Bài học

Trung điểm của đoạn thẳng

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nêu đúng định nghĩa trung điểm của một đoạn thẳng, tính được độ dài hai nửa khi biết trung điểm, và xác định được trung điểm của một đoạn thẳng cho trước bằng thước có chia khoảng.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước em đã học hệ thức cộng đoạn thẳng $AC + CB = AB$ khi $C$ nằm giữa $A$ , $B$ . Bài này xét đúng trường hợp đặc biệt: khi hai phần đó còn bằng nhau.

Bài trước em đã học hệ thức cộng đoạn thẳng $AC + CB = AB$ khi $C$ nằm giữa $A$, $B$. Bài này xét đúng trường hợp đặc biệt: khi hai phần đó còn bằng nhau.

Khởi động

Một sợi dây dài 8 cm, em muốn tìm đúng điểm chính giữa mà không cần đo — chỉ cần gấp dây sao cho hai đầu trùng nhau, nếp gấp chính là điểm cần tìm. Điểm đó gọi là gì trong Toán học, và có công thức nào tính ra vị trí đó mà không cần gấp dây?

Kiến thức trọng tâm

Điểm $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ khi thỏa đúng hai điều kiện: $M$ nằm giữa $A$ , $B$ , và $MA = MB$ . Thiếu một trong hai điều thì $M$ không phải trung điểm — chỉ nằm giữa mà không cách đều thì đó là một điểm nằm giữa bất kỳ, không phải trung điểm.

Điểm $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ khi thỏa đúng hai điều kiện: $M$ nằm giữa $A$, $B$, và $MA = MB$. Thiếu một trong hai điều thì $M$ không phải trung điểm — chỉ nằm giữa mà không cách đều thì đó là một điểm nằm giữa bất kỳ, không phải trung điểm.

Từ hai điều kiện trên suy ra công thức: $MA = MB = \dfrac{AB}{2}$ . Muốn xác định trung điểm bằng thước có chia khoảng, em đo $AB$ , tính nửa độ dài đó, rồi đặt điểm cách $A$ đúng nửa độ dài trên đoạn $AB$ . Nếu đoạn thẳng vẽ trên giấy, còn một cách khác: gấp giấy sao cho $A$ trùng $B$ , nếp gấp cắt đoạn $AB$ đúng tại trung điểm.

Từ hai điều kiện trên suy ra công thức: $MA = MB = \dfrac{AB}{2}$. Muốn xác định trung điểm bằng thước có chia khoảng, em đo $AB$, tính nửa độ dài đó, rồi đặt điểm cách $A$ đúng nửa độ dài trên đoạn $AB$. Nếu đoạn thẳng vẽ trên giấy, còn một cách khác: gấp giấy sao cho $A$ trùng $B$, nếp gấp cắt đoạn $AB$ đúng tại trung điểm.

Lời giải có hình

Trung điểm của đoạn thẳng

Bước 1

Cho đoạn thẳng $AB$ dài 8 cm.

Công thức trung điểm dùng được theo cả hai chiều: biết $AB$ thì tính được nửa $AM = MB = \dfrac{AB}{2}$ , và ngược lại biết một nửa $AM$ thì tính được cả đoạn $AB = 2 \times AM$ . Nhiều bài toán thực tế — chia đôi một sợi dây, tìm điểm cân bằng của một cái đòn bẩy, hay xác định tâm của một cây cầu treo — chính là ứng dụng của trung điểm.

Công thức trung điểm dùng được theo cả hai chiều: biết $AB$ thì tính được nửa $AM = MB = \dfrac{AB}{2}$, và ngược lại biết một nửa $AM$ thì tính được cả đoạn $AB = 2 \times AM$. Nhiều bài toán thực tế — chia đôi một sợi dây, tìm điểm cân bằng của một cái đòn bẩy, hay xác định tâm của một cây cầu treo — chính là ứng dụng của trung điểm.

Không phải điểm nào nằm giữa $A$ , $B$ cũng là trung điểm — chỉ khi hai phần chia ra đúng bằng nhau mới được gọi vậy. Một điểm chia đoạn $AB$ theo tỉ lệ khác, chẳng hạn $1:3$ , vẫn nằm giữa $A$ , $B$ nhưng không phải trung điểm, vì hai phần không bằng nhau.

Không phải điểm nào nằm giữa $A$, $B$ cũng là trung điểm — chỉ khi hai phần chia ra đúng bằng nhau mới được gọi vậy. Một điểm chia đoạn $AB$ theo tỉ lệ khác, chẳng hạn $1:3$, vẫn nằm giữa $A$, $B$ nhưng không phải trung điểm, vì hai phần không bằng nhau.

Khi đoạn thẳng được vẽ thật trên giấy, cách gấp đôi tờ giấy sao cho hai đầu mút trùng khít nhau cho ngay trung điểm mà không cần đo hay tính toán — nếp gấp hiện ra chính là vị trí cách đều hai đầu. Cách này hữu ích khi không có thước chia khoảng trong tay, nhưng chỉ áp dụng được với đoạn thẳng vẽ thật, không dùng được khi đoạn thẳng chỉ được mô tả bằng số liệu trong đề bài.

Ví dụ minh họa

Ví dụ

Tính hai nửa của đoạn thẳng qua trung điểm

1
Đoạn thẳng $AB = 8$ cm có trung điểm $M$ . Tính $AM$ và $MB$ .
Đoạn thẳng $AB = 8$ cm có trung điểm $M$. Tính $AM$ và $MB$.
2
Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $AM = MB = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$ (cm). Vậy $AM = MB = 4$ cm.
Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $AM = MB = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$ (cm). Vậy $AM = MB = 4$ cm.

Ví dụ

Cách đều nhưng chưa chắc là trung điểm

1
Bạn Hùng đo được $NA = 5$ cm, $NB = 5$ cm cho ba điểm $A$ , $N$ , $B$ , nhưng không nói ba điểm này có thẳng hàng hay không. $N$ có chắc chắn là trung điểm của $AB$ không?
Bạn Hùng đo được $NA = 5$ cm, $NB = 5$ cm cho ba điểm $A$, $N$, $B$, nhưng không nói ba điểm này có thẳng hàng hay không. $N$ có chắc chắn là trung điểm của $AB$ không?
2
Chưa chắc. $N$ cách đều $A$ , $B$ (vì $NA = NB = 5$ cm), nhưng nếu $A$ , $N$ , $B$ không thẳng hàng thì $N$ không nằm trên đoạn $AB$ , nên $N$ không thể là trung điểm dù cách đều. Phải kiểm tra thêm $A$ , $N$ , $B$ có thẳng hàng (và $N$ nằm giữa) hay không trước khi kết luận $N$ là trung điểm.
Chưa chắc. $N$ cách đều $A$, $B$ (vì $NA = NB = 5$ cm), nhưng nếu $A$, $N$, $B$ không thẳng hàng thì $N$ không nằm trên đoạn $AB$, nên $N$ không thể là trung điểm dù cách đều. Phải kiểm tra thêm $A$, $N$, $B$ có thẳng hàng (và $N$ nằm giữa) hay không trước khi kết luận $N$ là trung điểm.

Ví dụ

Hai lần cộng đoạn thẳng liên tiếp (dạng thi)

1
Đoạn thẳng $EF = 12$ cm có trung điểm $I$ . Điểm $K$ nằm giữa $E$ và $I$ sao cho $EK = 2$ cm. Tính độ dài $KF$ .
Đoạn thẳng $EF = 12$ cm có trung điểm $I$. Điểm $K$ nằm giữa $E$ và $I$ sao cho $EK = 2$ cm. Tính độ dài $KF$.
2
Vì $I$ là trung điểm $EF$ nên $EI = IF = \dfrac{EF}{2} = 6$ (cm) (1). Vì $K$ nằm giữa $E$ và $I$ với $EK = 2$ cm nên $KI = EI - EK = 6 - 2 = 4$ (cm) (2). Vì $K$ nằm giữa $E$ , $I$ và $I$ nằm giữa $E$ , $F$ , suy ra $K$ cũng nằm giữa $E$ và $F$ , nên theo hệ thức cộng đoạn thẳng, $KF = KI + IF$ . Từ (1) và (2): $KF = 4 + 6 = 10$ (cm). Vậy $KF = 10$ cm.
Vì $I$ là trung điểm $EF$ nên $EI = IF = \dfrac{EF}{2} = 6$ (cm) (1). Vì $K$ nằm giữa $E$ và $I$ với $EK = 2$ cm nên $KI = EI - EK = 6 - 2 = 4$ (cm) (2). Vì $K$ nằm giữa $E$, $I$ và $I$ nằm giữa $E$, $F$, suy ra $K$ cũng nằm giữa $E$ và $F$, nên theo hệ thức cộng đoạn thẳng, $KF = KI + IF$. Từ (1) và (2): $KF = 4 + 6 = 10$ (cm). Vậy $KF = 10$ cm.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Giống lỗi ở bài trước: chỉ cần thấy một điểm "ở khoảng giữa theo mắt nhìn" đã vội kết luận là trung điểm — phải kiểm tra đủ hai điều kiện. Một lỗi khác: quên kiểm tra $M$ có thật sự nằm giữa $A$ , $B$ trước khi kết luận.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Trung điểm $M$ của $AB$ phải vừa nằm giữa $A$ , $B$ , vừa cách đều hai đầu: $MA = MB = \dfrac{AB}{2}$ . Thiếu một trong hai điều kiện thì không phải trung điểm.

Trung điểm $M$ của $AB$ phải vừa nằm giữa $A$, $B$, vừa cách đều hai đầu: $MA = MB = \dfrac{AB}{2}$. Thiếu một trong hai điều kiện thì không phải trung điểm.

Cầu nối

Chương tiếp theo chuyển sang một hình mới được tạo từ hai tia chung gốc: góc. Đỉnh và cạnh của góc lại chính là điểm và tia em vừa học.