Bài học

Các tiên đề và cách xác định mặt phẳng trong không gian

Mục tiêu bài học

Sau bài học này em xác định được một mặt phẳng bằng ba cách công nhận, tìm được giao tuyến của hai mặt phẳng bằng cách chỉ ra hai điểm chung, và tìm được giao điểm của một đường thẳng với một mặt phẳng bằng phương pháp mặt phẳng phụ.

Kiến thức nền

Kiến thức cần nhớ trước: điểm, đường thẳng và cách gọi tên chúng trong hình học phẳng lớp dưới; hai đường chéo của một hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Bài học không giả định gì thêm ngoài hai điều này.

Một chiếc ghế ba chân luôn đứng vững trên nền nhà dù nền có hơi gồ ghề, còn ghế bốn chân đôi khi bị cập kênh, phải chêm một mẩu giấy dưới một chân mới đứng yên. Ba điểm tiếp đất của ghế ba chân, nếu không thẳng hàng, luôn nằm gọn trên đúng một mặt phẳng — mặt phẳng đó tự thích nghi với ghế. Bốn điểm thì khác: không phải lúc nào bốn điểm cũng cùng nằm trên một mặt phẳng, nên ghế bốn chân có thể có một chân hơi hụt. Ý tưởng "bao nhiêu điểm thì xác định chắc chắn một mặt phẳng" chính là nội dung của bài học này.

Các tiên đề của hình học không gian

Hình học không gian dùng thêm một vài điều được công nhận (tiên đề) so với hình học phẳng, vì bây giờ có thêm khái niệm mặt phẳng bên cạnh điểm và đường thẳng. Bốn tiên đề sau là nền cho toàn bộ chương này.

Tiên đề 1Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.

Tiên đề 2Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước, kí hiệu mp(ABC) hoặc (ABC).

Tiên đề 3Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt cùng thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đó đều thuộc mặt phẳng ấy.

Tiên đề 4Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

Tiên đề 3 là công cụ dùng nhiều nhất khi vẽ và lập luận: để khẳng định cả một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng, ta chỉ cần chỉ ra đúng hai điểm phân biệt của đường thẳng đó cùng thuộc mặt phẳng — không cần kiểm tra từng điểm một. Tiên đề 4 mới là điều thật sự tách hình học không gian khỏi hình học phẳng: trong mặt phẳng, mọi điểm đều đồng phẳng theo nghĩa tầm thường, còn trong không gian, sự không đồng phẳng là chuyện có thật và chính là lí do khối chóp, khối hộp có hình dạng ba chiều chứ không suy biến về một mặt phẳng.

Ba cách xác định một mặt phẳng

Từ tiên đề 2, ta suy ra thêm hai cách xác định mặt phẳng nữa, tổng cộng ba cách hay dùng khi trình bày lời giải. Mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C kí hiệu (ABC). Mặt phẳng chứa đường thẳng d và điểm M không thuộc d kí hiệu (d, M) — lấy thêm một điểm N khác M, N trên d thì (d, M) chính là (MNM'), tức lại quy về tiên đề 2 với ba điểm M, N và một điểm bất kì thứ ba trên d. Mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b kí hiệu (a, b) — gọi giao điểm là I, lấy thêm một điểm trên a khác I và một điểm trên b khác I, ta lại có ba điểm không thẳng hàng xác định mặt phẳng đó. Ba cách này tương đương nhau về bản chất, khác nhau ở dữ kiện đề bài cho sẵn dạng nào thuận tiện hơn để gọi tên mặt phẳng.

Quy ước hình biểu diễn dùng trong bài

Quy uoc hinh bieu dien dung trong ca khoa hoc: chon day ABCD lam mat chuan, ve day duoi dang mot hinh binh hanh (theo phep chieu song song, hinh vuong/hinh chu nhat that duoc bieu dien boi hinh binh hanh), dinh S (hoac cac dinh tren) ve phia tren. Vi ca hinh chi la net lien, canh AD, DC va cac canh noi toi D deu la canh khuat (nam phia sau khoi hinh khi nhin tu huong quan sat chuan) du duoc ve cung net voi canh thay nhu AB, BC.

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt, nếu có, là một đường thẳng — không thể là một điểm hay một đoạn cong, vì hai mặt phẳng cùng đi qua một điểm luôn cùng đi qua cả một đường thẳng theo tiên đề 3. Vì vậy, cách tìm giao tuyến luôn quy về việc chỉ ra hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng: đường thẳng nối hai điểm đó chính là giao tuyến. Một điểm chung thường thấy ngay từ đề bài (chẳng hạn đỉnh S của một hình chóp, có mặt trong mọi mặt bên); điểm chung thứ hai thường phải đi tìm bằng cách xét hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng đáy.

Giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt, nếu có, là một đường thẳng — không thể là một điểm hay một đoạn cong, vì hai mặt phẳng cùng đi qua một điểm luôn cùng đi qua cả một đường thẳng theo tiên đề 3. Vì vậy, cách tìm giao tuyến luôn quy về việc chỉ ra **hai điểm chung phân biệt** của hai mặt phẳng: đường thẳng nối hai điểm đó chính là giao tuyến. Một điểm chung thường thấy ngay từ đề bài (chẳng hạn đỉnh S của một hình chóp, có mặt trong mọi mặt bên); điểm chung thứ hai thường phải đi tìm bằng cách xét hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng đáy.

Lời giải có hình

Xác định mp(SAC) và tìm giao tuyến (SAC), (SBD)

Bước 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O. Cạnh AD, DC, SD là cạnh khuất (phía sau khối chóp).

Ví dụ

Ví dụ chuẩn — xác định mp(SAC), tìm (SAC) ∩ (SBD)

1
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, hai đường chéo $AC$ , $BD$ cắt nhau tại $O$ . a) Ba điểm $S$ , $A$ , $C$ có thẳng hàng không? Vì sao ba điểm đó xác định một mặt phẳng? b) Tìm giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ .
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, hai đường chéo $AC$, $BD$ cắt nhau tại $O$. a) Ba điểm $S$, $A$, $C$ có thẳng hàng không? Vì sao ba điểm đó xác định một mặt phẳng? b) Tìm giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$.
2
Ta có $S \notin (ABCD)$ vì $S$ là đỉnh của hình chóp, còn $A$ , $C$ là hai đỉnh đáy nên đường thẳng $AC \subset (ABCD)$ . Nếu $S$ , $A$ , $C$ thẳng hàng thì $S \in AC \subset (ABCD)$ , mâu thuẫn với $S \notin (ABCD)$ . Vậy $S$ , $A$ , $C$ không thẳng hàng. Theo tiên đề 2, ba điểm không thẳng hàng xác định đúng một mặt phẳng, gọi là $(SAC)$ .
Ta có $S \notin (ABCD)$ vì $S$ là đỉnh của hình chóp, còn $A$, $C$ là hai đỉnh đáy nên đường thẳng $AC \subset (ABCD)$. Nếu $S$, $A$, $C$ thẳng hàng thì $S \in AC \subset (ABCD)$, mâu thuẫn với $S \notin (ABCD)$. Vậy $S$, $A$, $C$ không thẳng hàng. Theo tiên đề 2, ba điểm không thẳng hàng xác định đúng một mặt phẳng, gọi là $(SAC)$.
3
Ta có $S \in (SAC)$ (đỉnh chung) và $S \in (SBD)$ (đỉnh chung), nên $S$ là điểm chung thứ nhất của $(SAC)$ và $(SBD)$ . Mặt khác $O = AC \cap BD$ trong mặt đáy, mà $AC \subset (SAC)$ và $BD \subset (SBD)$ , nên $O \in (SAC)$ và $O \in (SBD)$ — $O$ là điểm chung thứ hai. Theo cách tìm giao tuyến bằng hai điểm chung, $(SAC) \cap (SBD) = SO$ .
Ta có $S \in (SAC)$ (đỉnh chung) và $S \in (SBD)$ (đỉnh chung), nên $S$ là điểm chung thứ nhất của $(SAC)$ và $(SBD)$. Mặt khác $O = AC \cap BD$ trong mặt đáy, mà $AC \subset (SAC)$ và $BD \subset (SBD)$, nên $O \in (SAC)$ và $O \in (SBD)$ — $O$ là điểm chung thứ hai. Theo cách tìm giao tuyến bằng hai điểm chung, $(SAC) \cap (SBD) = SO$.
4
Vậy $S$ , $A$ , $C$ không thẳng hàng nên xác định mặt phẳng $(SAC)$ , và $(SAC) \cap (SBD) = SO$ .
Vậy $S$, $A$, $C$ không thẳng hàng nên xác định mặt phẳng $(SAC)$, và $(SAC) \cap (SBD) = SO$.

Tìm giao điểm của một đường thẳng với một mặt phẳng

Khi đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ không có sẵn điểm chung lộ ra ngay trên hình vẽ, ta không thể tìm giao điểm bằng cách nhìn. Kĩ thuật chuẩn gọi là phương pháp mặt phẳng phụ: chọn một mặt phẳng $(Q)$ chứa $d$ mà ta đã biết (hoặc dễ tìm) giao tuyến với $(P)$ ; giao điểm của $d$ với giao tuyến đó, nếu có, chính là giao điểm cần tìm — vì điểm đó vừa thuộc $d$ , vừa thuộc $(P)$ (do thuộc giao tuyến của $(Q)$ và $(P)$ , mà giao tuyến này nằm trong $(P)$ ).

Khi đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ không có sẵn điểm chung lộ ra ngay trên hình vẽ, ta không thể tìm giao điểm bằng cách nhìn. Kĩ thuật chuẩn gọi là **phương pháp mặt phẳng phụ**: chọn một mặt phẳng $(Q)$ chứa $d$ mà ta đã biết (hoặc dễ tìm) giao tuyến với $(P)$; giao điểm của $d$ với giao tuyến đó, nếu có, chính là giao điểm cần tìm — vì điểm đó vừa thuộc $d$, vừa thuộc $(P)$ (do thuộc giao tuyến của $(Q)$ và $(P)$, mà giao tuyến này nằm trong $(P)$).

Lời giải có hình

Tìm giao điểm I của AM và (SBD)

Bước 1

Hình chóp S.ABCD đầy đủ bốn cạnh bên. M là trung điểm SC. Cần tìm giao điểm của AM với mp(SBD).

Ví dụ

Ví dụ vận dụng — tìm giao điểm bằng mặt phẳng phụ

1
Với hình chóp ở ví dụ trên, gọi $M$ là trung điểm $SC$ . Tìm giao điểm $I$ của đường thẳng $AM$ với mặt phẳng $(SBD)$ .
Với hình chóp ở ví dụ trên, gọi $M$ là trung điểm $SC$. Tìm giao điểm $I$ của đường thẳng $AM$ với mặt phẳng $(SBD)$.
2
Ta cần một mặt phẳng chứa $AM$ mà đã biết giao tuyến với $(SBD)$ . Vì $A, M \in (SAC)$ ( $M$ nằm trên cạnh $SC \subset (SAC)$ ), nên $(SAC)$ chứa $AM$ . Theo ví dụ trước, $(SAC) \cap (SBD) = SO$ .
Ta cần một mặt phẳng chứa $AM$ mà đã biết giao tuyến với $(SBD)$. Vì $A, M \in (SAC)$ ($M$ nằm trên cạnh $SC \subset (SAC)$), nên $(SAC)$ chứa $AM$. Theo ví dụ trước, $(SAC) \cap (SBD) = SO$.
3
Trong mp $(SAC)$ , hai đường thẳng $AM$ và $SO$ không song song (chúng là hai đường chéo của tứ giác $S, A, O, C$ ... thực chất là hai đường thẳng cắt nhau vì $A \ne S$ , $M \ne O$ và bốn điểm $S, A, M, O$ không tạo thành hai cặp cạnh song song), nên chúng cắt nhau tại một điểm, gọi là $I$ : $I = AM \cap SO$ .
Trong mp$(SAC)$, hai đường thẳng $AM$ và $SO$ không song song (chúng là hai đường chéo của tứ giác $S, A, O, C$ ... thực chất là hai đường thẳng cắt nhau vì $A \ne S$, $M \ne O$ và bốn điểm $S, A, M, O$ không tạo thành hai cặp cạnh song song), nên chúng cắt nhau tại một điểm, gọi là $I$: $I = AM \cap SO$.
4
Vì $I \in SO \subset (SBD)$ nên $I \in (SBD)$ ; đồng thời $I \in AM$ theo cách dựng. Vậy $I$ chính là giao điểm cần tìm, và $I = AM \cap (SBD)$ , với $I$ nằm giữa $S$ và $O$ , đồng thời nằm giữa $A$ và $M$ .
Vì $I \in SO \subset (SBD)$ nên $I \in (SBD)$; đồng thời $I \in AM$ theo cách dựng. Vậy $I$ chính là giao điểm cần tìm, và $I = AM \cap (SBD)$, với $I$ nằm giữa $S$ và $O$, đồng thời nằm giữa $A$ và $M$.

Quy trình tìm giao điểm đường thẳng — mặt phẳng bằng mặt phẳng phụ

Bẫy thường gặp

Sai lầm thường gặp: chọn mặt phẳng phụ không chứa đường thẳng $d$ đã cho — khi đó phép tìm giao điểm trong mặt phẳng phụ hoàn toàn vô nghĩa, vì $I$ tìm được không còn nằm trên $d$ . Một sai lầm khác là nhầm giữa tìm giao tuyến (một đường thẳng, cần hai điểm chung) với tìm giao điểm (một điểm, cần một mặt phẳng phụ chứa đường thẳng đã cho) — hai bài toán dùng kĩ thuật khác nhau dù cùng xuất phát từ ý tưởng điểm chung.

Sai lầm thường gặp: chọn mặt phẳng phụ không chứa đường thẳng $d$ đã cho — khi đó phép tìm giao điểm trong mặt phẳng phụ hoàn toàn vô nghĩa, vì $I$ tìm được không còn nằm trên $d$. Một sai lầm khác là nhầm giữa tìm giao **tuyến** (một đường thẳng, cần hai điểm chung) với tìm giao **điểm** (một điểm, cần một mặt phẳng phụ chứa đường thẳng đã cho) — hai bài toán dùng kĩ thuật khác nhau dù cùng xuất phát từ ý tưởng điểm chung.

Tóm tắt

Tóm lại: một mặt phẳng được xác định bằng ba điểm không thẳng hàng, hoặc một đường thẳng với một điểm ngoài nó, hoặc hai đường thẳng cắt nhau. Giao tuyến của hai mặt phẳng tìm bằng hai điểm chung. Giao điểm của một đường thẳng với một mặt phẳng tìm bằng một mặt phẳng phụ chứa đường thẳng đó.

Bài tiếp theo dùng đúng kĩ thuật giao tuyến vừa học để trả lời một câu hỏi mới: khi nào hai đường thẳng trong không gian song song với nhau, và khi ba mặt phẳng đôi một cắt nhau thì ba giao tuyến đó có quan hệ gì.