Bài học

Tập hợp số thực và trục số thực

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhận biết được tập hợp số thực $\mathbb{R}$ gồm số hữu tỉ và số vô tỉ, biểu diễn gần đúng được một số thực trên trục số, và so sánh được hai số thực bất kỳ.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã tách các số thập phân thành hai loại: số hữu tỉ (hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn) và số vô tỉ (vô hạn không tuần hoàn). Khóa Số hữu tỉ cũng đã dạy em cách biểu diễn số hữu tỉ trên trục số và so sánh chúng bằng cách so từng hàng của phần thập phân.

Khởi động

Trên trục số hữu tỉ mà em từng vẽ, mỗi điểm đánh dấu ứng với một phân số hay một số thập phân hữu hạn/tuần hoàn. Bây giờ dựng một hình vuông cạnh 1 đơn vị ngay trên trục số đó — đường chéo của nó dài $\sqrt{2}$ đơn vị. Nếu quay đường chéo này xuống trục số, nó sẽ rơi đúng vào một điểm em từng đánh dấu trước đây, hay rơi vào một điểm hoàn toàn mới?

Kiến thức trọng tâm

Tập hợp số thực, kí hiệu $\mathbb{R}$ , là hợp của tập hợp số hữu tỉ $\mathbb{Q}$ và tập hợp số vô tỉ $\mathbb{I}$ : $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$ . Nói cách khác, số thực là tên gọi chung cho mọi số em đã từng gặp — số nguyên, phân số, số thập phân hữu hạn, số thập phân tuần hoàn, và cả những số vô tỉ như $\sqrt{2}$ , $\pi$ .

Tập hợp số thực, kí hiệu $\mathbb{R}$, là hợp của tập hợp số hữu tỉ $\mathbb{Q}$ và tập hợp số vô tỉ $\mathbb{I}$: $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$. Nói cách khác, số thực là tên gọi chung cho mọi số em đã từng gặp — số nguyên, phân số, số thập phân hữu hạn, số thập phân tuần hoàn, và cả những số vô tỉ như $\sqrt{2}$, $\pi$.

Nếu chỉ dùng trục số hữu tỉ, đường chéo hình vuông cạnh 1 trong phần khởi động sẽ rơi vào một điểm KHÔNG hề được đánh dấu — trục số hữu tỉ có "lỗ hổng" ngay tại $\sqrt{2}$ . Khi kể thêm cả số vô tỉ, mỗi điểm trên trục số ứng với đúng một số thực, và ngược lại mỗi số thực ứng với đúng một điểm — trục số lúc này được lấp đầy hoàn toàn, gọi là trục số thực.

Nếu chỉ dùng trục số hữu tỉ, đường chéo hình vuông cạnh 1 trong phần khởi động sẽ rơi vào một điểm KHÔNG hề được đánh dấu — trục số hữu tỉ có "lỗ hổng" ngay tại $\sqrt{2}$. Khi kể thêm cả số vô tỉ, mỗi điểm trên trục số ứng với đúng một số thực, và ngược lại mỗi số thực ứng với đúng một điểm — trục số lúc này được lấp đầy hoàn toàn, gọi là trục số thực.

Vì không thể viết hết vô hạn chữ số của một số vô tỉ, khi biểu diễn trên trục số ta dùng giá trị thập phân GẦN ĐÚNG — ví dụ đặt $\sqrt{2}$ tại xấp xỉ $1,41$ , đặt $\pi$ tại xấp xỉ $3,14$ . Vị trí gần đúng này đủ để so sánh và sắp xếp các số thực với nhau.

Vì không thể viết hết vô hạn chữ số của một số vô tỉ, khi biểu diễn trên trục số ta dùng giá trị thập phân GẦN ĐÚNG — ví dụ đặt $\sqrt{2}$ tại xấp xỉ $1,41$, đặt $\pi$ tại xấp xỉ $3,14$. Vị trí gần đúng này đủ để so sánh và sắp xếp các số thực với nhau.

Muốn so sánh hai số thực, ta so sánh các giá trị thập phân (đúng hoặc gần đúng) của chúng đúng như cách so sánh số hữu tỉ đã học: so phần nguyên trước, rồi so từng chữ số thập phân từ trái sang phải, gặp cặp chữ số đầu tiên khác nhau thì dừng và kết luận.

Một điều cần lưu ý: hai số thực khác nhau luôn khác nhau ở MỘT hàng thập phân nào đó, dù hàng đó có thể ở rất xa (chữ số thứ 20, thứ 30, \ldots). Với số vô tỉ, ta không thể viết hết các chữ số, nhưng chỉ cần lấy đủ số chữ số gần đúng để phân biệt được hai số cần so sánh — bài học sau sẽ cho một cách so sánh căn bậc hai còn chắc chắn hơn, không cần tính gần đúng.

Số hữu tỉ và số vô tỉ (biểu diễn gần đúng) cùng nằm trên một trục số thực.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Biểu diễn bốn số thực trên một trục số

1
Biểu diễn gần đúng bốn số $-1,5$ ; $0$ ; $\frac{5}{4}$ và $\sqrt{2}$ trên cùng một trục số.
Biểu diễn gần đúng bốn số $-1,5$; $0$; $\frac{5}{4}$ và $\sqrt{2}$ trên cùng một trục số.
2
$-1,5$ và $0$ đã ở dạng thập phân. $\frac{5}{4} = 1,25$ . Giá trị gần đúng $\sqrt{2} \approx 1,41$ .
$-1,5$ và $0$ đã ở dạng thập phân. $\frac{5}{4} = 1,25$. Giá trị gần đúng $\sqrt{2} \approx 1,41$.
3
Trên trục số, đặt $-1,5$ ở bên trái gốc 0; đặt $0$ tại gốc; đặt $1,25$ và $1,41$ đều ở bên phải 0, với $1,41$ nằm ngay sau $1,25$ vì $1,25 < 1,41$ .
Trên trục số, đặt $-1,5$ ở bên trái gốc 0; đặt $0$ tại gốc; đặt $1,25$ và $1,41$ đều ở bên phải 0, với $1,41$ nằm ngay sau $1,25$ vì $1,25 < 1,41$.
4
Vậy thứ tự bốn điểm từ trái sang phải trên trục số là $-1,5 < 0 < 1,25 < \sqrt{2}$ .
Vậy thứ tự bốn điểm từ trái sang phải trên trục số là $-1,5 < 0 < 1,25 < \sqrt{2}$.

Ví dụ

So sánh

\pi

và

3,15

So sánh $\pi$ và $3,15$

1
So sánh $\pi \approx 3,14159265\ldots$ và $3,15$ .
So sánh $\pi \approx 3,14159265\ldots$ và $3,15$.
2
Cả hai đều có phần nguyên bằng 3.
3
Hàng phần mười: cả hai đều là 1. Hàng phần trăm: $\pi$ có chữ số 4, còn $3,15$ có chữ số 5. Vì $4 < 5$ , dừng lại và kết luận ngay tại đây.
Hàng phần mười: cả hai đều là 1. Hàng phần trăm: $\pi$ có chữ số 4, còn $3,15$ có chữ số 5. Vì $4 < 5$, dừng lại và kết luận ngay tại đây.
4
Vậy $\pi < 3,15$ .
Vậy $\pi < 3,15$.

Ví dụ

Sắp xếp một dãy số thực có cả số vô tỉ

1
Sắp xếp các số $\frac{22}{7}$ , $\pi$ , $\sqrt{2}$ , $-1,5$ theo thứ tự tăng dần.
Sắp xếp các số $\frac{22}{7}$, $\pi$, $\sqrt{2}$, $-1,5$ theo thứ tự tăng dần.
2
$-1,5$ giữ nguyên; $\sqrt{2} \approx 1,414$ ; $\pi \approx 3,14159$ ; $\frac{22}{7} \approx 3,142857$ .
$-1,5$ giữ nguyên; $\sqrt{2} \approx 1,414$; $\pi \approx 3,14159$; $\frac{22}{7} \approx 3,142857$.
3
$-1,5$ nhỏ nhất vì là số âm duy nhất. Giữa $\pi \approx 3,14159$ và $\frac{22}{7} \approx 3,142857$ : phần nguyên và hàng phần mười bằng nhau (đều là $3,1$ ), đến hàng phần trăm thì $\pi$ có chữ số 4 còn $\frac{22}{7}$ có chữ số 4 (bằng nhau), sang hàng phần nghìn thì $\pi$ có chữ số 1 còn $\frac{22}{7}$ có chữ số 2, nên $\pi < \frac{22}{7}$ .
$-1,5$ nhỏ nhất vì là số âm duy nhất. Giữa $\pi \approx 3,14159$ và $\frac{22}{7} \approx 3,142857$: phần nguyên và hàng phần mười bằng nhau (đều là $3,1$), đến hàng phần trăm thì $\pi$ có chữ số 4 còn $\frac{22}{7}$ có chữ số 4 (bằng nhau), sang hàng phần nghìn thì $\pi$ có chữ số 1 còn $\frac{22}{7}$ có chữ số 2, nên $\pi < \frac{22}{7}$.
4
Vậy thứ tự tăng dần là $-1,5 < \sqrt{2} < \pi < \frac{22}{7}$ .
Vậy thứ tự tăng dần là $-1,5 < \sqrt{2} < \pi < \frac{22}{7}$.

Ví dụ

So sánh hai số thực có phần nguyên khác nhau

1
So sánh $\sqrt{5}$ và $1,9$ , biết $\sqrt{5} \approx 2,236$ .
So sánh $\sqrt{5}$ và $1,9$, biết $\sqrt{5} \approx 2,236$.
2
$\sqrt{5} \approx 2,236$ có phần nguyên là $2$ ; $1,9$ có phần nguyên là $1$ .
$\sqrt{5} \approx 2,236$ có phần nguyên là $2$; $1,9$ có phần nguyên là $1$.
3
Vì phần nguyên $2 > 1$ , không cần so tiếp phần thập phân.
Vì phần nguyên $2 > 1$, không cần so tiếp phần thập phân.
4
Vậy $\sqrt{5} > 1,9$ .
Vậy $\sqrt{5} > 1,9$.

Sai lầm thường gặp

Đừng nghĩ số vô tỉ "không có chỗ đứng" trên trục số chỉ vì không viết hết được các chữ số của nó. Mỗi số vô tỉ vẫn ứng với đúng một điểm duy nhất trên trục số thực — ta chỉ biểu diễn GẦN ĐÚNG vị trí đó bằng vài chữ số thập phân đầu tiên, không phải là "không biểu diễn được". Cũng đừng vội so sánh hai số thực chỉ bằng cách nhìn số chữ số — hãy luôn so từ phần nguyên trước rồi mới đến từng hàng thập phân.

Tóm lại, số thực là tên gọi chung cho toàn bộ số hữu tỉ và số vô tỉ, trục số thực là trục số "không còn lỗ hổng", và việc so sánh số thực dựa trên giá trị thập phân (đúng hoặc gần đúng) giống hệt cách so sánh số hữu tỉ đã học.

Bài tiếp theo mở rộng hai khái niệm quen thuộc — số đối và giá trị tuyệt đối, vốn đã học với số hữu tỉ — sang cho toàn bộ tập hợp số thực, kể cả số vô tỉ.