Bài học

Ôn tập tổng hợp số nguyên

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải được các bài toán tổng hợp phối hợp so sánh, bốn phép tính và ứng dụng thực tế của số nguyên, đúng cấu trúc một đề kiểm tra.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài ôn tập này không dạy nội dung mới — nó xâu chuỗi lại toàn bộ năm chương vừa học: số đối và giá trị tuyệt đối, so sánh số nguyên, cộng và trừ (kèm quy tắc dấu ngoặc), nhân và chia (kèm thứ tự thực hiện phép tính), và ứng dụng vào nhiệt độ, độ cao, tài khoản.

Khởi động

Từ chỗ chỉ biết đếm $0, 1, 2, \dots$ , giờ em đã có cả một tập hợp số ngược chiều nhau, đủ để biểu diễn nợ, độ sâu và nhiệt độ dưới 0. Bài ôn tập này không thêm gì mới — chỉ đưa em qua vài bài toán cỡ đề kiểm tra, nơi mọi kỹ năng phải phối hợp cùng lúc.

Từ chỗ chỉ biết đếm $0, 1, 2, \dots$, giờ em đã có cả một tập hợp số ngược chiều nhau, đủ để biểu diễn nợ, độ sâu và nhiệt độ dưới 0. Bài ôn tập này không thêm gì mới — chỉ đưa em qua vài bài toán cỡ đề kiểm tra, nơi mọi kỹ năng phải phối hợp cùng lúc.

Hệ thống lại kiến thức

Số đối và giá trị tuyệt đối: số đối của $a$ là $-a$ (đối xứng qua 0); giá trị tuyệt đối $|a|$ là khoảng cách đến 0, luôn không âm.

So sánh số nguyên: số âm luôn nhỏ hơn số không âm; cùng dương so như số tự nhiên; cùng âm thì giá trị tuyệt đối lớn hơn ứng với số nhỏ hơn.

Cộng, trừ số nguyên: cùng dấu cộng giá trị tuyệt đối giữ dấu chung, khác dấu trừ giá trị tuyệt đối lớn cho nhỏ rồi lấy dấu số lớn hơn; phép trừ luôn đưa về $a - b = a + (-b)$ ; quy tắc dấu ngoặc đổi dấu mọi số hạng khi trước ngoặc là dấu "−".

Cộng, trừ số nguyên: cùng dấu cộng giá trị tuyệt đối giữ dấu chung, khác dấu trừ giá trị tuyệt đối lớn cho nhỏ rồi lấy dấu số lớn hơn; phép trừ luôn đưa về $a - b = a + (-b)$; quy tắc dấu ngoặc đổi dấu mọi số hạng khi trước ngoặc là dấu "−".

Nhân, chia số nguyên: cùng dấu cho kết quả dương, khác dấu cho kết quả âm; thứ tự thực hiện biểu thức luôn là ngoặc trước, rồi nhân chia, sau cùng cộng trừ.

Khi làm một đề kiểm tra có nhiều bài số nguyên, hãy dành vài giây gạch chân từ khoá quyết định dấu: "tăng", "nộp vào", "cao hơn" luôn ứng với số dương; "giảm", "rút ra", "sâu hơn", "nợ" luôn ứng với số âm. Thói quen nhỏ này giúp tránh nhầm dấu ngay từ bước đầu tiên — bước dễ sai nhất trong một bài toán số nguyên thường không phải là tính toán, mà là ĐỔI ĐÚNG tình huống thành số nguyên trước khi bắt đầu tính.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Sắp xếp và tính tổng số nhỏ nhất, lớn nhất

1
Sắp xếp các số nguyên $-15, 8, -3, 0, 12$ theo thứ tự tăng dần, rồi tính tổng của số nhỏ nhất và số lớn nhất trong dãy.
Sắp xếp các số nguyên $-15, 8, -3, 0, 12$ theo thứ tự tăng dần, rồi tính tổng của số nhỏ nhất và số lớn nhất trong dãy.
2
Nhóm âm $-15, -3$ : $|-15|=15 > |-3|=3$ nên $-15 < -3$ . Ghép với nhóm không âm $0, 8, 12$ : thứ tự tăng dần là $-15, -3, 0, 8, 12$ .
Nhóm âm $-15, -3$: $|-15|=15 > |-3|=3$ nên $-15 < -3$. Ghép với nhóm không âm $0, 8, 12$: thứ tự tăng dần là $-15, -3, 0, 8, 12$.
3
Số nhỏ nhất là $-15$ , số lớn nhất là $12$ : $(-15) + 12$ . Khác dấu, $|-15|=15>12$ , hiệu $15-12=3$ , mang dấu âm.
Số nhỏ nhất là $-15$, số lớn nhất là $12$: $(-15) + 12$. Khác dấu, $|-15|=15>12$, hiệu $15-12=3$, mang dấu âm.
4
Vậy thứ tự tăng dần là $-15, -3, 0, 8, 12$ , và tổng số nhỏ nhất với số lớn nhất là $-3$ .
Vậy thứ tự tăng dần là $-15, -3, 0, 8, 12$, và tổng số nhỏ nhất với số lớn nhất là $-3$.

Ví dụ

Phối hợp trừ và dấu ngoặc

1
Tính $-18 - (-25) + (-7)$ .
Tính $-18 - (-25) + (-7)$.
2
$-18 - (-25) = -18 + 25 = 7$ (1) — dấu "−" trước một số âm tương đương cộng số dương cùng giá trị tuyệt đối.
$-18 - (-25) = -18 + 25 = 7$ (1) — dấu "−" trước một số âm tương đương cộng số dương cùng giá trị tuyệt đối.
3
$7 + (-7) = 0$ (theo tính chất $a + (-a) = 0$ ).
$7 + (-7) = 0$ (theo tính chất $a + (-a) = 0$).
4
Vậy $-18 - (-25) + (-7) = 0$ .
Vậy $-18 - (-25) + (-7) = 0$.

Ví dụ

Tính lãi/lỗ qua nhiều ngày bằng nhân và cộng (dạng thi)

1
Một xưởng may lỗ đều $45$ nghìn đồng mỗi ngày trong 8 ngày liên tiếp, sau đó lãi $600$ nghìn đồng ở ngày thứ 9. Hỏi sau 9 ngày, xưởng lãi hay lỗ, và bao nhiêu?
Một xưởng may lỗ đều $45$ nghìn đồng mỗi ngày trong 8 ngày liên tiếp, sau đó lãi $600$ nghìn đồng ở ngày thứ 9. Hỏi sau 9 ngày, xưởng lãi hay lỗ, và bao nhiêu?
2
Mỗi ngày lỗ $-45$ , lặp lại 8 lần: $(-45) \times 8 = -360$ (khác dấu, tích âm; $45 \times 8 = 360$ ) (1).
Mỗi ngày lỗ $-45$, lặp lại 8 lần: $(-45) \times 8 = -360$ (khác dấu, tích âm; $45 \times 8 = 360$) (1).
3
Kết quả (1) cộng với $600$ : $(-360) + 600 = 240$ (khác dấu, $|600|=600>360$ , hiệu $600-360=240$ , mang dấu dương).
Kết quả (1) cộng với $600$: $(-360) + 600 = 240$ (khác dấu, $|600|=600>360$, hiệu $600-360=240$, mang dấu dương).
4
Vậy sau 9 ngày, xưởng LÃI $240$ nghìn đồng.

Ví dụ

So sánh nhiệt độ hai thành phố qua nhiều lần thay đổi (dạng thi)

1
Nhiệt độ hai thành phố A và B lúc 0 giờ đều là $0$ °C. Đến 6 giờ, A tăng $4$ °C rồi giảm $9$ °C; B giảm $3$ °C rồi tăng $1$ °C. Thành phố nào lạnh hơn lúc 6 giờ, và chênh lệch bao nhiêu?
Nhiệt độ hai thành phố A và B lúc 0 giờ đều là $0$°C. Đến 6 giờ, A tăng $4$°C rồi giảm $9$°C; B giảm $3$°C rồi tăng $1$°C. Thành phố nào lạnh hơn lúc 6 giờ, và chênh lệch bao nhiêu?
2
$0 + 4 - 9$ : $0+4=4$ (1); $4-9=-5$ (2). Vậy A đang ở $-5$ °C.
$0 + 4 - 9$: $0+4=4$ (1); $4-9=-5$ (2). Vậy A đang ở $-5$°C.
3
$0 - 3 + 1$ : $0-3=-3$ (3); $-3+1=-2$ (4). Vậy B đang ở $-2$ °C.
$0 - 3 + 1$: $0-3=-3$ (3); $-3+1=-2$ (4). Vậy B đang ở $-2$°C.
4
$|-5|=5 > |-2|=2$ nên $-5 < -2$ , tức A lạnh hơn B. Chênh lệch: $-2 - (-5) = -2+5=3$ °C.
$|-5|=5 > |-2|=2$ nên $-5 < -2$, tức A lạnh hơn B. Chênh lệch: $-2 - (-5) = -2+5=3$°C.
5
Vậy thành phố A lạnh hơn thành phố B, và chênh lệch nhiệt độ giữa hai nơi là $3$ °C.
Vậy thành phố A lạnh hơn thành phố B, và chênh lệch nhiệt độ giữa hai nơi là $3$°C.

Ví dụ

Tính điểm hai đội và so sánh (dạng thi)

1
Hai đội chơi kéo co ghi điểm bằng số nguyên qua ba lượt. Đội Xanh: lượt 1 được $-3$ , lượt 2 được $5$ , lượt 3 được $-2$ điểm. Đội Đỏ: lượt 1 được $-1$ , lượt 2 được $-1$ , lượt 3 được $4$ điểm. Đội nào có tổng điểm cao hơn?
Hai đội chơi kéo co ghi điểm bằng số nguyên qua ba lượt. Đội Xanh: lượt 1 được $-3$, lượt 2 được $5$, lượt 3 được $-2$ điểm. Đội Đỏ: lượt 1 được $-1$, lượt 2 được $-1$, lượt 3 được $4$ điểm. Đội nào có tổng điểm cao hơn?
2
$(-3) + 5 + (-2)$ : $(-3)+5=2$ (khác dấu, hiệu $5-3=2$ ) (1); $2 + (-2) = 0$ (số đối, tổng bằng 0) (2).
$(-3) + 5 + (-2)$: $(-3)+5=2$ (khác dấu, hiệu $5-3=2$) (1); $2 + (-2) = 0$ (số đối, tổng bằng 0) (2).
3
$(-1) + (-1) + 4$ : $(-1)+(-1)=-2$ (cùng dấu âm, cộng $1+1=2$ ) (3); $-2 + 4 = 2$ (khác dấu, hiệu $4-2=2$ ) (4).
$(-1) + (-1) + 4$: $(-1)+(-1)=-2$ (cùng dấu âm, cộng $1+1=2$) (3); $-2 + 4 = 2$ (khác dấu, hiệu $4-2=2$) (4).
4
Đội Xanh tổng $0$ , đội Đỏ tổng $2$ . Vì $0 < 2$ nên đội Đỏ có tổng điểm cao hơn.
Đội Xanh tổng $0$, đội Đỏ tổng $2$. Vì $0 < 2$ nên đội Đỏ có tổng điểm cao hơn.
5
Vậy đội Đỏ thắng với tổng điểm $2$ , đội Xanh có tổng điểm $0$ .
Vậy đội Đỏ thắng với tổng điểm $2$, đội Xanh có tổng điểm $0$.

Ví dụ

Bài toán tổng hợp: độ cao, phép nhân và so sánh (dạng thi)

1
Một thang máy xuất phát từ tầng trệt (tầng 0), mỗi lần xuống một tầng hầm ứng với $-1$ . Thang máy xuống liên tiếp 4 tầng hầm, biểu diễn bằng phép nhân, rồi so sánh vị trí đó với tầng hầm B2 (ứng với $-2$ ).
Một thang máy xuất phát từ tầng trệt (tầng 0), mỗi lần xuống một tầng hầm ứng với $-1$. Thang máy xuống liên tiếp 4 tầng hầm, biểu diễn bằng phép nhân, rồi so sánh vị trí đó với tầng hầm B2 (ứng với $-2$).
2
Xuống 1 tầng hầm ứng với $-1$ ; xuống liên tiếp 4 tầng: $(-1) \times 4$ .
Xuống 1 tầng hầm ứng với $-1$; xuống liên tiếp 4 tầng: $(-1) \times 4$.
3
Khác dấu nên tích âm; $1 \times 4 = 4$ . Vậy thang máy đang ở tầng $-4$ (1).
Khác dấu nên tích âm; $1 \times 4 = 4$. Vậy thang máy đang ở tầng $-4$ (1).
4
So sánh $-4$ và $-2$ : $|-4|=4 > |-2|=2$ , nên $-4 < -2$ — thang máy đang ở tầng THẤP hơn tầng B2.
So sánh $-4$ và $-2$: $|-4|=4 > |-2|=2$, nên $-4 < -2$ — thang máy đang ở tầng THẤP hơn tầng B2.
5
Vậy sau khi xuống liên tiếp 4 tầng hầm, thang máy ở tầng $-4$ , thấp hơn tầng hầm B2 ( $-2$ ).
Vậy sau khi xuống liên tiếp 4 tầng hầm, thang máy ở tầng $-4$, thấp hơn tầng hầm B2 ($-2$).

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Ba bẫy hay gặp nhất trong đề kiểm tra: cộng khác dấu mà quên trừ giá trị tuyệt đối (cộng thẳng hai số); bỏ ngoặc có dấu "−" trước mà quên đổi dấu HẾT các số hạng bên trong; và tính biểu thức phối hợp theo thứ tự trái-sang-phải mà quên nhân chia phải làm trước cộng trừ.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Một bài toán số nguyên tổng hợp luôn theo bốn bước: đổi tình huống thành số nguyên đúng quy ước, chọn đúng quy tắc so sánh hoặc phép tính, tính theo đúng thứ tự ưu tiên, rồi đối chiếu kết quả với thực tế trước khi kết luận.

Số nguyên khép lại ở đây. Khoá tiếp theo mở rộng phép chia sang những thương không còn là số nguyên — tập hợp số hữu tỉ viết dưới dạng phân số, nơi hầu hết phép chia (trừ chia cho 0) đều có kết quả.