Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Phép chiếu song song, tính chất bảo toàn tỉ số và quy tắc vẽ hình biểu diễn
Mục tiêu bài học
Sau bài học này em giải thích được vì sao mọi hình vẽ không gian trong sách đều dùng hình bình hành thay cho hình vuông, hình chữ nhật, và vận dụng được tính chất bảo toàn tỉ số của phép chiếu song song để tìm đúng vị trí một điểm trên hình biểu diễn.
Kiến thức nền
Kiến thức cần nhớ trước: khái niệm hai đường thẳng song song và tỉ số đoạn thẳng (lớp dưới); các quy ước hình biểu diễn đã dùng ngầm định từ Chương 1 đến Chương 4 — bài này giải thích rõ căn cứ toán học của những quy ước đó.
Buổi chiều nắng xiên, bóng của một khung cửa sổ hình vuông đổ xuống sàn nhà thường không phải là một hình vuông — nó bị kéo dài thành một hình bình hành. Các cạnh song song của khung cửa vẫn cho bóng song song, trung điểm một cạnh vẫn cho bóng đúng là trung điểm của bóng cạnh đó, nhưng góc vuông và độ dài thật thì không còn giữ nguyên trên bóng. Hiện tượng bóng nắng chính là một phép chiếu song song, và toàn bộ cách vẽ hình không gian trong sách giáo khoa dựa trên đúng cơ chế này.
Phép chiếu song song và các tính chất bảo toàn
Phép chiếu song songCho mặt phẳng $(P)$ (mặt phẳng chiếu) và một đường thẳng $l$ không song song $(P)$ (phương chiếu). Với mỗi điểm $M$, đường thẳng qua $M$ song song $l$ cắt $(P)$ tại một điểm $M'$ duy nhất, gọi là ảnh (hình chiếu song song) của $M$ theo phương chiếu $l$ lên mặt phẳng $(P)$.
Nếu $M$ đã nằm trong $(P)$ thì ảnh của nó chính là chính nó — đường thẳng qua $M$ song song $l$ cắt $(P)$ ngay tại $M$. Nếu một đường thẳng $d$ song song với phương chiếu $l$ thì toàn bộ $d$ chiếu về đúng một điểm (trường hợp suy biến, không dùng khi vẽ hình vì không còn thấy được hình dạng); mọi đường thẳng khác — không song song $l$ — chiếu thành một đường thẳng.
Tính chất bảo toàn của phép chiếu song songPhép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau), và bảo toàn tỉ số của các đoạn thẳng nằm trên một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song. Nói riêng, ảnh của trung điểm một đoạn thẳng là trung điểm của ảnh đoạn thẳng đó.
Điều phép chiếu song song **không** giữ lại là độ dài thật và số đo góc thật — một đoạn dài 3 cm có thể có ảnh dài hơn hoặc ngắn hơn 3 cm, một góc vuông có thể có ảnh không còn vuông. Đó chính là lí do hình vuông thật (bốn cạnh bằng nhau, bốn góc vuông) chỉ còn giữ được tính chất "bốn cạnh đôi một song song và bằng nhau từng đôi" trên ảnh — tức là ảnh của một hình vuông luôn là một hình bình hành, không nhất thiết vuông hay có cạnh bằng nhau khi nhìn bằng mắt trên hình vẽ.
Quy tắc vẽ hình biểu diễn của một hình không gian
Từ các tính chất bảo toàn trên, hình biểu diễn (hình vẽ dùng để trình bày một hình không gian trên giấy) tuân theo đúng những quy tắc đã dùng xuyên suốt từ Chương 1: hình bình hành biểu diễn hình bình hành, kể cả khi hình thật là hình vuông, hình chữ nhật hay hình thoi — vì mọi hình đó đều là trường hợp riêng của hình bình hành, và tính "riêng" đó (góc vuông, cạnh bằng nhau) không được bảo toàn. Đường thẳng biểu diễn bởi đường thẳng, trung điểm biểu diễn bởi trung điểm, hai đường thẳng song song biểu diễn bởi hai đường thẳng song song, và giao điểm của hai đường thẳng biểu diễn bởi giao điểm của hai ảnh tương ứng.
Lời giải có hình
Ảnh của trung điểm cạnh AB
Bước 1
Đoạn AB trên hình biểu diễn là ảnh của một cạnh thật của hình vuông đáy.
Ví dụ
Ví dụ chuẩn — ảnh của trung điểm qua phép chiếu song song
1
Đoạn $AB$ trên một hình biểu diễn là ảnh của một cạnh hình vuông đáy thật, với $M$ là trung điểm thật của cạnh đó. Xác định vị trí ảnh $M'$ của $M$ trên hình vẽ.
2
Theo tính chất bảo toàn tỉ số của phép chiếu song song, ảnh của một điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số nào thì ảnh của nó cũng chia đoạn ảnh theo đúng tỉ số đó. $M$ là trung điểm nghĩa là $AM : MB = 1 : 1$, nên ảnh $M'$ của $M$ cũng chia $AB$ theo tỉ số $1:1$, tức $M'$ là trung điểm của $AB$.
3
$M'$ chính là trung điểm của đoạn $AB$ trên hình vẽ — đây là lí do mọi trung điểm cạnh trong các hình biểu diễn của khóa học đều được vẽ đúng ở vị trí chính giữa đoạn thẳng tương ứng.
Lời giải có hình
Ảnh của một điểm chia đoạn theo tỉ số 1:2
Bước 1
Điểm I0 thật trên cạnh chia theo tỉ số AI0 : I0B = 1 : 2.
Ví dụ
Ví dụ vận dụng — bảo toàn một tỉ số khác 1:1
1
Trên cạnh thật ứng với đoạn $AB$ của hình biểu diễn, điểm $I_0$ chia cạnh theo tỉ số $AI_0 : I_0B = 1:2$. Xác định vị trí ảnh $I$ của $I_0$ trên đoạn $AB$.
2
Theo tính chất bảo toàn tỉ số, ảnh $I$ của $I_0$ chia đoạn $AB$ theo đúng tỉ số $AI : IB = 1:2$ như tỉ số thật, tức $AI = \dfrac{1}{3}AB$.
3
$I$ nằm trên $AB$ sao cho $AI = \dfrac{1}{3}AB$ — gần $A$ hơn, không phải là trung điểm. Sai lầm thường gặp ở đây là vẽ nhầm $I$ ở giữa $AB$ chỉ vì "trông có vẻ ở khoảng giữa", trong khi tỉ số thật của đề bài là $1:2$ chứ không phải $1:1$.
Quy trình vẽ hình biểu diễn của một hình không gian
Bẫy thường gặp
Sai lầm thường gặp: tưởng hình biểu diễn giữ nguyên độ dài và góc thật — sai, phép chiếu song song chỉ bảo toàn tỉ số trên cùng một đường thẳng hoặc trên các đường thẳng song song, cùng với tính song song và tính thẳng hàng, chứ không bảo toàn độ dài tuyệt đối hay số đo góc. Vì vậy không được đo góc hay độ dài trực tiếp trên hình vẽ để suy ra kết luận về hình thật — mọi kết luận phải đến từ lập luận, không phải từ việc "nhìn hình".
Tóm tắt
Tóm lại: phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, giữ tính song song và bảo toàn tỉ số chia đoạn — nhưng không giữ độ dài hay góc thật. Đây chính là căn cứ của mọi quy ước vẽ hình từ đầu khóa học: đáy vuông/chữ nhật vẽ thành hình bình hành, trung điểm vẽ đúng ở giữa, và mọi kết luận hình học phải đến từ lập luận chứ không phải từ việc nhìn hình.
Với đầy đủ bốn công cụ — giao tuyến, đường thẳng song song mặt phẳng, hai mặt phẳng song song, và quy tắc vẽ hình biểu diễn — Chương 6 sẽ ghép chúng lại để giải quyết dạng bài tổng hợp nhất của chủ đề này: dựng thiết diện của một hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng cho trước.
Buổi chiều nắng xiên, bóng của một khung cửa sổ hình vuông đổ xuống sàn nhà thường không phải là một hình vuông — nó bị kéo dài thành một hình bình hành. Các cạnh song song của khung cửa vẫn cho bóng song song, trung điểm một cạnh vẫn cho bóng đúng là trung điểm của bóng cạnh đó, nhưng góc vuông và độ dài thật thì không còn giữ nguyên trên bóng. Hiện tượng bóng nắng chính là một phép chiếu song song, và toàn bộ cách vẽ hình không gian trong sách giáo khoa dựa trên đúng cơ chế này.
Cho mặt phẳng (P) (mặt phẳng chiếu) và một đường thẳng l không song song (P) (phương chiếu). Với mỗi điểm M, đường thẳng qua M song song l cắt (P) tại một điểm M′ duy nhất, gọi là ảnh (hình chiếu song song) của M theo phương chiếu l lên mặt phẳng (P).
Nếu M đã nằm trong (P) thì ảnh của nó chính là chính nó — đường thẳng qua M song song l cắt (P) ngay tại M. Nếu một đường thẳng d song song với phương chiếu l thì toàn bộ d chiếu về đúng một điểm (trường hợp suy biến, không dùng khi vẽ hình vì không còn thấy được hình dạng); mọi đường thẳng khác — không song song l — chiếu thành một đường thẳng.
Điều phép chiếu song song không giữ lại là độ dài thật và số đo góc thật — một đoạn dài 3 cm có thể có ảnh dài hơn hoặc ngắn hơn 3 cm, một góc vuông có thể có ảnh không còn vuông. Đó chính là lí do hình vuông thật (bốn cạnh bằng nhau, bốn góc vuông) chỉ còn giữ được tính chất "bốn cạnh đôi một song song và bằng nhau từng đôi" trên ảnh — tức là ảnh của một hình vuông luôn là một hình bình hành, không nhất thiết vuông hay có cạnh bằng nhau khi nhìn bằng mắt trên hình vẽ.
Từ các tính chất bảo toàn trên, hình biểu diễn (hình vẽ dùng để trình bày một hình không gian trên giấy) tuân theo đúng những quy tắc đã dùng xuyên suốt từ Chương 1: hình bình hành biểu diễn hình bình hành, kể cả khi hình thật là hình vuông, hình chữ nhật hay hình thoi — vì mọi hình đó đều là trường hợp riêng của hình bình hành, và tính "riêng" đó (góc vuông, cạnh bằng nhau) không được bảo toàn. Đường thẳng biểu diễn bởi đường thẳng, trung điểm biểu diễn bởi trung điểm, hai đường thẳng song song biểu diễn bởi hai đường thẳng song song, và giao điểm của hai đường thẳng biểu diễn bởi giao điểm của hai ảnh tương ứng.
Đoạn AB trên một hình biểu diễn là ảnh của một cạnh hình vuông đáy thật, với M là trung điểm thật của cạnh đó. Xác định vị trí ảnh M′ của M trên hình vẽ.
Theo tính chất bảo toàn tỉ số của phép chiếu song song, ảnh của một điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số nào thì ảnh của nó cũng chia đoạn ảnh theo đúng tỉ số đó. M là trung điểm nghĩa là AM:MB=1:1, nên ảnh M′ của M cũng chia AB theo tỉ số 1:1, tức M′ là trung điểm của AB.
M′ chính là trung điểm của đoạn AB trên hình vẽ — đây là lí do mọi trung điểm cạnh trong các hình biểu diễn của khóa học đều được vẽ đúng ở vị trí chính giữa đoạn thẳng tương ứng.
Trên cạnh thật ứng với đoạn AB của hình biểu diễn, điểm I0 chia cạnh theo tỉ số AI0:I0B=1:2. Xác định vị trí ảnh I của I0 trên đoạn AB.
Theo tính chất bảo toàn tỉ số, ảnh I của I0 chia đoạn AB theo đúng tỉ số AI:IB=1:2 như tỉ số thật, tức AI=31AB.
I nằm trên AB sao cho AI=31AB — gần A hơn, không phải là trung điểm. Sai lầm thường gặp ở đây là vẽ nhầm I ở giữa AB chỉ vì "trông có vẻ ở khoảng giữa", trong khi tỉ số thật của đề bài là 1:2 chứ không phải 1:1.
Sai lầm thường gặp: tưởng hình biểu diễn giữ nguyên độ dài và góc thật — sai, phép chiếu song song chỉ bảo toàn tỉ số trên cùng một đường thẳng hoặc trên các đường thẳng song song, cùng với tính song song và tính thẳng hàng, chứ không bảo toàn độ dài tuyệt đối hay số đo góc. Vì vậy không được đo góc hay độ dài trực tiếp trên hình vẽ để suy ra kết luận về hình thật — mọi kết luận phải đến từ lập luận, không phải từ việc "nhìn hình".
Tóm lại: phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, giữ tính song song và bảo toàn tỉ số chia đoạn — nhưng không giữ độ dài hay góc thật. Đây chính là căn cứ của mọi quy ước vẽ hình từ đầu khóa học: đáy vuông/chữ nhật vẽ thành hình bình hành, trung điểm vẽ đúng ở giữa, và mọi kết luận hình học phải đến từ lập luận chứ không phải từ việc nhìn hình.