Bài học

Quan hệ chia hết và dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhận biết đúng quan hệ chia hết giữa hai số tự nhiên, kí hiệu $a \vdots b$ , và áp dụng thành thạo dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5 mà không cần đặt tính chia.

Sau bài này, em nhận biết đúng quan hệ chia hết giữa hai số tự nhiên, kí hiệu $a \vdots b$, và áp dụng thành thạo dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5 mà không cần đặt tính chia.

Kiến thức nền cần nhớ

Ở tiểu học em đã quen với phép chia có dư và phép chia hết: $12 : 3 = 4$ là chia hết vì không còn dư, còn $13 : 3$ thì dư 1. Lớp 6 gọi tên chính thức cho trường hợp chia hết bằng một kí hiệu riêng, và dùng nó xuyên suốt cả khóa số học từ đây.

Khởi động

Cô giáo có 24 quyển vở, muốn chia đều cho các tổ sao cho tổ nào cũng nhận số vở như nhau, không dư quyển nào. Chia cho 4 tổ được không? Chia cho 5 tổ thì sao? Muốn trả lời nhanh mà không cần chia thử từng trường hợp, em cần một quy tắc.

Kiến thức trọng tâm

Cho hai số tự nhiên $a$ và $b$ , với $b \ne 0$ . Nếu có một số tự nhiên $k$ sao cho $a = b \times k$ thì ta nói $a$ chia hết cho $b$ , kí hiệu $a \vdots b$ . Chẳng hạn $24 = 4 \times 6$ nên $24 \vdots 4$ . Ngược lại, $23$ không viết được dưới dạng $4 \times k$ với $k$ là số tự nhiên — vì $4 \times 5 = 20$ còn $4 \times 6 = 24$ , không có $k$ nào cho ra đúng 23 — nên 23 không chia hết cho 4.

Cho hai số tự nhiên $a$ và $b$, với $b \ne 0$. Nếu có một số tự nhiên $k$ sao cho $a = b \times k$ thì ta nói $a$ chia hết cho $b$, kí hiệu $a \vdots b$. Chẳng hạn $24 = 4 \times 6$ nên $24 \vdots 4$. Ngược lại, $23$ không viết được dưới dạng $4 \times k$ với $k$ là số tự nhiên — vì $4 \times 5 = 20$ còn $4 \times 6 = 24$, không có $k$ nào cho ra đúng 23 — nên 23 không chia hết cho 4.

Khi $a$ không chia hết cho $b$ , phép chia $a : b$ luôn có một số dư $r$ thỏa $0 < r < b$ , và $a = b \times q + r$ với $q$ là thương. Với $a=23$ , $b=4$ : $23 = 4 \times 5 + 3$ , thương là 5, dư là 3.

Khi $a$ không chia hết cho $b$, phép chia $a : b$ luôn có một số dư $r$ thỏa $0 < r < b$, và $a = b \times q + r$ với $q$ là thương. Với $a=23$, $b=4$: $23 = 4 \times 5 + 3$, thương là 5, dư là 3.

Dấu hiệu chia hết cho 2: một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của nó là 0, 2, 4, 6 hoặc 8 — tức chữ số tận cùng là số chẵn. Dấu hiệu chia hết cho 5: một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của nó là 0 hoặc 5.

Vì sao chỉ cần nhìn đúng một chữ số tận cùng mà không cần xét cả số? Tách một số tự nhiên bất kỳ thành hai phần: phần từ hàng chục trở lên, và chữ số hàng đơn vị. Phần từ hàng chục trở lên luôn là một bội của 10, mà 10 đã chia hết cho cả 2 lẫn 5, nên phần đó không ảnh hưởng đến việc chia hết cho 2 hay 5 — mọi chuyện chỉ còn phụ thuộc đúng chữ số cuối cùng.

Nhận xét thêm: một số chia hết cho CẢ 2 lẫn 5 thì luôn chia hết cho 10, vì $10 = 2 \times 5$ — và điều này khớp đúng với dấu hiệu chia hết cho 10 em đã biết từ tiểu học: chữ số tận cùng bằng 0. Khi đọc một dãy số dài, cách làm nhanh nhất không phải là kiểm tra từng số một cách độc lập cho cả 2 lẫn 5, mà nhìn thẳng vào chữ số tận cùng trước: tận cùng là 0 thì chia hết cho cả 2 và 5 ngay lập tức; tận cùng là 5 thì chỉ chia hết cho 5; tận cùng là số chẵn khác 0 (2, 4, 6, 8) thì chỉ chia hết cho 2; còn lại (1, 3, 7, 9) thì không chia hết cho số nào trong hai số này. Bốn nhóm chữ số tận cùng này chia hết mọi trường hợp có thể xảy ra, không sót số nào.

Quy tắc chia hết cho 2, cho 5 nghe đơn giản nhưng lại rất hữu ích trong thực tế: một người thợ đóng gói hàng theo lô 2 hoặc lô 5 sản phẩm không cần đếm hết cả kho, chỉ cần nhìn số lượng tổng và xét đúng một chữ số cuối là biết ngay có chia đều được hay không.

Mọi số chia hết cho 5 đều rơi đúng vào các điểm cách đều này trên tia số.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Xác định quan hệ chia hết bằng định nghĩa

1
Xét xem 24 có chia hết cho 4 không, và 23 có chia hết cho 4 không.
2
Ta có $24 = 4 \times 6$ , tồn tại số tự nhiên $k = 6$ thỏa $24 = 4 \times k$ , nên theo định nghĩa, $24 \vdots 4$ .
Ta có $24 = 4 \times 6$, tồn tại số tự nhiên $k = 6$ thỏa $24 = 4 \times k$, nên theo định nghĩa, $24 \vdots 4$.
3
Ta có $4 \times 5 = 20$ và $4 \times 6 = 24$ , không có số tự nhiên $k$ nào cho $4 \times k = 23$ , nên 23 không chia hết cho 4. Cụ thể $23 = 4 \times 5 + 3$ , dư 3.
Ta có $4 \times 5 = 20$ và $4 \times 6 = 24$, không có số tự nhiên $k$ nào cho $4 \times k = 23$, nên 23 không chia hết cho 4. Cụ thể $23 = 4 \times 5 + 3$, dư 3.
4
Vậy $24 \vdots 4$ , còn 23 không chia hết cho 4 (dư 3).
Vậy $24 \vdots 4$, còn 23 không chia hết cho 4 (dư 3).

Ví dụ

Áp dụng dấu hiệu chia hết cho 2 và cho 5

1
Trong các số 120, 135, 246, 350, tìm số chia hết cho 2, số chia hết cho 5, và số chia hết cho cả hai.
2
120 tận cùng 0; 135 tận cùng 5; 246 tận cùng 6; 350 tận cùng 0.
3
Tận cùng 0, 6 đều là chữ số chẵn, nên 120 và 246 chia hết cho 2; 350 tận cùng 0 cũng chẵn nên cũng chia hết cho 2; chỉ 135 (tận cùng 5, lẻ) không chia hết cho 2.
4
Tận cùng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5: 120, 135, 350 chia hết cho 5; 246 (tận cùng 6) thì không.
5
Vậy chia hết cho 2: 120, 246, 350. Chia hết cho 5: 120, 135, 350. Chia hết cho cả hai: 120 và 350 (vì cả hai đều tận cùng bằng 0).

Ví dụ

Tìm chữ số còn thiếu để thỏa cả hai dấu hiệu (dạng thi)

1
Tìm chữ số $x$ để số $\overline{47x}$ chia hết cho cả 2 và 5.
Tìm chữ số $x$ để số $\overline{47x}$ chia hết cho cả 2 và 5.
2
Theo dấu hiệu chia hết cho 5, chữ số tận cùng $x$ phải là 0 hoặc 5.
Theo dấu hiệu chia hết cho 5, chữ số tận cùng $x$ phải là 0 hoặc 5.
3
Theo dấu hiệu chia hết cho 2, $x$ phải là chữ số chẵn. Trong hai giá trị 0 và 5 vừa tìm được, chỉ 0 là số chẵn.
Theo dấu hiệu chia hết cho 2, $x$ phải là chữ số chẵn. Trong hai giá trị 0 và 5 vừa tìm được, chỉ 0 là số chẵn.
4
Vậy $x = 0$ , số cần tìm là 470, và $470 \vdots 2$ , $470 \vdots 5$ .
Vậy $x = 0$, số cần tìm là 470, và $470 \vdots 2$, $470 \vdots 5$.

Ví dụ

Bài toán vé số ba chữ số (dạng thi)

1
Số vé xổ số bán ra trong ngày là một số có ba chữ số, chữ số hàng trăm là 3, chữ số hàng chục là 8, số đó chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 2. Tìm số vé đã bán.
2
Số cần tìm có dạng $\overline{38x}$ với $x$ là chữ số hàng đơn vị chưa biết.
Số cần tìm có dạng $\overline{38x}$ với $x$ là chữ số hàng đơn vị chưa biết.
3
Vì $\overline{38x} \vdots 5$ , theo dấu hiệu chia hết cho 5, $x \in \{0; 5\}$ .
Vì $\overline{38x} \vdots 5$, theo dấu hiệu chia hết cho 5, $x \in \{0; 5\}$.
4
Đề cho biết số này KHÔNG chia hết cho 2, tức $x$ phải là số lẻ. Trong hai giá trị 0 và 5, chỉ 5 là số lẻ, nên $x = 5$ .
Đề cho biết số này KHÔNG chia hết cho 2, tức $x$ phải là số lẻ. Trong hai giá trị 0 và 5, chỉ 5 là số lẻ, nên $x = 5$.
5
Vậy số vé đã bán là 385 — chia hết cho 5, và tận cùng 5 nên không chia hết cho 2.

Bốn ví dụ trên đi từ định nghĩa trần trụi (ví dụ 1), đến áp dụng dấu hiệu trên một dãy số có sẵn (ví dụ 2), rồi ngược lại — tìm chữ số còn thiếu để thỏa dấu hiệu (ví dụ 3) — và cuối cùng là một bài toán thực tế phải kết hợp cả hai điều kiện cùng lúc, có một điều kiện là "loại trừ" thay vì "thỏa mãn" (ví dụ 4). Đây đúng là bốn dạng câu hỏi phổ biến nhất mà một đề kiểm tra dấu hiệu chia hết sẽ đặt ra.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn chỉ nhìn CHỮ SỐ ĐẦU TIÊN thay vì chữ số tận cùng — ví dụ nghĩ 15 chia hết cho 2 vì "có số 1", trong khi phải xét chữ số cuối cùng là 5 (lẻ) nên 15 không chia hết cho 2. Một lỗi khác là quên xét số tận cùng 0: 350 tận cùng 0 nên chia hết cho CẢ 2 và 5, không phải chỉ một trong hai.

Ghi nhớ

$a \vdots b$ nghĩa là tồn tại $k$ tự nhiên sao cho $a = b \times k$ . Số chia hết cho 2 khi tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8. Số chia hết cho 5 khi tận cùng là 0 hoặc 5. Số tận cùng 0 chia hết cho cả hai.

$a \vdots b$ nghĩa là tồn tại $k$ tự nhiên sao cho $a = b \times k$. Số chia hết cho 2 khi tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8. Số chia hết cho 5 khi tận cùng là 0 hoặc 5. Số tận cùng 0 chia hết cho cả hai.

Bài tiếp theo gọi tên chính thức mối quan hệ $a \vdots b$ bằng ngôn ngữ ước và bội — công cụ em sẽ dùng lại trong suốt phần còn lại của chương này.