Bài học

Số đối và giá trị tuyệt đối của số thực

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em xác định được số đối và giá trị tuyệt đối của một số thực bất kỳ — kể cả số vô tỉ — và dùng giá trị tuyệt đối để so sánh khoảng cách đến gốc 0.

Kiến thức nền cần nhớ

Khóa Số hữu tỉ đã học: với số hữu tỉ $x$ , giá trị tuyệt đối $|x|$ luôn không âm, và $|x| = x$ nếu $x \geq 0$ , còn $|x| = -x$ nếu $x < 0$ . Bài này chỉ mở rộng đúng quy tắc đó cho toàn bộ số thực, kể cả những số vô tỉ mà bài trước vừa đưa lên trục số.

Khóa Số hữu tỉ đã học: với số hữu tỉ $x$, giá trị tuyệt đối $|x|$ luôn không âm, và $|x| = x$ nếu $x \geq 0$, còn $|x| = -x$ nếu $x < 0$. Bài này chỉ mở rộng đúng quy tắc đó cho toàn bộ số thực, kể cả những số vô tỉ mà bài trước vừa đưa lên trục số.

Khởi động

Trên trục số thực đã vẽ ở bài trước, điểm $\sqrt{2}$ và điểm $-\sqrt{2}$ đối xứng nhau qua gốc 0. Khoảng cách từ mỗi điểm đó đến gốc 0 có bằng nhau không? Và khoảng cách ấy chính là bao nhiêu?

Kiến thức trọng tâm

Với một số thực $a$ bất kỳ, số đối của $a$ là số $-a$ — điểm biểu diễn $-a$ đối xứng với điểm biểu diễn $a$ qua gốc 0 trên trục số thực. Số đối của $\sqrt{2}$ là $-\sqrt{2}$ ; số đối của $-\pi$ là $\pi$ ; số đối của $0$ vẫn là $0$ .

Với một số thực $a$ bất kỳ, số đối của $a$ là số $-a$ — điểm biểu diễn $-a$ đối xứng với điểm biểu diễn $a$ qua gốc 0 trên trục số thực. Số đối của $\sqrt{2}$ là $-\sqrt{2}$; số đối của $-\pi$ là $\pi$; số đối của $0$ vẫn là $0$.

Giá trị tuyệt đối của số thực $a$ , kí hiệu $|a|$ , là khoảng cách từ điểm biểu diễn $a$ đến gốc 0 trên trục số thực. Vì khoảng cách không bao giờ âm, $|a| \geq 0$ với mọi $a$ . Quy tắc tính giống hệt số hữu tỉ: $|a| = a$ nếu $a \geq 0$ , và $|a| = -a$ nếu $a < 0$ . Từ đó suy ra hai số đối nhau luôn có cùng giá trị tuyệt đối: $|a| = |-a|$ .

Giá trị tuyệt đối của số thực $a$, kí hiệu $|a|$, là khoảng cách từ điểm biểu diễn $a$ đến gốc 0 trên trục số thực. Vì khoảng cách không bao giờ âm, $|a| \geq 0$ với mọi $a$. Quy tắc tính giống hệt số hữu tỉ: $|a| = a$ nếu $a \geq 0$, và $|a| = -a$ nếu $a < 0$. Từ đó suy ra hai số đối nhau luôn có cùng giá trị tuyệt đối: $|a| = |-a|$.

Điều mới so với khóa Số hữu tỉ chỉ là: bây giờ $a$ có thể là một số vô tỉ. Cách tính không đổi — chỉ cần biết dấu của $a$ là dương, âm hay bằng 0.

Nhờ vậy, hai kết quả quen thuộc ở số hữu tỉ vẫn đúng nguyên vẹn cho số thực: giá trị tuyệt đối luôn không âm ( $|a| \geq 0$ với mọi $a$ ), và $|a| = 0$ khi và chỉ khi $a = 0$ . Ngoài ra, hai số đối nhau luôn cách đều gốc 0 — đó chính là lý do $|a| = |-a|$ : khoảng cách từ $a$ đến gốc và khoảng cách từ $-a$ đến gốc là một, chỉ khác phía.

Nhờ vậy, hai kết quả quen thuộc ở số hữu tỉ vẫn đúng nguyên vẹn cho số thực: giá trị tuyệt đối luôn không âm ($|a| \geq 0$ với mọi $a$), và $|a| = 0$ khi và chỉ khi $a = 0$. Ngoài ra, hai số đối nhau luôn cách đều gốc 0 — đó chính là lý do $|a| = |-a|$: khoảng cách từ $a$ đến gốc và khoảng cách từ $-a$ đến gốc là một, chỉ khác phía.

Hai số đối nhau luôn có cùng giá trị tuyệt đối.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tìm số đối và giá trị tuyệt đối

1
Tìm số đối và giá trị tuyệt đối của $\sqrt{2}$ , $-\pi$ và $0$ .
Tìm số đối và giá trị tuyệt đối của $\sqrt{2}$, $-\pi$ và $0$.
2
Vì $\sqrt{2} > 0$ nên $|\sqrt{2}| = \sqrt{2}$ ; số đối của $\sqrt{2}$ là $-\sqrt{2}$ .
Vì $\sqrt{2} > 0$ nên $|\sqrt{2}| = \sqrt{2}$; số đối của $\sqrt{2}$ là $-\sqrt{2}$.
3
Vì $-\pi < 0$ nên $|-\pi| = -(-\pi) = \pi$ ; số đối của $-\pi$ là $\pi$ .
Vì $-\pi < 0$ nên $|-\pi| = -(-\pi) = \pi$; số đối của $-\pi$ là $\pi$.
4
$|0| = 0$ ; số đối của $0$ vẫn là $0$ .
$|0| = 0$; số đối của $0$ vẫn là $0$.
5
Vậy $|\sqrt{2}| = \sqrt{2}$ với số đối $-\sqrt{2}$ ; $|-\pi| = \pi$ với số đối $\pi$ ; $|0| = 0$ với số đối $0$ .
Vậy $|\sqrt{2}| = \sqrt{2}$ với số đối $-\sqrt{2}$; $|-\pi| = \pi$ với số đối $\pi$; $|0| = 0$ với số đối $0$.

Ví dụ

So sánh hai giá trị tuyệt đối

1
So sánh $|-1,5|$ và $|\sqrt{2}|$ .
So sánh $|-1,5|$ và $|\sqrt{2}|$.
2
$|-1,5| = 1,5$ (vì $-1,5 < 0$ ). $|\sqrt{2}| = \sqrt{2} \approx 1,414$ (vì $\sqrt{2} > 0$ ).
$|-1,5| = 1,5$ (vì $-1,5 < 0$). $|\sqrt{2}| = \sqrt{2} \approx 1,414$ (vì $\sqrt{2} > 0$).
3
So $1,5$ và $1,414$ : phần nguyên bằng nhau, hàng phần mười $5 > 4$ , nên $1,5 > 1,414$ .
So $1,5$ và $1,414$: phần nguyên bằng nhau, hàng phần mười $5 > 4$, nên $1,5 > 1,414$.
4
Vậy $|-1,5| > |\sqrt{2}|$ .
Vậy $|-1,5| > |\sqrt{2}|$.

Ví dụ

Ứng dụng thực tế — độ chênh nhiệt độ

1
Nhiệt độ đo được tại một đỉnh núi là $-\sqrt{5}\,°C$ . Độ chênh lệch (không kể dấu) so với $0°C$ là bao nhiêu, biết $\sqrt{5} \approx 2,236$ ?
Nhiệt độ đo được tại một đỉnh núi là $-\sqrt{5}\,°C$. Độ chênh lệch (không kể dấu) so với $0°C$ là bao nhiêu, biết $\sqrt{5} \approx 2,236$?
2
Độ chênh lệch không kể dấu chính là giá trị tuyệt đối của nhiệt độ đã cho.
3
Vì $-\sqrt{5} < 0$ nên $|-\sqrt{5}| = \sqrt{5} \approx 2,236$ .
Vì $-\sqrt{5} < 0$ nên $|-\sqrt{5}| = \sqrt{5} \approx 2,236$.
4
Vậy nhiệt độ tại đỉnh núi chênh lệch khoảng $2,236°C$ so với $0°C$ .
Vậy nhiệt độ tại đỉnh núi chênh lệch khoảng $2,236°C$ so với $0°C$.

Ví dụ

Giải phương trình chứa giá trị tuyệt đối

1
Tìm $x$ biết $|x| = \sqrt{2}$ .
Tìm $x$ biết $|x| = \sqrt{2}$.
2
$|x| = \sqrt{2}$ nghĩa là khoảng cách từ điểm $x$ đến gốc 0 bằng $\sqrt{2}$ . Có đúng hai điểm thỏa điều kiện này: $x = \sqrt{2}$ hoặc $x = -\sqrt{2}$ .
$|x| = \sqrt{2}$ nghĩa là khoảng cách từ điểm $x$ đến gốc 0 bằng $\sqrt{2}$. Có đúng hai điểm thỏa điều kiện này: $x = \sqrt{2}$ hoặc $x = -\sqrt{2}$.
3
Vậy $x = \sqrt{2}$ hoặc $x = -\sqrt{2}$ .
Vậy $x = \sqrt{2}$ hoặc $x = -\sqrt{2}$.

Ví dụ

Tìm số thực khi biết giá trị tuyệt đối và dấu

1
Tìm $x$ , biết $|x| = 1,5$ và $x < 0$ .
Tìm $x$, biết $|x| = 1,5$ và $x < 0$.
2
Theo Ví dụ 4, có đúng hai số thỏa $|x| = 1,5$ : $x = 1,5$ hoặc $x = -1,5$ .
Theo Ví dụ 4, có đúng hai số thỏa $|x| = 1,5$: $x = 1,5$ hoặc $x = -1,5$.
3
Đề bài yêu cầu thêm $x < 0$ , nên loại $x = 1,5$ (vì $1,5 > 0$ ).
Đề bài yêu cầu thêm $x < 0$, nên loại $x = 1,5$ (vì $1,5 > 0$).
4
Vậy $x = -1,5$ .
Vậy $x = -1,5$.

Sai lầm thường gặp

Đừng nghĩ giá trị tuyệt đối của một số âm "vẫn giữ dấu âm". Khi $a < 0$ , ta có $|a| = -a$ — đây là phép LẤY SỐ ĐỐI của $a$ (một số âm), kết quả là một số dương, chứ không phải "thêm dấu trừ vào $a$ ". Cũng đừng quên: phương trình $|x| = c$ (với $c > 0$ ) luôn có HAI nghiệm, không phải một — bỏ sót nghiệm âm là lỗi rất phổ biến.

Đừng nghĩ giá trị tuyệt đối của một số âm "vẫn giữ dấu âm". Khi $a < 0$, ta có $|a| = -a$ — đây là phép LẤY SỐ ĐỐI của $a$ (một số âm), kết quả là một số dương, chứ không phải "thêm dấu trừ vào $a$". Cũng đừng quên: phương trình $|x| = c$ (với $c > 0$) luôn có HAI nghiệm, không phải một — bỏ sót nghiệm âm là lỗi rất phổ biến.

Tóm lại, số đối và giá trị tuyệt đối của một số thực tính theo đúng quy tắc đã học với số hữu tỉ — chỉ khác là bây giờ áp dụng được cho cả số vô tỉ. Giá trị tuyệt đối luôn không âm và bằng khoảng cách đến gốc 0 trên trục số thực; hai số đối nhau luôn có cùng giá trị tuyệt đối vì chúng cách đều gốc 0, chỉ khác phía.

Kỹ năng này quay lại rất nhiều trong các bài toán thực tế — độ cao so với mực nước biển, độ lệch nhiệt độ so với mốc $0°C$ , khoảng cách giữa hai thời điểm trên một trục thời gian — bất cứ khi nào cần đo "độ lớn" mà bỏ qua chiều hoặc dấu, giá trị tuyệt đối chính là công cụ đúng để dùng.

Kỹ năng này quay lại rất nhiều trong các bài toán thực tế — độ cao so với mực nước biển, độ lệch nhiệt độ so với mốc $0°C$, khoảng cách giữa hai thời điểm trên một trục thời gian — bất cứ khi nào cần đo "độ lớn" mà bỏ qua chiều hoặc dấu, giá trị tuyệt đối chính là công cụ đúng để dùng.

Bài tiếp theo chuyển sang một công cụ mới của số thực: định nghĩa căn bậc hai số học, chính là công cụ đứng sau các giá trị $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ , $\sqrt{5}$ em vừa dùng ở bài này mà chưa được giải thích rõ chúng đến từ đâu.

Bài tiếp theo chuyển sang một công cụ mới của số thực: định nghĩa căn bậc hai số học, chính là công cụ đứng sau các giá trị $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ em vừa dùng ở bài này mà chưa được giải thích rõ chúng đến từ đâu.