Bài học

Điểm, đường thẳng, tia và ba điểm thẳng hàng

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em vẽ và đặt tên đúng một điểm, một đường thẳng, một tia; xác định được một điểm có thuộc đường thẳng cho trước hay không; và nhận ra ba điểm thẳng hàng hay không thẳng hàng, chỉ ra đúng điểm nằm giữa khi chúng thẳng hàng.

Kiến thức nền cần nhớ

Ở tiểu học em đã cầm thước kẻ một đoạn nối hai điểm, và quen với các chữ cái in hoa $A$ , $B$ , $C$ để gọi tên các điểm trên hình vẽ. Lớp 6 dùng lại đúng những thao tác đó, chỉ đặt tên chính thức cho từng đối tượng: điểm, đường thẳng, tia. Kí hiệu $\in$ và $\notin$ em học ở phần tập hợp cũng quay lại ngay trong bài này, để nói một điểm có thuộc đường thẳng hay không.

Ở tiểu học em đã cầm thước kẻ một đoạn nối hai điểm, và quen với các chữ cái in hoa $A$, $B$, $C$ để gọi tên các điểm trên hình vẽ. Lớp 6 dùng lại đúng những thao tác đó, chỉ đặt tên chính thức cho từng đối tượng: điểm, đường thẳng, tia. Kí hiệu $\in$ và $\notin$ em học ở phần tập hợp cũng quay lại ngay trong bài này, để nói một điểm có thuộc đường thẳng hay không.

Khởi động

Ba bạn Lan, Minh, Hà đứng xếp hàng thể dục. Cô giáo chỉ cần nhìn một lượt là biết ngay ba bạn có đứng thẳng hàng hay không, dù không hề dùng thước đo. Khi nào ba điểm gọi là thẳng hàng, và trong ba điểm đó điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?

Kiến thức trọng tâm

Điểm là hình đơn giản nhất, biểu diễn bằng một dấu chấm nhỏ và đặt tên bằng một chữ cái in hoa: điểm $A$ , điểm $B$ . Mọi hình trong hình học — đoạn thẳng, đường thẳng, góc — đều dựng nên từ các điểm.

Điểm là hình đơn giản nhất, biểu diễn bằng một dấu chấm nhỏ và đặt tên bằng một chữ cái in hoa: điểm $A$, điểm $B$. Mọi hình trong hình học — đoạn thẳng, đường thẳng, góc — đều dựng nên từ các điểm.

Qua hai điểm phân biệt $A$ và $B$ , có một và chỉ một đường thẳng — tính chất này đúng luôn mà không cần chứng minh, gọi là một tiên đề. Đường thẳng không có điểm đầu, điểm cuối: nó kéo dài mãi về cả hai phía, nên trên hình chỉ vẽ được một đoạn của nó rồi vẽ dài hơn cần thiết để nhắc rằng nó còn tiếp tục. Đường thẳng đặt tên bằng một chữ cái thường ( $a$ , $d$ , …) hoặc bằng hai điểm nó đi qua: đường thẳng $AB$ .

Qua hai điểm phân biệt $A$ và $B$, có một và chỉ một đường thẳng — tính chất này đúng luôn mà không cần chứng minh, gọi là một tiên đề. Đường thẳng không có điểm đầu, điểm cuối: nó kéo dài mãi về cả hai phía, nên trên hình chỉ vẽ được một đoạn của nó rồi vẽ dài hơn cần thiết để nhắc rằng nó còn tiếp tục. Đường thẳng đặt tên bằng một chữ cái thường ($a$, $d$, …) hoặc bằng hai điểm nó đi qua: đường thẳng $AB$.

Khi điểm $A$ nằm trên đường thẳng $d$ , ta nói $A$ thuộc $d$ , viết $A \in d$ . Khi điểm $D$ không nằm trên $d$ , ta viết $D \notin d$ . Chỉ có hai khả năng: một điểm hoặc có mặt trên đường thẳng, hoặc không — không có kí hiệu lớn hơn, nhỏ hơn ở đây như với số.

Khi điểm $A$ nằm trên đường thẳng $d$, ta nói $A$ thuộc $d$, viết $A \in d$. Khi điểm $D$ không nằm trên $d$, ta viết $D \notin d$. Chỉ có hai khả năng: một điểm hoặc có mặt trên đường thẳng, hoặc không — không có kí hiệu lớn hơn, nhỏ hơn ở đây như với số.

Lời giải có hình

Ba điểm thẳng hàng và một điểm nằm ngoài

Bước 1

Cho bốn điểm $A$ , $B$ , $C$ , $D$ trên hình.Cho bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ trên hình.

Tia có gốc nhưng không có điểm cuối: nó bắt đầu tại một điểm rồi kéo dài mãi về một phía duy nhất. Tia gốc $O$ đi qua điểm $X$ viết là tia $Ox$ — luôn đọc điểm gốc trước; đổi thành tia $xO$ là sai, vì gốc của tia là $O$ chứ không phải $X$ . Tia khác đường thẳng ở chỗ nó chỉ vô hạn một phía; nó cũng khác đoạn thẳng, thứ em sẽ học ngay ở bài sau, ở chỗ đoạn thẳng bị chặn ở cả hai đầu.

Tia có gốc nhưng không có điểm cuối: nó bắt đầu tại một điểm rồi kéo dài mãi về một phía duy nhất. Tia gốc $O$ đi qua điểm $X$ viết là tia $Ox$ — luôn đọc điểm gốc trước; đổi thành tia $xO$ là sai, vì gốc của tia là $O$ chứ không phải $X$. Tia khác đường thẳng ở chỗ nó chỉ vô hạn một phía; nó cũng khác đoạn thẳng, thứ em sẽ học ngay ở bài sau, ở chỗ đoạn thẳng bị chặn ở cả hai đầu.

Lời giải có hình

Tia gốc O đi qua điểm X

Bước 1

Cho điểm gốc $O$ và điểm $X$ .Cho điểm gốc $O$ và điểm $X$.

Ba điểm cùng thuộc một đường thẳng gọi là ba điểm thẳng hàng; khi không có đường thẳng nào đi qua cả ba, chúng không thẳng hàng. Khi ba điểm $A$ , $B$ , $C$ thẳng hàng, luôn có đúng một điểm nằm giữa hai điểm còn lại. Muốn kiểm tra bằng mắt, em đặt cạnh thước đi qua hai điểm bất kỳ: nếu điểm thứ ba cũng nằm sát cạnh thước, ba điểm thẳng hàng.

Ba điểm cùng thuộc một đường thẳng gọi là ba điểm thẳng hàng; khi không có đường thẳng nào đi qua cả ba, chúng không thẳng hàng. Khi ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng, luôn có đúng một điểm nằm giữa hai điểm còn lại. Muốn kiểm tra bằng mắt, em đặt cạnh thước đi qua hai điểm bất kỳ: nếu điểm thứ ba cũng nằm sát cạnh thước, ba điểm thẳng hàng.

Ví dụ minh họa

Ví dụ

Xác định ba điểm thẳng hàng

1
Cho ba điểm $A$ , $B$ , $C$ trên hình vẽ, trong đó $B$ nằm trên đoạn nối $A$ và $C$ . Điểm $D$ nằm tách hẳn sang một bên. Hỏi bộ ba điểm nào thẳng hàng?
Cho ba điểm $A$, $B$, $C$ trên hình vẽ, trong đó $B$ nằm trên đoạn nối $A$ và $C$. Điểm $D$ nằm tách hẳn sang một bên. Hỏi bộ ba điểm nào thẳng hàng?
2
Đặt cạnh thước qua $A$ và $C$ . Ta thấy $B$ cũng nằm sát cạnh thước đó, nên $A$ , $B$ , $C$ thẳng hàng, và $B$ nằm giữa $A$ , $C$ . Đặt thước qua $A$ và $D$ : $B$ , $C$ không nằm sát cạnh thước này, nên $D$ không thẳng hàng với $A$ , $B$ , $C$ . Vậy chỉ có bộ ba $A$ , $B$ , $C$ thẳng hàng, với $B$ nằm giữa.
Đặt cạnh thước qua $A$ và $C$. Ta thấy $B$ cũng nằm sát cạnh thước đó, nên $A$, $B$, $C$ thẳng hàng, và $B$ nằm giữa $A$, $C$. Đặt thước qua $A$ và $D$: $B$, $C$ không nằm sát cạnh thước này, nên $D$ không thẳng hàng với $A$, $B$, $C$. Vậy chỉ có bộ ba $A$, $B$, $C$ thẳng hàng, với $B$ nằm giữa.

Ví dụ

Đường ống tưới nước trong vườn (dạng thi)

1
Trên sơ đồ một khu vườn, người ta đánh dấu bốn vị trí trồng cây $A$ , $B$ , $C$ , $D$ . Biết $A$ , $B$ , $C$ thẳng hàng và $D$ nằm ngoài đường thẳng đó. Bác làm vườn đặt một đường ống nước thẳng đi qua $A$ và $C$ . Ống nước có tự động chảy qua gốc cây tại $B$ không? Còn tại $D$ ?
Trên sơ đồ một khu vườn, người ta đánh dấu bốn vị trí trồng cây $A$, $B$, $C$, $D$. Biết $A$, $B$, $C$ thẳng hàng và $D$ nằm ngoài đường thẳng đó. Bác làm vườn đặt một đường ống nước thẳng đi qua $A$ và $C$. Ống nước có tự động chảy qua gốc cây tại $B$ không? Còn tại $D$?
2
Vì $A$ , $B$ , $C$ thẳng hàng nên $B$ thuộc đường thẳng qua $A$ và $C$ — tức $B \in$ đường ống, ống nước chảy qua đúng gốc cây tại $B$ . Vì $D$ nằm ngoài đường thẳng $AC$ nên $D \notin$ đường ống, ống nước không chảy qua gốc cây tại $D$ . Vậy ống nước qua $B$ nhưng không qua $D$ .
Vì $A$, $B$, $C$ thẳng hàng nên $B$ thuộc đường thẳng qua $A$ và $C$ — tức $B \in$ đường ống, ống nước chảy qua đúng gốc cây tại $B$. Vì $D$ nằm ngoài đường thẳng $AC$ nên $D \notin$ đường ống, ống nước không chảy qua gốc cây tại $D$. Vậy ống nước qua $B$ nhưng không qua $D$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn nghĩ ba điểm "gần nhau" hay "nhìn có vẻ thẳng" là thẳng hàng. Thẳng hàng chỉ đúng khi cả ba điểm cùng nằm trên một đường thẳng — phải kiểm tra bằng thước, không đoán bằng mắt. Một lỗi khác: viết tia $KO$ cho tia gốc $O$ qua $K$ — sai vì gốc luôn đọc trước.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Điểm là dấu chấm nhỏ, đặt tên bằng chữ in hoa. Đường thẳng qua hai điểm phân biệt là duy nhất, kéo dài vô hạn hai phía. Tia có gốc, kéo dài vô hạn một phía, gọi tên bằng gốc trước. Ba điểm thẳng hàng khi cùng thuộc một đường thẳng, và khi đó luôn có đúng một điểm nằm giữa hai điểm kia.

Cầu nối

Bài tiếp theo lấy ngay hai trong ba điểm thẳng hàng để dựng nên đoạn thẳng — phần bị chặn giữa hai đầu mút — và học cách đo độ dài của nó.