Bài học

Ôn tập tổng hợp quan hệ song song trong không gian

Mục tiêu bài học

Sau bài học này em giải được một bài toán tổng hợp trên cùng một hình chóp, chọn đúng kĩ thuật cho từng câu hỏi nhỏ trong số các công cụ đã học: tìm giao tuyến, chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng, chứng minh hai mặt phẳng song song, và dựng thiết diện.

Kiến thức nền

Bài ôn tập này không giới thiệu kiến thức mới — mọi định lí, hệ quả và kĩ thuật dùng dưới đây đều đã học ở Chương 1 đến Chương 6. Trước khi đọc tiếp, em nên tự nhắc lại: cách xác định mặt phẳng, cách tìm giao tuyến bằng hai điểm chung, điều kiện đường thẳng song song mặt phẳng, điều kiện hai mặt phẳng song song, và cách dựng thiết diện.

Một đề kiểm tra học kì thường không hỏi riêng lẻ từng định lí, mà ghép nhiều câu hỏi nhỏ vào cùng một hình vẽ duy nhất: câu a) hỏi về giao tuyến, câu b) hỏi về một đường thẳng song song một mặt phẳng, câu c) yêu cầu dựng thiết diện — tất cả trên cùng một hình chóp cho ở đầu đề. Bài ôn tập này luyện đúng kĩ năng đó: đọc đề, nhận ra ngay câu nào cần công cụ nào, và trình bày từng phần theo đúng chuẩn Hướng dẫn giải.

Bản đồ chọn kĩ thuật

Trước khi vào bài toán tổng hợp, một bảng tự hỏi ngắn giúp chọn đúng hướng: nếu câu hỏi yêu cầu một đường thẳng chung của hai mặt phẳng, đó là bài toán giao tuyến — tìm hai điểm chung (Chương 1). Nếu câu hỏi yêu cầu chứng minh một đường thẳng song song một mặt phẳng, tìm một đường thẳng có sẵn trong mặt phẳng đó và song song với đường đã cho (Chương 3). Nếu câu hỏi yêu cầu chứng minh hai mặt phẳng song song, tìm hai đường cắt nhau của mặt này, mỗi đường song song mặt kia (Chương 4). Nếu câu hỏi yêu cầu dựng thiết diện, đi qua từng mặt của khối và tìm giao tuyến bằng hai điểm chung hoặc bằng một hệ quả song song (Chương 6). Phần lớn thời gian bị mất trong phòng thi không phải vì không biết định lí, mà vì chọn nhầm công cụ ngay từ đầu — nên bước phân loại câu hỏi này luôn nên làm trước, trên giấy nháp, trước khi đặt bút viết lời giải chính thức.

Trước khi vào bài toán tổng hợp, một bảng tự hỏi ngắn giúp chọn đúng hướng: nếu câu hỏi yêu cầu **một đường thẳng** chung của hai mặt phẳng, đó là bài toán giao tuyến — tìm hai điểm chung (Chương 1). Nếu câu hỏi yêu cầu chứng minh **một đường thẳng song song một mặt phẳng**, tìm một đường thẳng có sẵn trong mặt phẳng đó và song song với đường đã cho (Chương 3). Nếu câu hỏi yêu cầu chứng minh **hai mặt phẳng song song**, tìm hai đường cắt nhau của mặt này, mỗi đường song song mặt kia (Chương 4). Nếu câu hỏi yêu cầu **dựng thiết diện**, đi qua từng mặt của khối và tìm giao tuyến bằng hai điểm chung hoặc bằng một hệ quả song song (Chương 6). Phần lớn thời gian bị mất trong phòng thi không phải vì không biết định lí, mà vì chọn nhầm công cụ ngay từ đầu — nên bước phân loại câu hỏi này luôn nên làm trước, trên giấy nháp, trước khi đặt bút viết lời giải chính thức.

Lời giải có hình

Bài toán tổng hợp: giao tuyến, song song mặt phẳng, và thiết diện

Bước 1

Hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M là trung điểm SC. Câu a) tìm (SAC) ∩ (SBD). Câu b) chứng minh OM // (SAB). Câu c) tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(α) qua M song song mặt đáy.

Ví dụ

Ví dụ tổng hợp — ba câu hỏi trên cùng một hình chóp

1
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Gọi $M$ là trung điểm $SC$ . a) Tìm giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ . b) Chứng minh $OM \parallel (SAB)$ . c) Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với mặt đáy. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi $(\alpha)$ .
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$ là trung điểm $SC$. a) Tìm giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$. b) Chứng minh $OM \parallel (SAB)$. c) Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với mặt đáy. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi $(\alpha)$.
2
$S \in (SAC)$ và $S \in (SBD)$ : điểm chung thứ nhất. Trong mặt đáy, $O = AC \cap BD$ , mà $AC \subset (SAC)$ và $BD \subset (SBD)$ , nên $O$ thuộc cả hai mặt phẳng: điểm chung thứ hai. Vậy $(SAC) \cap (SBD) = SO$ .
$S \in (SAC)$ và $S \in (SBD)$: điểm chung thứ nhất. Trong mặt đáy, $O = AC \cap BD$, mà $AC \subset (SAC)$ và $BD \subset (SBD)$, nên $O$ thuộc cả hai mặt phẳng: điểm chung thứ hai. Vậy $(SAC) \cap (SBD) = SO$.
3
$ABCD$ là hình bình hành nên $O$ là trung điểm $AC$ ; theo giả thiết $M$ là trung điểm $SC$ . Xét tam giác $SAC$ : $O$ , $M$ là trung điểm hai cạnh $AC$ , $SC$ , nên $OM$ là đường trung bình, suy ra $OM \parallel SA$ . (1) Mà $SA \subset (SAB)$ và $OM \not\subset (SAB)$ ( $O$ thuộc mặt đáy, nằm ngoài $(SAB)$ ). (2) Từ (1), (2), theo định lí điều kiện đủ, $OM \parallel (SAB)$ .
$ABCD$ là hình bình hành nên $O$ là trung điểm $AC$; theo giả thiết $M$ là trung điểm $SC$. Xét tam giác $SAC$: $O$, $M$ là trung điểm hai cạnh $AC$, $SC$, nên $OM$ là đường trung bình, suy ra $OM \parallel SA$. (1) Mà $SA \subset (SAB)$ và $OM \not\subset (SAB)$ ($O$ thuộc mặt đáy, nằm ngoài $(SAB)$). (2) Từ (1), (2), theo định lí điều kiện đủ, $OM \parallel (SAB)$.
4
Gọi $M_1$ , $N_1$ , $Q_1$ lần lượt là giao điểm của $(\alpha)$ với $SA$ , $SB$ , $SD$ . Vì $(\alpha) \parallel (ABCD)$ và $M$ (giao điểm của $(\alpha)$ với $SC$ ) là trung điểm $SC$ , áp dụng tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng song song trên từng mặt bên $(SAB)$ , $(SBC)$ , $(SCD)$ , $(SAD)$ (hoàn toàn như ví dụ đã giải ở Chương 6), $M_1$ , $N_1$ , $Q_1$ cũng là trung điểm của $SA$ , $SB$ , $SD$ . Thiết diện là tứ giác $M_1N_1MQ_1$ , và vì $M_1N_1 \parallel AB \parallel DC \parallel MQ_1$ , $N_1M \parallel BC \parallel AD \parallel M_1Q_1$ , tứ giác này là một hình bình hành.
Gọi $M_1$, $N_1$, $Q_1$ lần lượt là giao điểm của $(\alpha)$ với $SA$, $SB$, $SD$. Vì $(\alpha) \parallel (ABCD)$ và $M$ (giao điểm của $(\alpha)$ với $SC$) là trung điểm $SC$, áp dụng tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng song song trên từng mặt bên $(SAB)$, $(SBC)$, $(SCD)$, $(SAD)$ (hoàn toàn như ví dụ đã giải ở Chương 6), $M_1$, $N_1$, $Q_1$ cũng là trung điểm của $SA$, $SB$, $SD$. Thiết diện là tứ giác $M_1N_1MQ_1$, và vì $M_1N_1 \parallel AB \parallel DC \parallel MQ_1$, $N_1M \parallel BC \parallel AD \parallel M_1Q_1$, tứ giác này là một hình bình hành.
5
$(SAC) \cap (SBD) = SO$ ; $OM \parallel (SAB)$ ; thiết diện của $(\alpha)$ với hình chóp là hình bình hành $M_1N_1MQ_1$ , với bốn đỉnh đều là trung điểm bốn cạnh bên.
$(SAC) \cap (SBD) = SO$; $OM \parallel (SAB)$; thiết diện của $(\alpha)$ với hình chóp là hình bình hành $M_1N_1MQ_1$, với bốn đỉnh đều là trung điểm bốn cạnh bên.

Quy trình giải bài toán tổng hợp quan hệ song song

Một thói quen tốt trước khi nộp bài: kiểm tra lại kết quả bằng một con đường độc lập với con đường vừa dùng để giải. Ở câu b) chẳng hạn, thay vì chỉ tin vào lập luận đường trung bình, có thể kiểm tra chéo bằng cách xét mặt phẳng $(SAC)$ : $OM \subset (SAC)$ (vì cả $O$ , $M$ đều thuộc mặt phẳng này — $O$ trên đường chéo $AC$ , $M$ trên cạnh $SC$ ), và $(SAC)$ cắt $(SAB)$ theo đúng đường thẳng $SA$ ; vì $OM \parallel SA$ và $OM$ không nằm trong $(SAB)$ , kết luận $OM \parallel (SAB)$ vẫn nhất quán khi nhìn từ góc độ giao tuyến này. Việc kiểm tra chéo như vậy không thay thế cho lời giải chính thức — bài làm vẫn chỉ trình bày một con đường lập luận — nhưng nó là cách tự tin chắc kết quả trước khi viết "Vậy" ở dòng kết luận, đặc biệt hữu ích khi bài toán có nhiều câu liên tiếp dùng lại kết quả của nhau như bài này.

Một thói quen tốt trước khi nộp bài: kiểm tra lại kết quả bằng một con đường độc lập với con đường vừa dùng để giải. Ở câu b) chẳng hạn, thay vì chỉ tin vào lập luận đường trung bình, có thể kiểm tra chéo bằng cách xét mặt phẳng $(SAC)$: $OM \subset (SAC)$ (vì cả $O$, $M$ đều thuộc mặt phẳng này — $O$ trên đường chéo $AC$, $M$ trên cạnh $SC$), và $(SAC)$ cắt $(SAB)$ theo đúng đường thẳng $SA$; vì $OM \parallel SA$ và $OM$ không nằm trong $(SAB)$, kết luận $OM \parallel (SAB)$ vẫn nhất quán khi nhìn từ góc độ giao tuyến này. Việc kiểm tra chéo như vậy không thay thế cho lời giải chính thức — bài làm vẫn chỉ trình bày một con đường lập luận — nhưng nó là cách tự tin chắc kết quả trước khi viết "Vậy" ở dòng kết luận, đặc biệt hữu ích khi bài toán có nhiều câu liên tiếp dùng lại kết quả của nhau như bài này.

Bẫy thường gặp

Sai lầm thường gặp trong bài tổng hợp: dùng kết quả của câu sau để chứng minh câu trước (lập luận vòng quanh) — luôn kiểm tra thứ tự logic, câu sau được phép dùng kết quả câu trước, không được ngược lại. Một sai lầm khác là trình bày câu c) (thiết diện) mà không nhắc lại vì sao mặt phẳng đó thật sự song song với đáy — thiếu bước này, kết luận thiết diện là hình bình hành trở thành một khẳng định chưa được chứng minh.

Tóm tắt

Tóm lại: một bài toán tổng hợp về quan hệ song song trong không gian luôn giải được bằng cách chọn đúng công cụ cho từng câu — giao tuyến bằng hai điểm chung, đường thẳng song song mặt phẳng bằng một đường có sẵn, hai mặt phẳng song song bằng hai đường cắt nhau, và thiết diện bằng cách đi qua từng mặt của khối. Không có công cụ mới nào ở đây — chỉ là biết chọn đúng công cụ đã có.

Khóa học này khép lại phần quan hệ song song trong không gian. Công cụ tiếp theo — quan hệ vuông góc — sẽ cho phép đo góc giữa hai đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, và thể tích của khối chóp, khối lăng trụ, dựa trên chính những mặt phẳng và giao tuyến đã dựng quen tay ở khóa học này.