Bài học

Căn bậc hai số học của một số không âm

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu được định nghĩa căn bậc hai số học của một số không âm, tính được căn bậc hai số học của các số chính phương quen thuộc và của một vài phân số, số thập phân đơn giản.

Kiến thức nền cần nhớ

Em đã biết bình phương một số từ lớp 6: $4^2 = 16$ , $(1,2)^2 = 1,44$ , $\left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$ . Bài này làm ngược lại: cho biết kết quả bình phương, tìm số ban đầu.

Em đã biết bình phương một số từ lớp 6: $4^2 = 16$, $(1,2)^2 = 1,44$, $\left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$. Bài này làm ngược lại: cho biết kết quả bình phương, tìm số ban đầu.

Khởi động

Một mảnh vườn hình vuông có diện tích $16\,m^2$ . Cạnh của mảnh vườn dài bao nhiêu mét? Em có thể đoán ngay bằng cách nhớ lại $4^2 = 16$ — nhưng nếu diện tích là $1,44\,m^2$ hay $\frac{9}{25}\,m^2$ thì sao?

Một mảnh vườn hình vuông có diện tích $16\,m^2$. Cạnh của mảnh vườn dài bao nhiêu mét? Em có thể đoán ngay bằng cách nhớ lại $4^2 = 16$ — nhưng nếu diện tích là $1,44\,m^2$ hay $\frac{9}{25}\,m^2$ thì sao?

Kiến thức trọng tâm

Với số thực $a \geq 0$ , căn bậc hai số học của $a$ , kí hiệu $\sqrt{a}$ , là số KHÔNG ÂM $x$ sao cho $x^2 = a$ . Vì mảnh vườn diện tích $16\,m^2$ có cạnh $4$ mét và $4^2 = 16$ , ta viết $\sqrt{16} = 4$ . Riêng $\sqrt{0} = 0$ .

Với số thực $a \geq 0$, căn bậc hai số học của $a$, kí hiệu $\sqrt{a}$, là số KHÔNG ÂM $x$ sao cho $x^2 = a$. Vì mảnh vườn diện tích $16\,m^2$ có cạnh $4$ mét và $4^2 = 16$, ta viết $\sqrt{16} = 4$. Riêng $\sqrt{0} = 0$.

Chú ý một điểm dễ nhầm: với $a > 0$ , có HAI số mà bình phương bằng $a$ , đó là $\sqrt{a}$ và $-\sqrt{a}$ — hai số này đối nhau, gọi chung là "hai căn bậc hai" của $a$ . Nhưng kí hiệu $\sqrt{a}$ (không có dấu trừ đứng trước) chỉ dùng riêng cho căn bậc hai SỐ HỌC — tức số không âm trong hai số đó. Vậy $\sqrt{16} = 4$ chứ không phải $\pm 4$ ; còn $-\sqrt{16} = -4$ mới là số đối của nó.

Chú ý một điểm dễ nhầm: với $a > 0$, có HAI số mà bình phương bằng $a$, đó là $\sqrt{a}$ và $-\sqrt{a}$ — hai số này đối nhau, gọi chung là "hai căn bậc hai" của $a$. Nhưng kí hiệu $\sqrt{a}$ (không có dấu trừ đứng trước) chỉ dùng riêng cho căn bậc hai SỐ HỌC — tức số không âm trong hai số đó. Vậy $\sqrt{16} = 4$ chứ không phải $\pm 4$; còn $-\sqrt{16} = -4$ mới là số đối của nó.

Vì bình phương của bất kỳ số thực nào cũng không âm, không có số thực nào bình phương ra một số âm. Do đó $\sqrt{a}$ chỉ được định nghĩa khi $a \geq 0$ ; với $a < 0$ , $\sqrt{a}$ không tồn tại trong phạm vi số thực.

Vì bình phương của bất kỳ số thực nào cũng không âm, không có số thực nào bình phương ra một số âm. Do đó $\sqrt{a}$ chỉ được định nghĩa khi $a \geq 0$; với $a < 0$, $\sqrt{a}$ không tồn tại trong phạm vi số thực.

Nói cách khác, phép khai căn bậc hai số học là phép tính NGƯỢC của phép bình phương, nhưng chỉ ngược một chiều: bình phương biến mọi số (dương lẫn âm) thành một số không âm, còn căn bậc hai số học chỉ trả về đúng một trong hai số ban đầu — số không âm. Đây là lý do căn bậc hai số học luôn cho một kết quả duy nhất, không mập mờ.

Định nghĩa áp dụng được cho cả phân số và số thập phân, miễn tìm được đúng số không âm mà bình phương ra $a$ : $\sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ vì $\left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$ ; $\sqrt{0,25} = 0,5$ vì $(0,5)^2 = 0,25$ . Các số chính phương quen thuộc cần nhớ (bình phương của $1$ đến $12$ ) là $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144$ — nhận ra ngay các số này giúp tính căn bậc hai nhanh mà không cần tính toán dài dòng.

Định nghĩa áp dụng được cho cả phân số và số thập phân, miễn tìm được đúng số không âm mà bình phương ra $a$: $\sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ vì $\left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$; $\sqrt{0,25} = 0,5$ vì $(0,5)^2 = 0,25$. Các số chính phương quen thuộc cần nhớ (bình phương của $1$ đến $12$) là $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144$ — nhận ra ngay các số này giúp tính căn bậc hai nhanh mà không cần tính toán dài dòng.

Hình vuông diện tích 16 có cạnh 4, vì

4^2 = 16

nên

\sqrt{16} = 4

.Hình vuông diện tích 16 có cạnh 4, vì $4^2 = 16$ nên $\sqrt{16} = 4$.

Hình vuông diện tích 9 có cạnh 3, vì

3^2 = 9

nên

\sqrt{9} = 3

.Hình vuông diện tích 9 có cạnh 3, vì $3^2 = 9$ nên $\sqrt{9} = 3$.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tính cạnh mảnh vườn hình vuông

1
Một mảnh vườn hình vuông có diện tích $16\,m^2$ . Tính độ dài cạnh mảnh vườn.
Một mảnh vườn hình vuông có diện tích $16\,m^2$. Tính độ dài cạnh mảnh vườn.
2
Gọi $x$ ( $x > 0$ ) là độ dài cạnh mảnh vườn, tính theo mét. Diện tích hình vuông cạnh $x$ là $x^2$ .
Gọi $x$ ($x > 0$) là độ dài cạnh mảnh vườn, tính theo mét. Diện tích hình vuông cạnh $x$ là $x^2$.
3
Theo đề bài, $x^2 = 16$ , mà $x$ không âm nên $x = \sqrt{16} = 4$ .
Theo đề bài, $x^2 = 16$, mà $x$ không âm nên $x = \sqrt{16} = 4$.
4
Vậy cạnh mảnh vườn dài $4\,m$ .
Vậy cạnh mảnh vườn dài $4\,m$.

Ví dụ

Căn bậc hai của phân số và số thập phân

1
Tính $\sqrt{0,25}$ và $\sqrt{\frac{9}{25}}$ .
Tính $\sqrt{0,25}$ và $\sqrt{\frac{9}{25}}$.
2
Ta có $0,5^2 = 0,25$ và $0,5 \geq 0$ , nên $\sqrt{0,25} = 0,5$ .
Ta có $0,5^2 = 0,25$ và $0,5 \geq 0$, nên $\sqrt{0,25} = 0,5$.
3
Ta có $\left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$ và $\frac{3}{5} \geq 0$ , nên $\sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ .
Ta có $\left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$ và $\frac{3}{5} \geq 0$, nên $\sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
4
Vậy $\sqrt{0,25} = 0,5$ và $\sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ .
Vậy $\sqrt{0,25} = 0,5$ và $\sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.

Ví dụ

Vì sao căn bậc hai của số âm không tồn tại

1
Giải thích vì sao $\sqrt{-4}$ không tồn tại (trong phạm vi số thực).
Giải thích vì sao $\sqrt{-4}$ không tồn tại (trong phạm vi số thực).
2
Nếu $\sqrt{-4}$ tồn tại, gọi giá trị đó là $x$ , thì theo định nghĩa phải có $x^2 = -4$ và $x \geq 0$ .
Nếu $\sqrt{-4}$ tồn tại, gọi giá trị đó là $x$, thì theo định nghĩa phải có $x^2 = -4$ và $x \geq 0$.
3
Với mọi số thực $x$ , dù $x$ dương, âm hay bằng 0, bình phương $x^2$ luôn không âm — không bao giờ bằng $-4$ .
Với mọi số thực $x$, dù $x$ dương, âm hay bằng 0, bình phương $x^2$ luôn không âm — không bao giờ bằng $-4$.
4
Vậy không tồn tại số thực nào thỏa $x^2 = -4$ , nên $\sqrt{-4}$ không xác định trong tập số thực.
Vậy không tồn tại số thực nào thỏa $x^2 = -4$, nên $\sqrt{-4}$ không xác định trong tập số thực.

Ví dụ

Cạnh của một khu đất diện tích thập phân

1
Một khu đất hình vuông có diện tích $1,44\,m^2$ . Tính cạnh khu đất.
Một khu đất hình vuông có diện tích $1,44\,m^2$. Tính cạnh khu đất.
2
Gọi $x$ ( $x \geq 0$ ) là cạnh khu đất, ta có $x^2 = 1,44$ .
Gọi $x$ ($x \geq 0$) là cạnh khu đất, ta có $x^2 = 1,44$.
3
Vì $(1,2)^2 = 1,44$ và $1,2 \geq 0$ , nên $x = \sqrt{1,44} = 1,2$ .
Vì $(1,2)^2 = 1,44$ và $1,2 \geq 0$, nên $x = \sqrt{1,44} = 1,2$.
4
Vậy cạnh khu đất dài $1,2\,m$ .
Vậy cạnh khu đất dài $1,2\,m$.

Ví dụ

Nhận biết số chính phương trong một danh sách

1
Trong các số $90$ , $100$ , $110$ , $121$ , số nào là số chính phương? Tính căn bậc hai số học của số đó.
Trong các số $90$, $100$, $110$, $121$, số nào là số chính phương? Tính căn bậc hai số học của số đó.
2
$90$ và $110$ không phải bình phương của số nguyên nào. $100 = 10^2$ và $121 = 11^2$ đều là số chính phương.
$90$ và $110$ không phải bình phương của số nguyên nào. $100 = 10^2$ và $121 = 11^2$ đều là số chính phương.
3
$\sqrt{100} = 10$ (vì $10^2 = 100$ , $10 \geq 0$ ); $\sqrt{121} = 11$ (vì $11^2 = 121$ , $11 \geq 0$ ).
$\sqrt{100} = 10$ (vì $10^2 = 100$, $10 \geq 0$); $\sqrt{121} = 11$ (vì $11^2 = 121$, $11 \geq 0$).
4
Vậy $100$ và $121$ là số chính phương, với $\sqrt{100} = 10$ và $\sqrt{121} = 11$ .
Vậy $100$ và $121$ là số chính phương, với $\sqrt{100} = 10$ và $\sqrt{121} = 11$.

Sai lầm thường gặp

Đừng viết $\sqrt{16} = \pm 4$ . Kí hiệu $\sqrt{a}$ chỉ đại diện cho căn bậc hai SỐ HỌC — giá trị KHÔNG ÂM duy nhất. Nếu đề bài hỏi "tìm $x$ sao cho $x^2 = 16$ " thì mới có hai đáp số $x = 4$ và $x = -4$ ; còn $\sqrt{16}$ luôn chỉ là $4$ . Một nhầm lẫn khác cũng hay gặp: nghĩ rằng số càng lớn thì càng khó có căn bậc hai là số nguyên — thật ra chỉ cần kiểm tra nó có phải bình phương của một số nguyên hay không, bất kể lớn nhỏ.

Đừng viết $\sqrt{16} = \pm 4$. Kí hiệu $\sqrt{a}$ chỉ đại diện cho căn bậc hai SỐ HỌC — giá trị KHÔNG ÂM duy nhất. Nếu đề bài hỏi "tìm $x$ sao cho $x^2 = 16$" thì mới có hai đáp số $x = 4$ và $x = -4$; còn $\sqrt{16}$ luôn chỉ là $4$. Một nhầm lẫn khác cũng hay gặp: nghĩ rằng số càng lớn thì càng khó có căn bậc hai là số nguyên — thật ra chỉ cần kiểm tra nó có phải bình phương của một số nguyên hay không, bất kể lớn nhỏ.

Tóm lại, căn bậc hai số học $\sqrt{a}$ chỉ định nghĩa cho $a \geq 0$ , luôn cho ra một kết quả không âm duy nhất, và tính bằng cách tìm số không âm mà bình phương lên đúng bằng $a$ .

Tóm lại, căn bậc hai số học $\sqrt{a}$ chỉ định nghĩa cho $a \geq 0$, luôn cho ra một kết quả không âm duy nhất, và tính bằng cách tìm số không âm mà bình phương lên đúng bằng $a$.

Bài cuối của chương này xử lý những căn bậc hai KHÔNG phải số chính phương — làm sao so sánh và ước lượng chúng khi không tính ra được một số nguyên hay số thập phân gọn gàng.