Bài học

Dấu hiệu chia hết cho 3 và cho 9

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em áp dụng đúng dấu hiệu chia hết cho 3 và cho 9, dựa vào tổng các chữ số, để xét một số có chia hết cho 3 hoặc 9 hay không mà không cần đặt tính chia.

Kiến thức nền cần nhớ

Hai bài trước đã cho em dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5 (chỉ nhìn chữ số tận cùng) và khái niệm ước, bội. Bài này học thêm hai dấu hiệu chia hết mới để tìm ước 3, ước 9 của một số nhanh hơn.

Khởi động

Không đặt tính chia, em có đoán được 2019 có chia hết cho 3 hay không không? Thử cộng các chữ số của nó lại xem — 2 cộng 0 cộng 1 cộng 9 được bao nhiêu?

Kiến thức trọng tâm

Dấu hiệu chia hết cho 9: một số chia hết cho 9 khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 9. Dấu hiệu chia hết cho 3: một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.

Khác với dấu hiệu chia hết cho 2 và 5 chỉ cần nhìn đúng một chữ số tận cùng, dấu hiệu chia hết cho 3 và 9 phải cộng TẤT CẢ các chữ số lại — vì 10 chia cho 3 dư 1 và chia cho 9 cũng dư 1, nên mỗi khi lên một hàng (đơn vị lên chục, chục lên trăm...), phần dư 1 đó cứ cộng dồn lại, và tổng các chữ số phản ánh đúng phần dư cộng dồn này.

Vì $9 = 3 \times 3$ , một số chia hết cho 9 thì chắc chắn cũng chia hết cho 3 (vì tổng chữ số đã chia hết cho 9 thì cũng chia hết cho 3). Nhưng chiều ngược lại không đúng: 12 chia hết cho 3 (vì $1+2=3$ ) nhưng không chia hết cho 9.

Vì $9 = 3 \times 3$, một số chia hết cho 9 thì chắc chắn cũng chia hết cho 3 (vì tổng chữ số đã chia hết cho 9 thì cũng chia hết cho 3). Nhưng chiều ngược lại không đúng: 12 chia hết cho 3 (vì $1+2=3$) nhưng không chia hết cho 9.

Vì sao dấu hiệu này đúng? Tách $100 = 99 + 1$ và $10 = 9 + 1$ . Với một số có ba chữ số $\overline{abc}$ (a là hàng trăm, b là hàng chục, c là hàng đơn vị): $\overline{abc} = 100a + 10b + c = (99a + a) + (9b + b) + c = (99a + 9b) + (a + b + c)$ . Phần $99a + 9b$ chắc chắn chia hết cho 9 (và cho 3), vì cả 99 lẫn 9 đều là bội của 9. Vậy toàn bộ số $\overline{abc}$ chia hết cho 3 (hay 9) khi và chỉ khi phần còn lại — chính là tổng các chữ số $a+b+c$ — chia hết cho 3 (hay 9). Cách tách này áp dụng được cho số có bao nhiêu chữ số cũng đúng, vì mọi hàng chục, trăm, nghìn... đều tách được thành một bội của 9 cộng 1.

Vì sao dấu hiệu này đúng? Tách $100 = 99 + 1$ và $10 = 9 + 1$. Với một số có ba chữ số $\overline{abc}$ (a là hàng trăm, b là hàng chục, c là hàng đơn vị): $\overline{abc} = 100a + 10b + c = (99a + a) + (9b + b) + c = (99a + 9b) + (a + b + c)$. Phần $99a + 9b$ chắc chắn chia hết cho 9 (và cho 3), vì cả 99 lẫn 9 đều là bội của 9. Vậy toàn bộ số $\overline{abc}$ chia hết cho 3 (hay 9) khi và chỉ khi phần còn lại — chính là tổng các chữ số $a+b+c$ — chia hết cho 3 (hay 9). Cách tách này áp dụng được cho số có bao nhiêu chữ số cũng đúng, vì mọi hàng chục, trăm, nghìn... đều tách được thành một bội của 9 cộng 1.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Kiểm tra dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9

1
Xét xem 2019 và 2024 có chia hết cho 3, cho 9 hay không.
2
$2 + 0 + 1 + 9 = 12$ . Ta có $12 \vdots 3$ (vì $12 = 3 \times 4$ ) nhưng $12$ không chia hết cho 9.
$2 + 0 + 1 + 9 = 12$. Ta có $12 \vdots 3$ (vì $12 = 3 \times 4$) nhưng $12$ không chia hết cho 9.
3
$2 + 0 + 2 + 4 = 8$ . Số 8 không chia hết cho 3 và cũng không chia hết cho 9.
$2 + 0 + 2 + 4 = 8$. Số 8 không chia hết cho 3 và cũng không chia hết cho 9.
4
Vậy 2019 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9; 2024 không chia hết cho cả 3 lẫn 9.

Ví dụ

Điền chữ số còn thiếu để thỏa dấu hiệu chia hết cho 3

1
Tìm chữ số $x$ để số $\overline{4x5}$ chia hết cho 3.
Tìm chữ số $x$ để số $\overline{4x5}$ chia hết cho 3.
2
Tổng các chữ số là $4 + x + 5 = 9 + x$ .
Tổng các chữ số là $4 + x + 5 = 9 + x$.
3
Cần $9 + x$ chia hết cho 3. Với $x$ là chữ số từ 0 đến 9, $9+x$ nhận các giá trị từ 9 đến 18; trong khoảng đó, các bội của 3 là 9, 12, 15, 18, ứng với $x = 0, 3, 6, 9$ .
Cần $9 + x$ chia hết cho 3. Với $x$ là chữ số từ 0 đến 9, $9+x$ nhận các giá trị từ 9 đến 18; trong khoảng đó, các bội của 3 là 9, 12, 15, 18, ứng với $x = 0, 3, 6, 9$.
4
Vậy $x \in \{0; 3; 6; 9\}$ — có bốn giá trị thỏa mãn.
Vậy $x \in \{0; 3; 6; 9\}$ — có bốn giá trị thỏa mãn.

Ví dụ

Tìm chữ số để chia hết cho cả 3 và 9 (dạng thi)

1
Tìm chữ số $x$ để số $\overline{7x3}$ chia hết cho cả 3 và 9.
Tìm chữ số $x$ để số $\overline{7x3}$ chia hết cho cả 3 và 9.
2
Tổng các chữ số là $7 + x + 3 = 10 + x$ .
Tổng các chữ số là $7 + x + 3 = 10 + x$.
3
Vì chia hết cho 9 thì cũng chia hết cho 3, chỉ cần tìm $x$ để $10+x$ chia hết cho 9. Với $x$ từ 0 đến 9, $10+x$ chạy từ 10 đến 19, chỉ có $18$ chia hết cho 9, ứng với $x = 8$ .
Vì chia hết cho 9 thì cũng chia hết cho 3, chỉ cần tìm $x$ để $10+x$ chia hết cho 9. Với $x$ từ 0 đến 9, $10+x$ chạy từ 10 đến 19, chỉ có $18$ chia hết cho 9, ứng với $x = 8$.
4
Với $x=8$ , số là 783: $7+8+3=18$ , mà $18 \vdots 9$ và $18 \vdots 3$ .
Với $x=8$, số là 783: $7+8+3=18$, mà $18 \vdots 9$ và $18 \vdots 3$.
5
Vậy $x = 8$ , số cần tìm là 783 — chia hết cho cả 3 và 9.
Vậy $x = 8$, số cần tìm là 783 — chia hết cho cả 3 và 9.

Ví dụ

Đóng gói sản phẩm theo dấu hiệu chia hết cho 3 (dạng thi)

1
Một cửa hàng có $\overline{6a4}$ sản phẩm ( $a$ là chữ số hàng chục), muốn đóng đều vào các thùng 3 sản phẩm mỗi thùng, không dư sản phẩm nào. Tìm các giá trị có thể có của $a$ .
Một cửa hàng có $\overline{6a4}$ sản phẩm ($a$ là chữ số hàng chục), muốn đóng đều vào các thùng 3 sản phẩm mỗi thùng, không dư sản phẩm nào. Tìm các giá trị có thể có của $a$.
2
Tổng các chữ số là $6 + a + 4 = 10 + a$ .
Tổng các chữ số là $6 + a + 4 = 10 + a$.
3
Cần $10+a$ chia hết cho 3. Với $a$ từ 0 đến 9, $10+a$ chạy từ 10 đến 19; các bội của 3 trong khoảng đó là 12, 15, 18, ứng với $a=2, 5, 8$ .
Cần $10+a$ chia hết cho 3. Với $a$ từ 0 đến 9, $10+a$ chạy từ 10 đến 19; các bội của 3 trong khoảng đó là 12, 15, 18, ứng với $a=2, 5, 8$.
4
Vậy $a \in \{2; 5; 8\}$ — cửa hàng có thể có 624, 654 hoặc 684 sản phẩm.
Vậy $a \in \{2; 5; 8\}$ — cửa hàng có thể có 624, 654 hoặc 684 sản phẩm.

Ví dụ

Kết hợp dấu hiệu chia hết cho 9 với dấu hiệu chia hết cho 2 (dạng thi)

1
Tìm chữ số $a$ để số $\overline{4a0}$ chia hết cho cả 2, 3 và 9.
Tìm chữ số $a$ để số $\overline{4a0}$ chia hết cho cả 2, 3 và 9.
2
Chữ số tận cùng của $\overline{4a0}$ luôn là 0, nên số này luôn chia hết cho 2 với mọi $a$ — điều kiện này không thu hẹp thêm gì.
Chữ số tận cùng của $\overline{4a0}$ luôn là 0, nên số này luôn chia hết cho 2 với mọi $a$ — điều kiện này không thu hẹp thêm gì.
3
Tổng các chữ số là $4 + a + 0 = 4 + a$ , với $a$ là chữ số từ 0 đến 9.
Tổng các chữ số là $4 + a + 0 = 4 + a$, với $a$ là chữ số từ 0 đến 9.
4
Cần $4+a$ chia hết cho 9. Với $a$ từ 0 đến 9, $4+a$ chạy từ 4 đến 13, chỉ có 9 nằm trong khoảng đó và chia hết cho 9, ứng với $a=5$ .
Cần $4+a$ chia hết cho 9. Với $a$ từ 0 đến 9, $4+a$ chạy từ 4 đến 13, chỉ có 9 nằm trong khoảng đó và chia hết cho 9, ứng với $a=5$.
5
Vì đã chia hết cho 9, số này chắc chắn cũng chia hết cho 3 (không cần tính lại).
6
Vậy $a = 5$ , số cần tìm là 450 — chia hết cho cả 2, 3 và 9.
Vậy $a = 5$, số cần tìm là 450 — chia hết cho cả 2, 3 và 9.

Năm ví dụ trên cho thấy dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9 hiếm khi đứng một mình trong đề kiểm tra: nó thường đi kèm dấu hiệu chia hết cho 2 hoặc cho 5 đã học ở bài trước, và cách xử lý an toàn nhất luôn là xét TỪNG điều kiện một, rồi kết hợp lại — như ví dụ 5 vừa làm.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Sai lầm thường gặp

Lỗi hay gặp nhất là mang thói quen từ dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5 sang đây — chỉ nhìn CHỮ SỐ TẬN CÙNG thay vì cộng TẤT CẢ các chữ số. Một lỗi khác là nghĩ chia hết cho 3 thì chắc chắn chia hết cho 9: 12 là phản ví dụ rõ ràng — chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.

Ghi nhớ

Số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 (hoặc 9). Chia hết cho 9 thì luôn kéo theo chia hết cho 3, nhưng chiều ngược lại không đúng.

Bốn dấu hiệu chia hết đã đủ để em xét nhanh một số có chia hết cho 2, 3, 5, hay 9 hay không. Chương tiếp theo dùng chính khái niệm ước để phân loại mọi số tự nhiên lớn hơn 1 thành hai nhóm: số nguyên tố và hợp số.