Bài học

Nhân hai số nguyên

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhân đúng hai số nguyên theo quy tắc dấu, và áp dụng được tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối của phép nhân số nguyên.

Kiến thức nền cần nhớ

Em đã biết phép nhân số tự nhiên cùng các tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối từ Course 1. Bài này mở rộng đúng phép nhân đó sang cả những thừa số mang dấu âm.

Khởi động

Một khoản nợ 4 nghìn đồng phát sinh đều mỗi tháng. Sau 3 tháng liền, tổng số tiền nợ là bao nhiêu? Em có thể cộng ba lần $(-4) + (-4) + (-4)$ , nhưng viết gọn bằng phép nhân thì viết thế nào — và kết quả mang dấu gì?

Một khoản nợ 4 nghìn đồng phát sinh đều mỗi tháng. Sau 3 tháng liền, tổng số tiền nợ là bao nhiêu? Em có thể cộng ba lần $(-4) + (-4) + (-4)$, nhưng viết gọn bằng phép nhân thì viết thế nào — và kết quả mang dấu gì?

Kiến thức trọng tâm

Quy tắc dấu khi nhân hai số nguyên: hai số CÙNG dấu (cùng dương hoặc cùng âm) cho tích DƯƠNG; hai số KHÁC dấu cho tích ÂM. Giá trị của tích luôn bằng tích hai giá trị tuyệt đối của chúng.

Áp dụng cho khởi động: $(-4) \times 3$ chính là cộng ba lần $(-4)$ — một thừa số âm, một thừa số dương, nên khác dấu, tích âm: $(-4) \times 3 = -12$ , đúng bằng tổng nợ ba tháng tính bằng phép cộng ở trên.

Áp dụng cho khởi động: $(-4) \times 3$ chính là cộng ba lần $(-4)$ — một thừa số âm, một thừa số dương, nên khác dấu, tích âm: $(-4) \times 3 = -12$, đúng bằng tổng nợ ba tháng tính bằng phép cộng ở trên.

Mọi số nhân với 0 đều bằng 0: $a \times 0 = 0$ . Trường hợp hai số nguyên ÂM nhân với nhau cho tích DƯƠNG thường khiến nhiều bạn ngạc nhiên hơn cả — cần ghi nhớ kỹ, vì đây là trường hợp dễ nhầm nhất trong cả bài.

Mọi số nhân với 0 đều bằng 0: $a \times 0 = 0$. Trường hợp hai số nguyên ÂM nhân với nhau cho tích DƯƠNG thường khiến nhiều bạn ngạc nhiên hơn cả — cần ghi nhớ kỹ, vì đây là trường hợp dễ nhầm nhất trong cả bài.

Các tính chất của phép nhân số nguyên giữ nguyên như phép nhân số tự nhiên: giao hoán $a \times b = b \times a$ , kết hợp $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$ , phân phối với phép cộng $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$ . Các tính chất này giúp tính nhanh khi biểu thức có nhiều thừa số.

Các tính chất của phép nhân số nguyên giữ nguyên như phép nhân số tự nhiên: giao hoán $a \times b = b \times a$, kết hợp $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$, phân phối với phép cộng $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$. Các tính chất này giúp tính nhanh khi biểu thức có nhiều thừa số.

Vì sao "dương nhân âm" lại ra âm? Quan sát một quy luật khi giữ nguyên thừa số 3 và giảm dần thừa số còn lại từng đơn vị một: $3 \times 3 = 9$ , $3 \times 2 = 6$ , $3 \times 1 = 3$ , $3 \times 0 = 0$ — mỗi lần thừa số thứ hai giảm 1 đơn vị, tích lại giảm đúng 3 đơn vị. Nếu quy luật "giảm đều 3 đơn vị" này tiếp tục đúng khi thừa số thứ hai đi vào vùng âm, thì $3 \times (-1)$ phải bằng $0 - 3 = -3$ , và $3 \times (-2) = -3 - 3 = -6$ . Đây chính xác là quy tắc "khác dấu cho tích âm" mà em vừa học — không phải một quy ước áp đặt, mà là cách DUY NHẤT giữ cho quy luật cộng dồn của phép nhân tiếp tục đúng khi mở rộng sang số âm.

Vì sao "dương nhân âm" lại ra âm? Quan sát một quy luật khi giữ nguyên thừa số 3 và giảm dần thừa số còn lại từng đơn vị một: $3 \times 3 = 9$, $3 \times 2 = 6$, $3 \times 1 = 3$, $3 \times 0 = 0$ — mỗi lần thừa số thứ hai giảm 1 đơn vị, tích lại giảm đúng 3 đơn vị. Nếu quy luật "giảm đều 3 đơn vị" này tiếp tục đúng khi thừa số thứ hai đi vào vùng âm, thì $3 \times (-1)$ phải bằng $0 - 3 = -3$, và $3 \times (-2) = -3 - 3 = -6$. Đây chính xác là quy tắc "khác dấu cho tích âm" mà em vừa học — không phải một quy ước áp đặt, mà là cách DUY NHẤT giữ cho quy luật cộng dồn của phép nhân tiếp tục đúng khi mở rộng sang số âm.

Vậy còn "âm nhân âm"? Lặp lại cách suy luận trên, lần này giữ nguyên thừa số $-3$ và giảm dần thừa số còn lại: $(-3) \times 2 = -6$ , $(-3) \times 1 = -3$ , $(-3) \times 0 = 0$ — mỗi lần thừa số thứ hai giảm 1 đơn vị, tích lại TĂNG đúng 3 đơn vị (từ $-6$ lên $-3$ lên $0$ ). Nếu quy luật "tăng đều 3 đơn vị" tiếp tục đúng, thì $(-3) \times (-1)$ phải bằng $0 + 3 = 3$ — một số DƯƠNG. Đây là lí do toán học thật sự đằng sau quy tắc "cùng dấu cho tích dương", không chỉ là điều phải học thuộc lòng.

Vậy còn "âm nhân âm"? Lặp lại cách suy luận trên, lần này giữ nguyên thừa số $-3$ và giảm dần thừa số còn lại: $(-3) \times 2 = -6$, $(-3) \times 1 = -3$, $(-3) \times 0 = 0$ — mỗi lần thừa số thứ hai giảm 1 đơn vị, tích lại TĂNG đúng 3 đơn vị (từ $-6$ lên $-3$ lên $0$). Nếu quy luật "tăng đều 3 đơn vị" tiếp tục đúng, thì $(-3) \times (-1)$ phải bằng $0 + 3 = 3$ — một số DƯƠNG. Đây là lí do toán học thật sự đằng sau quy tắc "cùng dấu cho tích dương", không chỉ là điều phải học thuộc lòng.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Nhân hai số nguyên khác dấu

1
Tính $(-6) \times 4$ .
Tính $(-6) \times 4$.
2
Hai thừa số khác dấu ( $-6$ âm, $4$ dương) nên tích âm. Nhân hai giá trị tuyệt đối: $6 \times 4 = 24$ .
Hai thừa số khác dấu ($-6$ âm, $4$ dương) nên tích âm. Nhân hai giá trị tuyệt đối: $6 \times 4 = 24$.
3
Vậy $(-6) \times 4 = -24$ .
Vậy $(-6) \times 4 = -24$.

Ví dụ

Nhân hai số nguyên cùng dấu âm

1
Tính $(-9) \times (-3)$ .
Tính $(-9) \times (-3)$.
2
Hai thừa số cùng dấu âm nên tích dương. Nhân hai giá trị tuyệt đối: $9 \times 3 = 27$ .
Hai thừa số cùng dấu âm nên tích dương. Nhân hai giá trị tuyệt đối: $9 \times 3 = 27$.
3
Vậy $(-9) \times (-3) = 27$ .
Vậy $(-9) \times (-3) = 27$.

Ví dụ

Tính tổng nợ nhiều tháng bằng phép nhân (dạng thi)

1
Một khoản nợ 4 nghìn đồng phát sinh đều mỗi tháng, liên tục trong 3 tháng. Viết phép tính và tìm tổng số tiền nợ.
2
Mỗi tháng nợ thêm $-4$ (nghìn đồng), lặp lại 3 lần: $(-4) \times 3$ .
Mỗi tháng nợ thêm $-4$ (nghìn đồng), lặp lại 3 lần: $(-4) \times 3$.
3
Khác dấu nên tích âm; $4 \times 3 = 12$ .
Khác dấu nên tích âm; $4 \times 3 = 12$.
4
Vậy tổng số tiền nợ sau 3 tháng là $-12$ nghìn đồng, tức nợ 12 nghìn đồng.
Vậy tổng số tiền nợ sau 3 tháng là $-12$ nghìn đồng, tức nợ 12 nghìn đồng.

Ví dụ

Xác định nhanh dấu của một tích nhiều thừa số (dạng thi)

1
Xác định dấu, rồi tính giá trị của $(-2) \times (-3) \times (-1) \times 5$ .
Xác định dấu, rồi tính giá trị của $(-2) \times (-3) \times (-1) \times 5$.
2
Có ba thừa số âm ( $-2, -3, -1$ ) — một số LẺ thừa số âm, nên tích mang dấu âm (mỗi cặp thừa số âm nhân với nhau triệt tiêu dấu âm, còn dư đúng một thừa số âm).
Có ba thừa số âm ($-2, -3, -1$) — một số LẺ thừa số âm, nên tích mang dấu âm (mỗi cặp thừa số âm nhân với nhau triệt tiêu dấu âm, còn dư đúng một thừa số âm).
3
$2 \times 3 \times 1 \times 5 = 30$ .
$2 \times 3 \times 1 \times 5 = 30$.
4
Vậy $(-2) \times (-3) \times (-1) \times 5 = -30$ .
Vậy $(-2) \times (-3) \times (-1) \times 5 = -30$.

Ví dụ

Kiểm chứng quy tắc dấu bằng quy luật cộng dồn

1
Dùng quy luật "mỗi lần thừa số thứ hai giảm 1 đơn vị, tích thay đổi đều đặn" để tính $4 \times (-3)$ , xuất phát từ $4 \times 0 = 0$ .
Dùng quy luật "mỗi lần thừa số thứ hai giảm 1 đơn vị, tích thay đổi đều đặn" để tính $4 \times (-3)$, xuất phát từ $4 \times 0 = 0$.
2
Với thừa số đầu là 4: $4 \times 2 = 8$ , $4 \times 1 = 4$ , $4 \times 0 = 0$ — mỗi lần thừa số thứ hai giảm 1, tích giảm đúng 4 đơn vị.
Với thừa số đầu là 4: $4 \times 2 = 8$, $4 \times 1 = 4$, $4 \times 0 = 0$ — mỗi lần thừa số thứ hai giảm 1, tích giảm đúng 4 đơn vị.
3
Từ $4 \times 0 = 0$ , giảm thừa số thứ hai xuống $-1$ : tích giảm thêm 4, còn $0 - 4 = -4$ (1). Giảm tiếp xuống $-2$ : tích giảm thêm 4 nữa, còn $-4 - 4 = -8$ (2). Giảm tiếp xuống $-3$ : tích giảm thêm 4, còn $-8 - 4 = -12$ .
Từ $4 \times 0 = 0$, giảm thừa số thứ hai xuống $-1$: tích giảm thêm 4, còn $0 - 4 = -4$ (1). Giảm tiếp xuống $-2$: tích giảm thêm 4 nữa, còn $-4 - 4 = -8$ (2). Giảm tiếp xuống $-3$: tích giảm thêm 4, còn $-8 - 4 = -12$.
4
Kiểm tra bằng quy tắc dấu: $4$ và $-3$ khác dấu nên tích âm; $4 \times 3 = 12$ , khớp đúng kết quả $-12$ vừa tìm được bằng quy luật cộng dồn.
Kiểm tra bằng quy tắc dấu: $4$ và $-3$ khác dấu nên tích âm; $4 \times 3 = 12$, khớp đúng kết quả $-12$ vừa tìm được bằng quy luật cộng dồn.
5
Vậy $4 \times (-3) = -12$ , đúng như quy tắc dấu đã học.
Vậy $4 \times (-3) = -12$, đúng như quy tắc dấu đã học.

Ví dụ

Nhân với

-1

để tìm số đối (dạng thi)

1
Bạn Khuê đang nợ 40 nghìn đồng. Nếu khoản nợ này được xoá hoàn toàn, số tiền tương ứng đổi dấu — biểu diễn việc xoá nợ bằng phép nhân khoản nợ với $-1$ , rồi tính kết quả.
Bạn Khuê đang nợ 40 nghìn đồng. Nếu khoản nợ này được xoá hoàn toàn, số tiền tương ứng đổi dấu — biểu diễn việc xoá nợ bằng phép nhân khoản nợ với $-1$, rồi tính kết quả.
2
Khoản nợ của Khuê là $-40$ (nghìn đồng).
Khoản nợ của Khuê là $-40$ (nghìn đồng).
3
$(-40) \times (-1)$ : hai thừa số cùng dấu âm nên tích dương; $40 \times 1 = 40$ .
$(-40) \times (-1)$: hai thừa số cùng dấu âm nên tích dương; $40 \times 1 = 40$.
4
Vậy $(-40) \times (-1) = 40$ — đúng bằng số đối của $-40$ , xác nhận tính chất $(-1) \times a = -a$ với $a = -40$ .
Vậy $(-40) \times (-1) = 40$ — đúng bằng số đối của $-40$, xác nhận tính chất $(-1) \times a = -a$ với $a = -40$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn lẫn quy tắc dấu của phép NHÂN với phép CỘNG, tưởng "âm nhân âm ra âm" giống như "âm cộng âm ra âm". Hai phép tính có quy tắc dấu khác hẳn nhau: cộng cùng dấu giữ nguyên dấu đó, còn NHÂN cùng dấu (kể cả cùng âm) luôn cho kết quả DƯƠNG.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Nhân số nguyên: cùng dấu — tích dương; khác dấu — tích âm; giá trị tích luôn bằng tích hai giá trị tuyệt đối. $a \times 0 = 0$ . Phép nhân số nguyên vẫn giao hoán, kết hợp, phân phối như phép nhân số tự nhiên.

Nhân số nguyên: cùng dấu — tích dương; khác dấu — tích âm; giá trị tích luôn bằng tích hai giá trị tuyệt đối. $a \times 0 = 0$. Phép nhân số nguyên vẫn giao hoán, kết hợp, phân phối như phép nhân số tự nhiên.

Nhân xong, bài cuối chương học phép CHIA số nguyên — quy tắc dấu giống hệt phép nhân — rồi ghép cả bốn phép tính vào một biểu thức theo đúng thứ tự ưu tiên.