Bài học

Số thập phân vô hạn không tuần hoàn và số vô tỉ

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phân biệt được số thập phân hữu hạn, số thập phân vô hạn tuần hoàn và số thập phân vô hạn KHÔNG tuần hoàn, đồng thời nhận ra được số vô tỉ qua các ví dụ quen thuộc như $\sqrt{2}$ và $\pi$ .

Kiến thức nền cần nhớ

Khóa Số hữu tỉ đã cho em thấy một số hữu tỉ có thể viết dưới nhiều dạng thập phân khác nhau: có số dừng hẳn sau một số hữu hạn chữ số như $0,6$ , có số lặp lại một nhóm chữ số mãi mãi như $-2,(3) = -2,3333\ldots$ Cả hai kiểu đó đều là số hữu tỉ. Câu hỏi đặt ra cho bài này: nếu một số thập phân kéo dài vô hạn nhưng KHÔNG lặp lại theo bất kỳ chu kỳ nào, số đó thuộc loại nào?

Khóa Số hữu tỉ đã cho em thấy một số hữu tỉ có thể viết dưới nhiều dạng thập phân khác nhau: có số dừng hẳn sau một số hữu hạn chữ số như $0,6$, có số lặp lại một nhóm chữ số mãi mãi như $-2,(3) = -2,3333\ldots$ Cả hai kiểu đó đều là số hữu tỉ. Câu hỏi đặt ra cho bài này: nếu một số thập phân kéo dài vô hạn nhưng KHÔNG lặp lại theo bất kỳ chu kỳ nào, số đó thuộc loại nào?

Khởi động

Một bạn bấm máy tính $1 \div 3$ và màn hình hiện $0,333333333\ldots$ Một bạn khác bấm phép khai căn của 2 và được $1,414213562\ldots$ Cả hai kết quả đều "chạy mãi không dừng" trên màn hình. Chúng có cùng bản chất không, hay đây là hai loại số thập phân khác nhau?

Kiến thức trọng tâm

Số thập phân vô hạn tuần hoàn là số thập phân có một nhóm chữ số (gọi là chu kỳ) lặp lại đều đặn mãi mãi kể từ một vị trí nào đó — như $0,333\ldots = 0,(3)$ , chu kỳ là chữ số 3. Mọi số dạng này đều viết được thành phân số, nên đều là số hữu tỉ, dù chuỗi chữ số kéo dài vô tận.

Số thập phân vô hạn tuần hoàn là số thập phân có một nhóm chữ số (gọi là chu kỳ) lặp lại đều đặn mãi mãi kể từ một vị trí nào đó — như $0,333\ldots = 0,(3)$, chu kỳ là chữ số 3. Mọi số dạng này đều viết được thành phân số, nên đều là số hữu tỉ, dù chuỗi chữ số kéo dài vô tận.

Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn nhưng KHÔNG tuần hoàn — không hề có một nhóm chữ số nào lặp lại đều đặn, dù em có tính tiếp bao nhiêu chữ số. Tập hợp các số vô tỉ thường được kí hiệu $\mathbb{I}$ . Hai ví dụ số vô tỉ quen thuộc nhất ở lớp 7 là $\pi \approx 3,14159265\ldots$ (tỉ số giữa chu vi và đường kính của một đường tròn bất kỳ) và $\sqrt{2} \approx 1,41421356\ldots$ (độ dài đường chéo của một hình vuông cạnh 1). Ở lớp 7 ta chỉ cần thừa nhận hai số này là số vô tỉ — việc chứng minh chặt chẽ vì sao chúng không tuần hoàn thuộc chương trình cao hơn.

Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn nhưng KHÔNG tuần hoàn — không hề có một nhóm chữ số nào lặp lại đều đặn, dù em có tính tiếp bao nhiêu chữ số. Tập hợp các số vô tỉ thường được kí hiệu $\mathbb{I}$. Hai ví dụ số vô tỉ quen thuộc nhất ở lớp 7 là $\pi \approx 3,14159265\ldots$ (tỉ số giữa chu vi và đường kính của một đường tròn bất kỳ) và $\sqrt{2} \approx 1,41421356\ldots$ (độ dài đường chéo của một hình vuông cạnh 1). Ở lớp 7 ta chỉ cần thừa nhận hai số này là số vô tỉ — việc chứng minh chặt chẽ vì sao chúng không tuần hoàn thuộc chương trình cao hơn.

Con số $\pi$ không phải một quy ước tùy tiện — nó xuất phát từ chính hình học: lấy bất kỳ đường tròn nào, đo chu vi rồi chia cho đường kính, kết quả luôn là cùng một số $\pi \approx 3,14159265\ldots$ , dù đường tròn to hay nhỏ. Chính vì phép chia "chu vi chia đường kính" luôn cho cùng một giá trị không tuần hoàn, người ta đặt riêng một kí hiệu cho nó thay vì cố viết hết các chữ số.

Con số $\pi$ không phải một quy ước tùy tiện — nó xuất phát từ chính hình học: lấy bất kỳ đường tròn nào, đo chu vi rồi chia cho đường kính, kết quả luôn là cùng một số $\pi \approx 3,14159265\ldots$, dù đường tròn to hay nhỏ. Chính vì phép chia "chu vi chia đường kính" luôn cho cùng một giá trị không tuần hoàn, người ta đặt riêng một kí hiệu cho nó thay vì cố viết hết các chữ số.

Điểm dễ nhầm nhất: một số thập phân "trông phức tạp, khó nhớ" không có nghĩa nó vô tỉ. Muốn kết luận, em phải kiểm tra thật sự có chu kỳ lặp lại hay không, chứ không dựa vào cảm giác "nhìn rối mắt". Ngược lại, một số thập phân dừng hẳn sau vài chữ số — dù trông "gọn gàng" hay không — luôn là số hữu tỉ, vì nó viết được ngay thành phân số có mẫu là một lũy thừa của 10.

Quy trình phân loại số thập phân.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Phân loại hai số thập phân vô hạn

1
Trong hai số $0,(3)$ và $0,101101110\ldots$ (số 1 xen giữa các cụm số 0 dài dần: một số 0, rồi hai số 0, rồi ba số 0, \ldots), số nào là số vô tỉ?
Trong hai số $0,(3)$ và $0,101101110\ldots$ (số 1 xen giữa các cụm số 0 dài dần: một số 0, rồi hai số 0, rồi ba số 0, \ldots), số nào là số vô tỉ?
2
Chữ số 3 lặp lại đều đặn mãi mãi, chu kỳ chỉ gồm một chữ số. Ta có $0,(3) = \frac{1}{3}$ , viết được dưới dạng phân số. Theo định nghĩa, đây là số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Chữ số 3 lặp lại đều đặn mãi mãi, chu kỳ chỉ gồm một chữ số. Ta có $0,(3) = \frac{1}{3}$, viết được dưới dạng phân số. Theo định nghĩa, đây là số thập phân vô hạn tuần hoàn.
3
Các cụm số 0 xen giữa những chữ số 1 có độ dài tăng dần (1 rồi 2 rồi 3 số 0, \ldots), nên không tồn tại một nhóm chữ số cố định lặp lại đều đặn. Đây là số thập phân vô hạn KHÔNG tuần hoàn.
4
Vậy $0,(3)$ là số hữu tỉ (bằng $\frac{1}{3}$ ); còn $0,101101110\ldots$ là số vô tỉ.
Vậy $0,(3)$ là số hữu tỉ (bằng $\frac{1}{3}$); còn $0,101101110\ldots$ là số vô tỉ.

Ví dụ

Một số thập phân "trông rối" nhưng vẫn hữu tỉ

1
Thực hiện phép chia $1 \div 7$ và cho biết kết quả là số hữu tỉ hay số vô tỉ.
Thực hiện phép chia $1 \div 7$ và cho biết kết quả là số hữu tỉ hay số vô tỉ.
2
Chia tay hoặc bấm máy tính: $1 \div 7 = 0,142857142857142857\ldots$
Chia tay hoặc bấm máy tính: $1 \div 7 = 0,142857142857142857\ldots$
3
Cụm sáu chữ số $142857$ lặp lại đúng như vậy mãi mãi — đây là một chu kỳ thật sự, chỉ là dài hơn ví dụ $0,(3)$ .
Cụm sáu chữ số $142857$ lặp lại đúng như vậy mãi mãi — đây là một chu kỳ thật sự, chỉ là dài hơn ví dụ $0,(3)$.
4
Vậy $1 \div 7 = 0,(142857)$ là số thập phân vô hạn tuần hoàn, nên là số hữu tỉ — dù thoạt nhìn dãy chữ số có vẻ ngẫu nhiên.
Vậy $1 \div 7 = 0,(142857)$ là số thập phân vô hạn tuần hoàn, nên là số hữu tỉ — dù thoạt nhìn dãy chữ số có vẻ ngẫu nhiên.

Ví dụ

Kiểm tra một nhận định

1
Bạn Lan nói: "Số nào có vô hạn chữ số thập phân thì luôn là số vô tỉ." Nhận định này đúng hay sai?
2
Số $\frac{1}{3} = 0,333\ldots$ có vô hạn chữ số thập phân, nhưng nó tuần hoàn nên vẫn là số hữu tỉ. Số $\frac{1}{7} = 0,(142857)$ ở ví dụ trên cũng vậy.
Số $\frac{1}{3} = 0,333\ldots$ có vô hạn chữ số thập phân, nhưng nó tuần hoàn nên vẫn là số hữu tỉ. Số $\frac{1}{7} = 0,(142857)$ ở ví dụ trên cũng vậy.
3
Vậy nhận định của Lan sai. Điều kiện đúng phải là: vô hạn chữ số VÀ không tuần hoàn thì mới là số vô tỉ; thiếu vế "không tuần hoàn" thì kết luận sai.

Ví dụ

Phân loại một số thập phân hữu hạn

1
Thực hiện phép chia $3 \div 8$ và cho biết kết quả thuộc loại số thập phân nào.
Thực hiện phép chia $3 \div 8$ và cho biết kết quả thuộc loại số thập phân nào.
2
$3 \div 8 = 0,375$ — phép chia dừng hẳn, không còn dư sau ba chữ số thập phân.
$3 \div 8 = 0,375$ — phép chia dừng hẳn, không còn dư sau ba chữ số thập phân.
3
Số $0,375$ là số thập phân HỮU HẠN, không phải vô hạn, nên không cần xét chu kỳ.
Số $0,375$ là số thập phân HỮU HẠN, không phải vô hạn, nên không cần xét chu kỳ.
4
Vậy $3 \div 8 = 0,375$ là số hữu tỉ, thuộc loại số thập phân hữu hạn — loại đơn giản nhất trong ba loại đã học.
Vậy $3 \div 8 = 0,375$ là số hữu tỉ, thuộc loại số thập phân hữu hạn — loại đơn giản nhất trong ba loại đã học.

Sai lầm thường gặp

Đừng kết luận một số là số vô tỉ chỉ vì chuỗi chữ số thập phân "dài và khó nhớ". Số $\frac{1}{7}$ có chu kỳ dài sáu chữ số nhưng vẫn là số hữu tỉ. Luôn kiểm tra: có một nhóm chữ số lặp lại đều đặn hay không — chứ không nhìn vào độ dài hay vẻ ngoài của dãy chữ số.

Tóm lại, mọi số thập phân đều rơi vào đúng một trong hai loại: hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn thì là số hữu tỉ; vô hạn không tuần hoàn thì là số vô tỉ. Hai loại này không chồng lấn nhau.

Bài tiếp theo gộp số hữu tỉ và số vô tỉ lại thành một tập hợp lớn hơn — tập hợp số thực — và dùng trục số để hình dung tập hợp đó.