hai điểm chung của $(ABM)$ và mặt đáy $(ABCD)$ , nên $(ABM) \cap (ABCD) = AB$ .
$B$, $M$ là hai điểm chung của $(ABM)$ và mặt bên $(SBC)$ ($B$ là đỉnh chung, $M \in SC \subset (SBC)$), nên $(ABM) \cap (SBC) = BM$. $A$, $B$ là hai điểm chung của $(ABM)$ và mặt đáy $(ABCD)$, nên $(ABM) \cap (ABCD) = AB$.
3
$AB \subset (ABM)$ , $AB \parallel DC$ (đáy $ABCD$ là hình bình hành), $DC \subset (SCD)$ , và $AB \not\subset (SCD)$ . Theo hệ quả đường thẳng song song mặt phẳng, $(ABM) \cap (SCD)$ là đường thẳng qua điểm chung $M$ và song song $DC$ . Trong tam giác $SDC$ , đường thẳng qua $M$ (trung điểm $SC$ ) song song $DC$ cắt $SD$ tại trung điểm $K$ của $SD$ (đường trung bình).
$AB \subset (ABM)$, $AB \parallel DC$ (đáy $ABCD$ là hình bình hành), $DC \subset (SCD)$, và $AB \not\subset (SCD)$. Theo hệ quả đường thẳng song song mặt phẳng, $(ABM) \cap (SCD)$ là đường thẳng qua điểm chung $M$ và song song $DC$. Trong tam giác $SDC$, đường thẳng qua $M$ (trung điểm $SC$) song song $DC$ cắt $SD$ tại trung điểm $K$ của $SD$ (đường trung bình).
4
$A$ , $K$ là hai điểm chung của $(ABM)$ và mặt bên $(SAD)$ , nên $(ABM) \cap (SAD) = AK$ . Vậy thiết diện là tứ giác $ABMK$ , với các cạnh $AB$ , $BM$ , $MK$ , $KA$ lần lượt là giao tuyến của $(ABM)$ với các mặt $(ABCD)$ , $(SBC)$ , $(SCD)$ , $(SAD)$ . Vì $MK \parallel DC \parallel AB$ , $ABMK$ là một hình thang.
$A$, $K$ là hai điểm chung của $(ABM)$ và mặt bên $(SAD)$, nên $(ABM) \cap (SAD) = AK$. Vậy thiết diện là tứ giác $ABMK$, với các cạnh $AB$, $BM$, $MK$, $KA$ lần lượt là giao tuyến của $(ABM)$ với các mặt $(ABCD)$, $(SBC)$, $(SCD)$, $(SAD)$. Vì $MK \parallel DC \parallel AB$, $ABMK$ là một hình thang.

Kết quả "K là trung điểm SD" không phải ngẫu nhiên đặc biệt vì $M$ là trung điểm $SC$ — mà là một trường hợp riêng của một quy luật tổng quát hơn, đáng để nhìn kĩ để hiểu bản chất chứ không chỉ nhớ máy móc. Giả sử thay vì lấy $M$ là trung điểm $SC$ , đề bài cho $M$ trên $SC$ sao cho $\dfrac{SM}{SC} = k$ với $k$ là một tỉ số bất kì (không nhất thiết bằng $\dfrac{1}{2}$ ). Lập luận ở bước 4 không hề dùng đến việc $k = \dfrac{1}{2}$ : nó chỉ dùng $AB \parallel DC$ và $M$ $\in (ABM) \cap (SCD)$ để suy ra giao tuyến qua $M$ song song $DC$ . Trong tam giác $SDC$ , đường thẳng qua $M$ song song với cạnh đáy $DC$ luôn cắt cạnh $SD$ tại điểm $K$ sao cho $\dfrac{SK}{SD} = \dfrac{SM}{SC} = k$ — đây chính là định lí Thalès tổng quát, không phải một tính chất riêng của trung điểm. Khi $k = \dfrac{1}{2}$ , tỉ số đó vừa vặn cho $K$ là trung điểm $SD$ ; nếu đề cho $k = \dfrac{1}{3}$ chẳng hạn, $K$ sẽ là điểm trên $SD$ với $SK = \dfrac{1}{3}SD$ , không còn là trung điểm nhưng thiết diện vẫn dựng được bằng đúng các bước trên, và $ABMK$ vẫn là một hình thang vì $MK \parallel DC \parallel AB$ không phụ thuộc vào giá trị cụ thể của $k$ .

Kết quả "K là trung điểm SD" không phải ngẫu nhiên đặc biệt vì $M$ là trung điểm $SC$ — mà là một trường hợp riêng của một quy luật tổng quát hơn, đáng để nhìn kĩ để hiểu bản chất chứ không chỉ nhớ máy móc. Giả sử thay vì lấy $M$ là trung điểm $SC$, đề bài cho $M$ trên $SC$ sao cho $\dfrac{SM}{SC} = k$ với $k$ là một tỉ số bất kì (không nhất thiết bằng $\dfrac{1}{2}$). Lập luận ở bước 4 không hề dùng đến việc $k = \dfrac{1}{2}$: nó chỉ dùng $AB \parallel DC$ và $M$ $\in (ABM) \cap (SCD)$ để suy ra giao tuyến qua $M$ song song $DC$. Trong tam giác $SDC$, đường thẳng qua $M$ song song với cạnh đáy $DC$ luôn cắt cạnh $SD$ tại điểm $K$ sao cho $\dfrac{SK}{SD} = \dfrac{SM}{SC} = k$ — đây chính là định lí Thalès tổng quát, không phải một tính chất riêng của trung điểm. Khi $k = \dfrac{1}{2}$, tỉ số đó vừa vặn cho $K$ là trung điểm $SD$; nếu đề cho $k = \dfrac{1}{3}$ chẳng hạn, $K$ sẽ là điểm trên $SD$ với $SK = \dfrac{1}{3}SD$, không còn là trung điểm nhưng thiết diện vẫn dựng được bằng đúng các bước trên, và $ABMK$ vẫn là một hình thang vì $MK \parallel DC \parallel AB$ không phụ thuộc vào giá trị cụ thể của $k$.

Quy trình dựng thiết diện

Bẫy thường gặp

Sai lầm thường gặp: dựng thiếu một cạnh của thiết diện vì bỏ sót một mặt của khối chóp — cần đi hết lượt các mặt mà mặt phẳng cắt thực sự cắt qua, theo đúng thứ tự liền kề, không được nhảy cóc. Một sai lầm khác là nối hai điểm không cùng nằm trên một mặt của khối — mỗi cạnh của thiết diện phải là giao tuyến trên đúng một mặt, không được vẽ một đường chéo cắt qua bên trong khối. Sai lầm thứ ba, tinh vi hơn: nghĩ rằng kết quả "K là trung điểm" chỉ đúng vì hình vẽ trông cân đối, quên rằng nó thực chất đến từ tỉ số $\dfrac{SM}{SC}$ đã cho — nếu đề đổi tỉ số đó, K cũng đổi theo đúng tỉ số Thalès, không còn là trung điểm.

Sai lầm thường gặp: dựng thiếu một cạnh của thiết diện vì bỏ sót một mặt của khối chóp — cần đi hết lượt các mặt mà mặt phẳng cắt thực sự cắt qua, theo đúng thứ tự liền kề, không được nhảy cóc. Một sai lầm khác là nối hai điểm không cùng nằm trên một mặt của khối — mỗi cạnh của thiết diện phải là giao tuyến trên **đúng một mặt**, không được vẽ một đường chéo cắt qua bên trong khối. Sai lầm thứ ba, tinh vi hơn: nghĩ rằng kết quả "K là trung điểm" chỉ đúng vì hình vẽ trông cân đối, quên rằng nó thực chất đến từ tỉ số $\dfrac{SM}{SC}$ đã cho — nếu đề đổi tỉ số đó, K cũng đổi theo đúng tỉ số Thalès, không còn là trung điểm.

Tóm tắt

Tóm lại: dựng thiết diện là đi qua lần lượt các mặt của khối, tìm giao tuyến bằng hai điểm chung khi có thể, và bằng hệ quả song song khi chỉ có một điểm chung — rồi nối các giao tuyến liên tiếp thành một đa giác khép kín.

Bài tiếp theo xử lí trường hợp mặt phẳng cắt không chứa sẵn cạnh đáy nào, mà chỉ đi qua các điểm trên cạnh bên — buộc phải dùng công cụ của Chương 4 (hai mặt phẳng song song) ngay từ bước đầu tiên.