Bài học

Ôn tập: Chia hết, ước, bội, số nguyên tố

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em vận dụng phối hợp các dấu hiệu chia hết, khái niệm ước — bội, số nguyên tố — hợp số, và cách phân tích ra thừa số nguyên tố để giải các bài toán tổng hợp đúng phong cách đề kiểm tra.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này không dạy kiến thức mới, mà hệ thống lại toàn bộ năm bài trước: quan hệ chia hết, dấu hiệu chia hết cho 2 và 5, ước và bội, dấu hiệu chia hết cho 3 và 9, số nguyên tố — hợp số, và phân tích ra thừa số nguyên tố.

Khởi động

Một đề kiểm tra thường không hỏi riêng từng dấu hiệu chia hết một — mà ghép nhiều điều kiện lại trong cùng một câu hỏi. Em đã sẵn sàng đọc một đề bài có tới ba, bốn điều kiện cùng lúc chưa?

Kiến thức trọng tâm

Bốn dấu hiệu chia hết: cho 2 và cho 5 chỉ cần xét chữ số tận cùng; cho 3 và cho 9 cần cộng tất cả các chữ số lại. Ước và bội là hai cách gọi tên khác nhau của cùng một quan hệ $a \vdots b$ — $b$ là ước của $a$ , $a$ là bội của $b$ . Số nguyên tố là số lớn hơn 1 chỉ có đúng hai ước; hợp số là số lớn hơn 1 có nhiều hơn hai ước. Phân tích ra thừa số nguyên tố là viết một hợp số thành tích các số nguyên tố — công cụ này giúp tìm ước của một số nhanh hơn nhiều so với thử chia từng số.

Bốn dấu hiệu chia hết: cho 2 và cho 5 chỉ cần xét chữ số tận cùng; cho 3 và cho 9 cần cộng tất cả các chữ số lại. Ước và bội là hai cách gọi tên khác nhau của cùng một quan hệ $a \vdots b$ — $b$ là ước của $a$, $a$ là bội của $b$. Số nguyên tố là số lớn hơn 1 chỉ có đúng hai ước; hợp số là số lớn hơn 1 có nhiều hơn hai ước. Phân tích ra thừa số nguyên tố là viết một hợp số thành tích các số nguyên tố — công cụ này giúp tìm ước của một số nhanh hơn nhiều so với thử chia từng số.

Điểm chung của các bài toán tổng hợp: đề thường cho nhiều điều kiện cùng lúc (vừa chia hết cho số này, vừa nằm trong một khoảng, vừa là số nguyên tố...). Cách làm an toàn nhất là xử lý TỪNG điều kiện một, rồi lấy phần giao của tất cả các kết quả — bỏ sót một điều kiện là lỗi phổ biến nhất.

Một mẹo làm bài nhanh hơn: khi đề cho nhiều điều kiện, nên xử lý điều kiện THU HẸP nhất trước — thường là điều kiện về chữ số tận cùng (chia hết cho 2 hoặc 5) vì nó chỉ cho ra tối đa vài giá trị, hoặc một khoảng giá trị hẹp. Xử lý xong điều kiện thu hẹp nhất, số lượng trường hợp còn phải xét cho các điều kiện sau sẽ ít đi rất nhiều, thay vì liệt kê tất cả rồi mới lọc dần — đúng như cách làm trong ví dụ 4 của chương này.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Kết hợp dấu hiệu chia hết cho 3 và cho 5

1
Tìm chữ số $x$ để số $\overline{1x35}$ chia hết cho cả 3 và 5.
Tìm chữ số $x$ để số $\overline{1x35}$ chia hết cho cả 3 và 5.
2
Chữ số tận cùng của $\overline{1x35}$ luôn là 5, nên số này luôn chia hết cho 5 với mọi $x$ .
Chữ số tận cùng của $\overline{1x35}$ luôn là 5, nên số này luôn chia hết cho 5 với mọi $x$.
3
Tổng các chữ số là $1+x+3+5=9+x$ , cần chia hết cho 3. Với $x$ từ 0 đến 9, $9+x$ nhận các bội của 3 là 9, 12, 15, 18, ứng với $x=0,3,6,9$ .
Tổng các chữ số là $1+x+3+5=9+x$, cần chia hết cho 3. Với $x$ từ 0 đến 9, $9+x$ nhận các bội của 3 là 9, 12, 15, 18, ứng với $x=0,3,6,9$.
4
Vậy $x \in \{0; 3; 6; 9\}$ — cả bốn giá trị đều thỏa cả hai điều kiện.
Vậy $x \in \{0; 3; 6; 9\}$ — cả bốn giá trị đều thỏa cả hai điều kiện.

Ví dụ

Kết hợp ước và số nguyên tố

1
Tìm số tự nhiên $n$ , biết $n$ là ước của 30, $n$ là số nguyên tố, và $n > 4$ .
Tìm số tự nhiên $n$, biết $n$ là ước của 30, $n$ là số nguyên tố, và $n > 4$.
2
$30 = 2 \times 3 \times 5$ , nên $\text{Ư}(30) = \{1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30\}$ .
$30 = 2 \times 3 \times 5$, nên $\text{Ư}(30) = \{1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30\}$.
3
Trong tập trên, các số nguyên tố là 2, 3, 5.
4
Chỉ 5 thỏa điều kiện lớn hơn 4.
5
Vậy $n = 5$ .
Vậy $n = 5$.

Ví dụ

Kết hợp phân tích nhân tử và ước (dạng thi)

1
Phân tích 40 ra thừa số nguyên tố. Từ đó cho biết 8 có phải là ước của 40 không.
2
$40:2=20$ ; $20:2=10$ ; $10:2=5$ ; $5:5=1$ . Vậy $40 = 2^3 \times 5$ .
$40:2=20$; $20:2=10$; $10:2=5$; $5:5=1$. Vậy $40 = 2^3 \times 5$.
3
$8 = 2^3$ là chính một phần của kết quả phân tích trên, và $40 : 8 = 5$ , không dư.
$8 = 2^3$ là chính một phần của kết quả phân tích trên, và $40 : 8 = 5$, không dư.
4
Vậy $40 = 2^3 \times 5$ , và 8 là ước của 40 vì $40:8=5$ .
Vậy $40 = 2^3 \times 5$, và 8 là ước của 40 vì $40:8=5$.

Ví dụ

Bài toán số học sinh khối 6 (dạng thi tổng hợp)

1
Số học sinh khối 6 của một trường là một số có ba chữ số, chia hết cho cả 3 và 5, chữ số hàng trăm là 4, chữ số hàng chục là 2, và số đó nằm trong khoảng từ 400 đến 430. Tìm số học sinh khối 6.
2
Số có dạng $\overline{42x}$ với $x$ là chữ số hàng đơn vị chưa biết.
Số có dạng $\overline{42x}$ với $x$ là chữ số hàng đơn vị chưa biết.
3
Vì $\overline{42x} \vdots 5$ , theo dấu hiệu chia hết cho 5, $x \in \{0; 5\}$ .
Vì $\overline{42x} \vdots 5$, theo dấu hiệu chia hết cho 5, $x \in \{0; 5\}$.
4
Tổng các chữ số là $4+2+x=6+x$ , cần chia hết cho 3. Với $x=0$ : $6+0=6$ chia hết cho 3. Với $x=5$ : $6+5=11$ không chia hết cho 3.
Tổng các chữ số là $4+2+x=6+x$, cần chia hết cho 3. Với $x=0$: $6+0=6$ chia hết cho 3. Với $x=5$: $6+5=11$ không chia hết cho 3.
5
Chỉ $x=0$ thỏa cả hai điều kiện chia hết cho 3 và cho 5. Số cần tìm là 420, và $400 < 420 < 430$ , đúng khoảng đề cho.
Chỉ $x=0$ thỏa cả hai điều kiện chia hết cho 3 và cho 5. Số cần tìm là 420, và $400 < 420 < 430$, đúng khoảng đề cho.
6
Vậy khối 6 của trường có 420 học sinh.

Ví dụ

Kết hợp phân tích nhân tử, ước và số nguyên tố trong một bài toán thực tế

1
Một hội trường có 108 ghế, muốn xếp thành các hàng bằng nhau, mỗi hàng có số ghế là một số nguyên tố. Mỗi hàng có thể có bao nhiêu ghế, và khi đó có tất cả bao nhiêu hàng?
2
$108 : 2 = 54$ ; $54 : 2 = 27$ ; 27 không chia hết cho 2, chia cho 3: $27 : 3 = 9$ ; $9 : 3 = 3$ ; $3 : 3 = 1$ . Vậy $108 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^3$ .
$108 : 2 = 54$; $54 : 2 = 27$; 27 không chia hết cho 2, chia cho 3: $27 : 3 = 9$; $9 : 3 = 3$; $3 : 3 = 1$. Vậy $108 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^3$.
3
Số ghế mỗi hàng phải vừa là ước của 108, vừa là số nguyên tố. Từ kết quả phân tích, các thừa số nguyên tố của 108 chỉ là 2 và 3.
4
Với 2 ghế/hàng: $108 : 2 = 54$ hàng. Với 3 ghế/hàng: $108 : 3 = 36$ hàng.
Với 2 ghế/hàng: $108 : 2 = 54$ hàng. Với 3 ghế/hàng: $108 : 3 = 36$ hàng.
5
Vậy mỗi hàng có thể có 2 ghế (xếp được 54 hàng) hoặc 3 ghế (xếp được 36 hàng).

Năm ví dụ của chương ôn tập lần lượt kết hợp dấu hiệu chia hết với khoảng giá trị, ước với số nguyên tố, phân tích nhân tử với ước, ba điều kiện trong một bài toán thực tế, và cuối cùng cả bốn công cụ trong một bài toán xếp ghế — đúng độ khó và đúng kiểu câu hỏi em sẽ gặp trong đề kiểm tra cuối chương.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Sai lầm thường gặp

Lỗi phổ biến nhất trong bài toán tổng hợp là dừng lại ngay khi thỏa MỘT điều kiện rồi kết luận vội, quên kiểm tra các điều kiện còn lại của đề. Luôn đối chiếu lại đáp án với TOÀN BỘ đề bài trước khi viết "Vậy...".

Ghi nhớ

Dấu hiệu chia hết cho 2, 5: xét chữ số tận cùng. Cho 3, 9: xét tổng các chữ số. Ước và bội là hai mặt của cùng một quan hệ chia hết. Số nguyên tố có đúng hai ước; hợp số có nhiều hơn hai ước. Phân tích ra thừa số nguyên tố giúp tìm ước nhanh và chính xác.

Khóa tiếp theo (Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất) dùng chính ước, bội, và phân tích ra thừa số nguyên tố em vừa ôn lại để tìm ƯCLN, BCNN nhanh, rồi áp dụng vào các bài toán chia nhóm, quy đồng mẫu số, và tính chu kỳ gặp nhau trong thực tế.