Bài học

Đoạn thẳng, độ dài đoạn thẳng và cộng độ dài đoạn thẳng

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em đo được độ dài một đoạn thẳng bằng thước, và — khi một điểm nằm giữa hai điểm còn lại trên cùng đường thẳng — tính đúng độ dài đoạn còn lại bằng hệ thức cộng đoạn thẳng.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài Chương 1 đã nhắc "điểm nằm giữa" khi ba điểm thẳng hàng. Bài này dùng lại đúng quan hệ đó, cùng đơn vị đo cm, mm em đã quen từ tiểu học.

Khởi động

Con đường từ nhà Minh đến trường dài 7 km. Một quán nước nằm đúng trên đường đi, cách nhà Minh 3 km. Từ quán đến trường còn lại bao nhiêu km — em có cần đo lại không, hay chỉ cần lấy tổng trừ đi phần đã biết?

Kiến thức trọng tâm

Đoạn thẳng $AB$ là phần đường thẳng bị giới hạn bởi hai điểm $A$ , $B$ , gồm hai điểm đó và mọi điểm nằm giữa chúng. Đoạn thẳng khác đường thẳng (không giới hạn) và khác tia (chỉ giới hạn một đầu) đúng ở việc bị chặn cả hai phía.

Đoạn thẳng $AB$ là phần đường thẳng bị giới hạn bởi hai điểm $A$, $B$, gồm hai điểm đó và mọi điểm nằm giữa chúng. Đoạn thẳng khác đường thẳng (không giới hạn) và khác tia (chỉ giới hạn một đầu) đúng ở việc bị chặn cả hai phía.

Đo độ dài đoạn thẳng bằng thước: đặt vạch số 0 trùng một đầu đoạn thẳng, đọc số vạch trùng đầu còn lại — số đọc được chính là độ dài.

Khi điểm $C$ nằm giữa $A$ và $B$ (trên đoạn $AB$ ), độ dài hai phần cộng lại bằng cả đoạn: $AC + CB = AB$ — gọi là hệ thức cộng đoạn thẳng. Hệ thức này chỉ đúng khi $C$ thật sự nằm giữa; nếu $C$ nằm ngoài đoạn $AB$ thì không được cộng như vậy. Ngược lại, nếu $A$ , $B$ , $C$ thẳng hàng và $AC + CB = AB$ thì chắc chắn $C$ nằm giữa $A$ , $B$ — dùng cách này để kiểm tra vị trí một điểm mà không cần nhìn hình.

Khi điểm $C$ nằm giữa $A$ và $B$ (trên đoạn $AB$), độ dài hai phần cộng lại bằng cả đoạn: $AC + CB = AB$ — gọi là hệ thức cộng đoạn thẳng. Hệ thức này chỉ đúng khi $C$ thật sự nằm giữa; nếu $C$ nằm ngoài đoạn $AB$ thì không được cộng như vậy. Ngược lại, nếu $A$, $B$, $C$ thẳng hàng và $AC + CB = AB$ thì chắc chắn $C$ nằm giữa $A$, $B$ — dùng cách này để kiểm tra vị trí một điểm mà không cần nhìn hình.

Lời giải có hình

Cộng độ dài đoạn thẳng khi một điểm nằm giữa

Bước 1

Cho đoạn thẳng $AB$ dài 7 cm (đo bằng thước).Cho đoạn thẳng $AB$ dài 7 cm (đo bằng thước).

Đơn vị đo phổ biến ở lớp 6 là xăng-ti-mét (cm) và mi-li-mét (mm), với $1$ cm $= 10$ mm. Khi đề bài cho hai đoạn ở hai đơn vị khác nhau, phải đổi về cùng một đơn vị trước khi cộng hay so sánh — cộng trực tiếp số đo mà quên đổi đơn vị là lỗi tính toán rất hay gặp, dù đã hiểu đúng hệ thức cộng đoạn thẳng.

Một thói quen tốt sau khi tính xong: kiểm tra chéo bằng cách đo trực tiếp cả đoạn $AB$ trên hình (nếu có), rồi so với kết quả $AC + CB$ vừa tính — hai số phải khớp nhau. Cách kiểm tra này giúp phát hiện ngay lỗi cộng sai hoặc lỗi đọc nhầm vạch thước.

Ví dụ minh họa

Ví dụ

Đo đoạn thẳng bằng thước

1
Đoạn thẳng $MN$ được đo bằng thước, vạch 0 trùng $M$ , đầu $N$ trùng vạch 5,5. Độ dài $MN$ bằng bao nhiêu?
Đoạn thẳng $MN$ được đo bằng thước, vạch 0 trùng $M$, đầu $N$ trùng vạch 5,5. Độ dài $MN$ bằng bao nhiêu?
2
Vạch 0 trùng $M$ nên số đọc tại $N$ chính là độ dài $MN$ . Vậy $MN = 5{,}5$ cm.
Vạch 0 trùng $M$ nên số đọc tại $N$ chính là độ dài $MN$. Vậy $MN = 5{,}5$ cm.

Ví dụ

Trạm xe buýt trên tuyến đường thẳng (dạng thi)

1
Trên đường thẳng, ba trạm xe buýt $P$ , $Q$ , $R$ theo thứ tự đó, $Q$ nằm giữa $P$ và $R$ . Biết $PQ = 4{,}2$ km và $QR = 3{,}8$ km. Hỏi quãng đường $PR$ dài bao nhiêu? Nếu một chuyến xe đi từ $P$ đến $R$ hết 24 phút với tốc độ không đổi, xe đi qua trạm $Q$ vào phút thứ mấy tính từ lúc xuất phát?
Trên đường thẳng, ba trạm xe buýt $P$, $Q$, $R$ theo thứ tự đó, $Q$ nằm giữa $P$ và $R$. Biết $PQ = 4{,}2$ km và $QR = 3{,}8$ km. Hỏi quãng đường $PR$ dài bao nhiêu? Nếu một chuyến xe đi từ $P$ đến $R$ hết 24 phút với tốc độ không đổi, xe đi qua trạm $Q$ vào phút thứ mấy tính từ lúc xuất phát?
2
Vì $Q$ nằm giữa $P$ và $R$ nên theo hệ thức cộng đoạn thẳng, $PQ + QR = PR$ (1). Thay số: $PR = 4{,}2 + 3{,}8 = 8$ (km). Xe đi 8 km hết 24 phút nên mỗi km hết $24 : 8 = 3$ phút. Quãng đường từ $P$ đến $Q$ dài 4,2 km nên thời gian đi qua $Q$ là $4{,}2 \times 3 = 12{,}6$ (phút). Vậy xe đi qua trạm $Q$ ở phút thứ 12,6 kể từ lúc xuất phát.
Vì $Q$ nằm giữa $P$ và $R$ nên theo hệ thức cộng đoạn thẳng, $PQ + QR = PR$ (1). Thay số: $PR = 4{,}2 + 3{,}8 = 8$ (km). Xe đi 8 km hết 24 phút nên mỗi km hết $24 : 8 = 3$ phút. Quãng đường từ $P$ đến $Q$ dài 4,2 km nên thời gian đi qua $Q$ là $4{,}2 \times 3 = 12{,}6$ (phút). Vậy xe đi qua trạm $Q$ ở phút thứ 12,6 kể từ lúc xuất phát.

Ví dụ

Kiểm tra một điểm có nằm giữa hay không

1
Ba điểm $H$ , $K$ , $L$ thẳng hàng với $HK = 5$ cm, $KL = 3$ cm, $HL = 9$ cm. Hỏi $K$ có nằm giữa $H$ và $L$ hay không?
Ba điểm $H$, $K$, $L$ thẳng hàng với $HK = 5$ cm, $KL = 3$ cm, $HL = 9$ cm. Hỏi $K$ có nằm giữa $H$ và $L$ hay không?
2
Nếu $K$ nằm giữa $H$ và $L$ thì phải có $HK + KL = HL$ . Ta có $HK + KL = 5 + 3 = 8$ (cm), trong khi $HL = 9$ cm. Vì $8 \ne 9$ nên $K$ KHÔNG nằm giữa $H$ và $L$ .
Nếu $K$ nằm giữa $H$ và $L$ thì phải có $HK + KL = HL$. Ta có $HK + KL = 5 + 3 = 8$ (cm), trong khi $HL = 9$ cm. Vì $8 \ne 9$ nên $K$ KHÔNG nằm giữa $H$ và $L$.

Ví dụ

Đổi đơn vị trước khi cộng (dạng thi)

1
Điểm $C$ nằm giữa $A$ và $B$ với $AC = 35$ mm và $CB = 4$ cm. Tính $AB$ theo đơn vị cm.
Điểm $C$ nằm giữa $A$ và $B$ với $AC = 35$ mm và $CB = 4$ cm. Tính $AB$ theo đơn vị cm.
2
Đổi $AC = 35$ mm $= 3{,}5$ cm để cùng đơn vị với $CB$ . Vì $C$ nằm giữa $A$ và $B$ nên $AB = AC + CB = 3{,}5 + 4 = 7{,}5$ (cm). Vậy $AB = 7{,}5$ cm.
Đổi $AC = 35$ mm $= 3{,}5$ cm để cùng đơn vị với $CB$. Vì $C$ nằm giữa $A$ và $B$ nên $AB = AC + CB = 3{,}5 + 4 = 7{,}5$ (cm). Vậy $AB = 7{,}5$ cm.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Một lỗi hay gặp: cộng độ dài dù $C$ không thật sự nằm giữa — nếu $C$ nằm ngoài đoạn $AB$ thì $AC + CB \ne AB$ . Trước khi cộng, luôn kiểm tra ba điểm có thẳng hàng và $C$ có thật sự ở giữa hay không.

Một lỗi hay gặp: cộng độ dài dù $C$ không thật sự nằm giữa — nếu $C$ nằm ngoài đoạn $AB$ thì $AC + CB \ne AB$. Trước khi cộng, luôn kiểm tra ba điểm có thẳng hàng và $C$ có thật sự ở giữa hay không.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Đoạn thẳng $AB$ là phần đường thẳng bị giới hạn bởi $A$ , $B$ . Đo bằng thước: vạch 0 trùng một đầu, đọc số ở đầu kia. Khi $C$ nằm giữa $A$ , $B$ : $AC + CB = AB$ .

Đoạn thẳng $AB$ là phần đường thẳng bị giới hạn bởi $A$, $B$. Đo bằng thước: vạch 0 trùng một đầu, đọc số ở đầu kia. Khi $C$ nằm giữa $A$, $B$: $AC + CB = AB$.

Cầu nối

Bài sau khai thác đúng vị trí đặc biệt: điểm nằm giữa hai đầu mút và cách đều hai đầu mút — đó là trung điểm.