Bài học

Số nguyên tố và hợp số

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nêu đúng định nghĩa số nguyên tố, hợp số; xác định được một số cho trước là số nguyên tố hay hợp số bằng cách tìm ước của nó; và lập được bảng các số nguyên tố nhỏ hơn 30.

Kiến thức nền cần nhớ

Em cần dùng lại cách tìm $\text{Ư}(a)$ của bài "Ước và bội": thử chia $a$ lần lượt cho $1, 2, \dots, a$ , số nào chia hết thì là một ước.

Em cần dùng lại cách tìm $\text{Ư}(a)$ của bài "Ước và bội": thử chia $a$ lần lượt cho $1, 2, \dots, a$, số nào chia hết thì là một ước.

Khởi động

$\text{Ư}(7) = \{1; 7\}$ , chỉ có đúng hai ước. Còn $\text{Ư}(8) = \{1; 2; 4; 8\}$ , có tới bốn ước. Hai số 7 và 8 khác nhau ở điều gì trong cách tìm ước của chúng?

$\text{Ư}(7) = \{1; 7\}$, chỉ có đúng hai ước. Còn $\text{Ư}(8) = \{1; 2; 4; 8\}$, có tới bốn ước. Hai số 7 và 8 khác nhau ở điều gì trong cách tìm ước của chúng?

Kiến thức trọng tâm

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có đúng hai ước là 1 và chính nó. Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước. Số 0 và số 1 không phải là số nguyên tố, cũng không phải là hợp số — 1 chỉ có đúng một ước (không đủ hai), còn 0 không được xét trong hai loại này.

Muốn biết một số là nguyên tố hay hợp số, ta liệt kê $\text{Ư}(n)$ rồi đếm số phần tử: đúng hai ước thì là số nguyên tố; nhiều hơn hai ước thì là hợp số. Trong thực hành, chỉ cần thử chia $n$ cho các số nguyên tố nhỏ hơn nó — 2, 3, 5, 7, ... — cho đến khi thương nhỏ hơn số chia; nếu không tìm được ước nào ngoài 1 và chính nó thì $n$ là số nguyên tố.

Bảng các số nguyên tố nhỏ hơn 30 lập theo cách sàng: liệt kê 2 đến 29, gạch bỏ mọi bội của 2 (trừ chính số 2), rồi gạch bỏ mọi bội của 3 (trừ chính số 3), rồi gạch bỏ mọi bội của 5 (trừ chính số 5); các số còn lại chính là số nguyên tố. Kết quả: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 — trong đó 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất, mọi số nguyên tố khác đều là số lẻ.

Vì sao khi kiểm tra 29 chỉ cần thử chia cho 2, 3, 5 rồi dừng lại, không cần thử tiếp 7, 11...? Nếu 29 có một ước $d$ lớn hơn 5, thì thương $29 : d$ phải nhỏ hơn 5 (vì $5 \times 5 = 25 < 29$ , còn $6\times6=36>29$ ) — mà thương đó cũng là một ước của 29, và ta đã thử hết các ước nhỏ hơn 6 rồi. Nói cách khác, ước của một số luôn xuất hiện theo cặp mà một trong hai luôn không lớn hơn căn bậc hai của số đó, nên chỉ cần thử các số nguyên tố cho tới khi bình phương của chúng vượt quá số đang xét là đủ, không cần thử xa hơn.

Vì sao khi kiểm tra 29 chỉ cần thử chia cho 2, 3, 5 rồi dừng lại, không cần thử tiếp 7, 11...? Nếu 29 có một ước $d$ lớn hơn 5, thì thương $29 : d$ phải nhỏ hơn 5 (vì $5 \times 5 = 25 < 29$, còn $6\times6=36>29$) — mà thương đó cũng là một ước của 29, và ta đã thử hết các ước nhỏ hơn 6 rồi. Nói cách khác, ước của một số luôn xuất hiện theo cặp mà một trong hai luôn không lớn hơn căn bậc hai của số đó, nên chỉ cần thử các số nguyên tố cho tới khi bình phương của chúng vượt quá số đang xét là đủ, không cần thử xa hơn.

7 chỉ xếp được thành 1 hàng 7 cột — không còn cách xếp hình chữ nhật nào khác, đúng với việc 7 chỉ có hai ước là 1 và 7.

8 xếp được thành 2 nhóm x 4, nghĩa là 2 và 4 đều là ước của 8 — 8 có nhiều hơn hai ước nên là hợp số.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Xác định số nguyên tố, hợp số bằng cách tìm ước

1
Xét xem 17, 21, 29 là số nguyên tố hay hợp số.
2
Thử chia 17 cho các số nguyên tố nhỏ hơn nó: 2, 3, 5, 7, 11, 13 — không số nào chia hết 17. Vậy $\text{Ư}(17) = \{1; 17\}$ , 17 là số nguyên tố.
Thử chia 17 cho các số nguyên tố nhỏ hơn nó: 2, 3, 5, 7, 11, 13 — không số nào chia hết 17. Vậy $\text{Ư}(17) = \{1; 17\}$, 17 là số nguyên tố.
3
$21 = 3 \times 7$ , nên 3 và 7 đều là ước của 21. Vậy $\text{Ư}(21) \supseteq \{1; 3; 7; 21\}$ , nhiều hơn hai ước, 21 là hợp số.
$21 = 3 \times 7$, nên 3 và 7 đều là ước của 21. Vậy $\text{Ư}(21) \supseteq \{1; 3; 7; 21\}$, nhiều hơn hai ước, 21 là hợp số.
4
Thử chia 29 cho 2, 3, 5 (không cần thử số nguyên tố lớn hơn vì $6\times6=36$ đã vượt 29) — không số nào chia hết. Vậy $\text{Ư}(29) = \{1; 29\}$ , 29 là số nguyên tố.
Thử chia 29 cho 2, 3, 5 (không cần thử số nguyên tố lớn hơn vì $6\times6=36$ đã vượt 29) — không số nào chia hết. Vậy $\text{Ư}(29) = \{1; 29\}$, 29 là số nguyên tố.
5
Vậy 17 và 29 là số nguyên tố; 21 là hợp số.

Ví dụ

Liệt kê các số nguyên tố nhỏ hơn 30

1
Liệt kê tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn 30.
2
Viết dãy số tự nhiên từ 2 đến 29.
3
Gạch mọi bội của 2 (trừ 2): loại 4,6,8,...,28. Gạch mọi bội của 3 (trừ 3): loại thêm 9,15,21,27 (các bội của 3 chưa bị gạch ở bước trước). Gạch mọi bội của 5 (trừ 5): loại thêm 25.
4
Vậy các số nguyên tố nhỏ hơn 30 là 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Ví dụ

Nhận diện hợp số dễ gây nhầm lẫn (dạng thi)

1
Trong hai số 91 và 97, số nào là số nguyên tố?
2
$91 = 7 \times 13$ — thử chia 91 cho 7 được đúng 13, không dư, nên 91 có ước 7 và 13 ngoài 1 và chính nó. 91 là hợp số dù trông có vẻ "khó chia".
$91 = 7 \times 13$ — thử chia 91 cho 7 được đúng 13, không dư, nên 91 có ước 7 và 13 ngoài 1 và chính nó. 91 là hợp số dù trông có vẻ "khó chia".
3
Thử chia 97 cho 2, 3, 5, 7 (đủ vì $10\times10=100>97$ ) — không số nào chia hết. Vậy $\text{Ư}(97) = \{1; 97\}$ , 97 là số nguyên tố.
Thử chia 97 cho 2, 3, 5, 7 (đủ vì $10\times10=100>97$) — không số nào chia hết. Vậy $\text{Ư}(97) = \{1; 97\}$, 97 là số nguyên tố.
4
Vậy 97 là số nguyên tố, còn 91 là hợp số (vì $91=7\times13$ ).
Vậy 97 là số nguyên tố, còn 91 là hợp số (vì $91=7\times13$).

Ví dụ

Tìm số học sinh câu lạc bộ theo điều kiện số nguyên tố (dạng thi)

1
Một lớp có số học sinh là một số nguyên tố, nhiều hơn 30 và ít hơn 40. Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh?
2
Các số từ 31 đến 39 gồm: 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39. Trong đó 32, 34, 36, 38 chẵn (hợp số); 33 và 39 chia hết cho 3 (hợp số); 35 chia hết cho 5 (hợp số). Còn lại 31 và 37.
3
Thử chia 31, 37 cho 2, 3, 5 (đủ vì cả hai đều nhỏ hơn $7\times7=49$ ) — không số nào chia hết. Cả 31 và 37 đều là số nguyên tố.
Thử chia 31, 37 cho 2, 3, 5 (đủ vì cả hai đều nhỏ hơn $7\times7=49$) — không số nào chia hết. Cả 31 và 37 đều là số nguyên tố.
4
Vậy lớp đó có 31 hoặc 37 học sinh.

Ví dụ

Dùng dấu hiệu chia hết để loại nhanh hợp số (dạng thi)

1
Trong bốn số 51, 53, 55, 57, số nào là số nguyên tố?
2
$51$ : tổng chữ số $5+1=6$ chia hết cho 3, nên $51=3\times17$ là hợp số. $57$ : tổng chữ số $5+7=12$ chia hết cho 3, nên $57=3\times19$ là hợp số.
$51$: tổng chữ số $5+1=6$ chia hết cho 3, nên $51=3\times17$ là hợp số. $57$: tổng chữ số $5+7=12$ chia hết cho 3, nên $57=3\times19$ là hợp số.
3
$55$ tận cùng 5, chia hết cho 5, nên $55=5\times11$ là hợp số.
$55$ tận cùng 5, chia hết cho 5, nên $55=5\times11$ là hợp số.
4
53 không tận cùng 0, 2, 4, 5, 6, 8 nên không chia hết cho 2 hay 5; tổng chữ số $5+3=8$ không chia hết cho 3. Thử tiếp 7: $53 : 7$ không chia hết. Vì $7\times7=49<53<64=8\times8$ , thử đến 7 là đủ.
53 không tận cùng 0, 2, 4, 5, 6, 8 nên không chia hết cho 2 hay 5; tổng chữ số $5+3=8$ không chia hết cho 3. Thử tiếp 7: $53 : 7$ không chia hết. Vì $7\times7=49<53<64=8\times8$, thử đến 7 là đủ.
5
Vậy trong bốn số, chỉ 53 là số nguyên tố; 51, 55, 57 đều là hợp số.

Ví dụ cuối cho thấy dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5 (đã học ở các bài trước) chính là công cụ nhanh nhất để loại bỏ hợp số trước khi thử chia trực tiếp — thay vì thử lần lượt từng số nguyên tố một cách máy móc, em nên dùng dấu hiệu để loại ngay những trường hợp rõ ràng.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn tưởng 1 là số nguyên tố nhỏ nhất — sai, vì 1 chỉ có đúng một ước, không đủ điều kiện "đúng hai ước". Một lỗi khác là nghĩ mọi số lẻ đều là số nguyên tố: 9, 15, 21, 25 đều lẻ nhưng đều là hợp số ( $9=3\times3$ , $15=3\times5$ ...).

Ghi nhớ

Số nguyên tố: lớn hơn 1, đúng hai ước (1 và chính nó). Hợp số: lớn hơn 1, nhiều hơn hai ước. 0 và 1 không thuộc loại nào. 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất.

Bài tiếp theo dùng chính số nguyên tố làm "viên gạch" để phân tích mọi hợp số thành một tích duy nhất các thừa số nguyên tố.