Bài học

Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phân tích được một hợp số ra thừa số nguyên tố bằng sơ đồ cột, và viết kết quả gọn dưới dạng tích các lũy thừa của số nguyên tố.

Kiến thức nền cần nhớ

Em cần dùng lại định nghĩa số nguyên tố, hợp số của bài trước, và khái niệm lũy thừa $a^n$ đã học ở Course 1 để viết gọn kết quả phân tích.

Khởi động

Số 60 có viết được thành tích của những số nguyên tố nào? Và nếu hai bạn cùng phân tích 60 theo hai cách chia khác nhau, kết quả cuối cùng có nhất thiết giống nhau không?

Kiến thức trọng tâm

Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố. Cách làm phổ biến là sơ đồ cột: chia số đã cho, rồi chia liên tiếp các thương, cho các số nguyên tố — thường bắt đầu từ số nguyên tố nhỏ nhất có thể (2, rồi 3, 5, 7, ...) — cho đến khi thương bằng 1.

Mọi hợp số đều phân tích ra thừa số nguyên tố theo đúng MỘT cách duy nhất, nếu không tính đến thứ tự viết các thừa số — dù chia theo thứ tự nào, kết quả cuối cùng luôn giống nhau. Kết quả thường viết gọn bằng lũy thừa: $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$ .

Ngoài sơ đồ cột, sách còn giới thiệu sơ đồ cây: tách số đã cho thành tích của hai thừa số bất kỳ (không nhất thiết là số nguyên tố), rồi tiếp tục tách từng thừa số cho tới khi mọi nhánh đều dừng ở số nguyên tố. Ví dụ $60 = 6 \times 10$ , rồi $6 = 2 \times 3$ và $10 = 2 \times 5$ — cả hai cách đều cho cùng kết quả $2^2 \times 3 \times 5$ , dù cách tách ban đầu khác nhau. Sơ đồ cột vẫn thường được dùng hơn vì ít bước hơn và không phải chọn cách tách — cứ chia đều cho số nguyên tố nhỏ nhất có thể là chắc chắn không bỏ sót thừa số nào.

Ngoài sơ đồ cột, sách còn giới thiệu sơ đồ cây: tách số đã cho thành tích của hai thừa số bất kỳ (không nhất thiết là số nguyên tố), rồi tiếp tục tách từng thừa số cho tới khi mọi nhánh đều dừng ở số nguyên tố. Ví dụ $60 = 6 \times 10$, rồi $6 = 2 \times 3$ và $10 = 2 \times 5$ — cả hai cách đều cho cùng kết quả $2^2 \times 3 \times 5$, dù cách tách ban đầu khác nhau. Sơ đồ cột vẫn thường được dùng hơn vì ít bước hơn và không phải chọn cách tách — cứ chia đều cho số nguyên tố nhỏ nhất có thể là chắc chắn không bỏ sót thừa số nào.

Kết quả phân tích còn dùng để tìm ước nhanh mà không cần thử lần lượt từ 1 đến chính số đó. Với $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ , mỗi ước của 60 được tạo bằng cách chọn một số lượng thừa số 2 (0, 1, hoặc 2 lần), một số lượng thừa số 3 (0 hoặc 1 lần), và một số lượng thừa số 5 (0 hoặc 1 lần), rồi nhân lại. Chẳng hạn chọn một thừa số 2 và một thừa số 5 (bỏ qua 3) được $2 \times 5 = 10$ — đúng là một ước của 60; chọn hai thừa số 2 và một thừa số 3 (bỏ qua 5) được $4 \times 3 = 12$ — cũng là một ước của 60. Cách này nhanh hơn nhiều so với chia thử 60 cho từng số từ 1 đến 60.

Kết quả phân tích còn dùng để tìm ước nhanh mà không cần thử lần lượt từ 1 đến chính số đó. Với $60 = 2^2 \times 3 \times 5$, mỗi ước của 60 được tạo bằng cách chọn một số lượng thừa số 2 (0, 1, hoặc 2 lần), một số lượng thừa số 3 (0 hoặc 1 lần), và một số lượng thừa số 5 (0 hoặc 1 lần), rồi nhân lại. Chẳng hạn chọn một thừa số 2 và một thừa số 5 (bỏ qua 3) được $2 \times 5 = 10$ — đúng là một ước của 60; chọn hai thừa số 2 và một thừa số 3 (bỏ qua 5) được $4 \times 3 = 12$ — cũng là một ước của 60. Cách này nhanh hơn nhiều so với chia thử 60 cho từng số từ 1 đến 60.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Phân tích 60 ra thừa số nguyên tố

1
Phân tích 60 ra thừa số nguyên tố.
2
$60 : 2 = 30$ ; $30 : 2 = 15$ .
$60 : 2 = 30$; $30 : 2 = 15$.
3
15 không chia hết cho 2, chia cho 3: $15 : 3 = 5$ .
15 không chia hết cho 2, chia cho 3: $15 : 3 = 5$.
4
5 là số nguyên tố: $5 : 5 = 1$ , dừng lại.
5 là số nguyên tố: $5 : 5 = 1$, dừng lại.
5
Vậy $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$ .
Vậy $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$.

Ví dụ

Phân tích 84 ra thừa số nguyên tố

1
Phân tích 84 ra thừa số nguyên tố.
2
$84 : 2 = 42$ ; $42 : 2 = 21$ .
$84 : 2 = 42$; $42 : 2 = 21$.
3
21 không chia hết cho 2, chia cho 3: $21 : 3 = 7$ .
21 không chia hết cho 2, chia cho 3: $21 : 3 = 7$.
4
7 là số nguyên tố: $7 : 7 = 1$ , dừng lại.
7 là số nguyên tố: $7 : 7 = 1$, dừng lại.
5
Vậy $84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7 = 2^2 \times 3 \times 7$ .
Vậy $84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7 = 2^2 \times 3 \times 7$.

Ví dụ

Phân tích hai số liên tiếp trong một đề (dạng thi)

1
Phân tích 45 và 72 ra thừa số nguyên tố.
2
$45$ không chia hết cho 2 (số lẻ), chia cho 3: $45 : 3 = 15$ ; $15 : 3 = 5$ ; $5 : 5 = 1$ . Vậy $45 = 3 \times 3 \times 5 = 3^2 \times 5$ .
$45$ không chia hết cho 2 (số lẻ), chia cho 3: $45 : 3 = 15$; $15 : 3 = 5$; $5 : 5 = 1$. Vậy $45 = 3 \times 3 \times 5 = 3^2 \times 5$.
3
$72 : 2 = 36$ ; $36 : 2 = 18$ ; $18 : 2 = 9$ ; 9 không chia hết cho 2, chia cho 3: $9 : 3 = 3$ ; $3 : 3 = 1$ . Vậy $72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2$ .
$72 : 2 = 36$; $36 : 2 = 18$; $18 : 2 = 9$; 9 không chia hết cho 2, chia cho 3: $9 : 3 = 3$; $3 : 3 = 1$. Vậy $72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2$.
4
Vậy $45 = 3^2 \times 5$ và $72 = 2^3 \times 3^2$ .
Vậy $45 = 3^2 \times 5$ và $72 = 2^3 \times 3^2$.

Ví dụ

Đóng thùng theo thừa số nguyên tố (dạng thi)

1
Một xưởng có 90 sản phẩm, muốn đóng vào các thùng sao cho số sản phẩm mỗi thùng là một thừa số nguyên tố của 90. Có những cách đóng thùng nào?
2
$90 : 2 = 45$ ; 45 không chia hết cho 2, chia cho 3: $45 : 3 = 15$ ; $15 : 3 = 5$ ; $5 : 5 = 1$ . Vậy $90 = 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2 \times 3^2 \times 5$ .
$90 : 2 = 45$; 45 không chia hết cho 2, chia cho 3: $45 : 3 = 15$; $15 : 3 = 5$; $5 : 5 = 1$. Vậy $90 = 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2 \times 3^2 \times 5$.
3
Các thừa số nguyên tố xuất hiện trong kết quả là 2, 3, 5.
4
2 sản phẩm/thùng: $90:2=45$ thùng. 3 sản phẩm/thùng: $90:3=30$ thùng. 5 sản phẩm/thùng: $90:5=18$ thùng.
2 sản phẩm/thùng: $90:2=45$ thùng. 3 sản phẩm/thùng: $90:3=30$ thùng. 5 sản phẩm/thùng: $90:5=18$ thùng.
5
Vậy có ba cách đóng thùng: 45 thùng x 2, 30 thùng x 3, hoặc 18 thùng x 5 sản phẩm.

Ví dụ

Dùng kết quả phân tích để kiểm tra chia hết nhanh (dạng thi)

1
Một xưởng bánh có 126 chiếc bánh, biết $126 = 2 \times 3^2 \times 7$ . Xưởng muốn chia đều số bánh vào các hộp 18 chiếc mỗi hộp. Có chia hết được không? Nếu được, chia được bao nhiêu hộp?
Một xưởng bánh có 126 chiếc bánh, biết $126 = 2 \times 3^2 \times 7$. Xưởng muốn chia đều số bánh vào các hộp 18 chiếc mỗi hộp. Có chia hết được không? Nếu được, chia được bao nhiêu hộp?
2
$18 = 2 \times 3^2$ .
$18 = 2 \times 3^2$.
3
126 có đủ các thừa số của 18: cả hai đều có đúng một thừa số 2 và hai thừa số 3 ( $3^2$ ). Vì mọi thừa số nguyên tố của 18 đều "nằm trong" 126 với số mũ không nhỏ hơn, 18 là ước của 126.
126 có đủ các thừa số của 18: cả hai đều có đúng một thừa số 2 và hai thừa số 3 ($3^2$). Vì mọi thừa số nguyên tố của 18 đều "nằm trong" 126 với số mũ không nhỏ hơn, 18 là ước của 126.
4
$126 : 18 = 7$ .
$126 : 18 = 7$.
5
Vậy xưởng chia hết được, và chia được đúng 7 hộp bánh.

Ví dụ cuối cho thấy lợi ích thật sự của việc phân tích ra thừa số nguyên tố: thay vì đặt tính chia 126 cho 18 để kiểm tra, em chỉ cần so sánh hai kết quả phân tích với nhau — một kỹ năng sẽ dùng lại liên tục ở khóa ƯCLN, BCNN tiếp theo.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Sai lầm thường gặp

Lỗi hay gặp nhất là chia cho một số KHÔNG PHẢI số nguyên tố trong sơ đồ cột — ví dụ chia 60 cho 4 dù 4 không phải số nguyên tố, làm sai cả quy trình. Một lỗi khác là quên gộp các thừa số giống nhau thành lũy thừa, viết $2\times2\times3\times5$ thay vì gọn hơn là $2^2\times3\times5$ .

Ghi nhớ

Phân tích ra thừa số nguyên tố: chia liên tiếp cho các số nguyên tố từ nhỏ đến lớn, đến khi thương bằng 1. Mỗi hợp số chỉ có đúng một cách phân tích (không kể thứ tự), và kết quả nên viết gọn bằng lũy thừa.

Khóa tiếp theo dùng chính cách phân tích ra thừa số nguyên tố này để tìm ƯCLN và BCNN nhanh hơn nhiều so với liệt kê từng ước, từng bội một.