Bài học

So sánh và ước lượng căn bậc hai

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em so sánh được hai căn bậc hai số học mà không cần tính giá trị cụ thể, và ước lượng được giá trị của một căn bậc hai không phải số chính phương bằng cách kẹp giữa hai số chính phương liên tiếp.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã định nghĩa $\sqrt{a}$ và luyện tính căn bậc hai của các số chính phương quen thuộc $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$ Nhưng phần lớn số không âm KHÔNG phải số chính phương — chẳng hạn $5$ , $7$ , $20$ — vậy $\sqrt{5}$ , $\sqrt{7}$ , $\sqrt{20}$ nằm ở đâu?

Bài trước đã định nghĩa $\sqrt{a}$ và luyện tính căn bậc hai của các số chính phương quen thuộc $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$ Nhưng phần lớn số không âm KHÔNG phải số chính phương — chẳng hạn $5$, $7$, $20$ — vậy $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{20}$ nằm ở đâu?

Khởi động

Không dùng máy tính, em có thể nói ngay $\sqrt{5}$ nhỏ hơn hay lớn hơn $\sqrt{7}$ không? Không cần tính ra giá trị thập phân cụ thể của từng số, chỉ cần so sánh $5$ và $7$ thôi.

Kiến thức trọng tâm

Tính chất cốt lõi của bài này: với $a, b \geq 0$ , nếu $a < b$ thì $\sqrt{a} < \sqrt{b}$ (và ngược lại). Có thể hình dung bằng chính mô hình hình vuông ở bài trước: nếu hình vuông thứ nhất có diện tích $a$ nhỏ hơn diện tích $b$ của hình vuông thứ hai, thì cạnh của hình vuông thứ nhất — chính là $\sqrt{a}$ — cũng phải ngắn hơn cạnh $\sqrt{b}$ của hình vuông thứ hai. Nhờ tính chất này, so sánh $\sqrt{5}$ và $\sqrt{7}$ chỉ cần so sánh $5$ và $7$ , không cần tính giá trị thập phân của từng căn.

Tính chất cốt lõi của bài này: với $a, b \geq 0$, nếu $a < b$ thì $\sqrt{a} < \sqrt{b}$ (và ngược lại). Có thể hình dung bằng chính mô hình hình vuông ở bài trước: nếu hình vuông thứ nhất có diện tích $a$ nhỏ hơn diện tích $b$ của hình vuông thứ hai, thì cạnh của hình vuông thứ nhất — chính là $\sqrt{a}$ — cũng phải ngắn hơn cạnh $\sqrt{b}$ của hình vuông thứ hai. Nhờ tính chất này, so sánh $\sqrt{5}$ và $\sqrt{7}$ chỉ cần so sánh $5$ và $7$, không cần tính giá trị thập phân của từng căn.

Khi $a$ không phải số chính phương, $\sqrt{a}$ không phải số nguyên. Để ước lượng, ta tìm hai số chính phương liên tiếp $m^2$ và $(m+1)^2$ kẹp lấy $a$ ở giữa: nếu $m^2 < a < (m+1)^2$ thì áp dụng tính chất trên, $m < \sqrt{a} < m+1$ — vậy $\sqrt{a}$ nằm giữa hai số nguyên liên tiếp $m$ và $m+1$ .

Cùng một tính chất đơn điệu còn cho một cách so sánh chắc chắn hơn việc tính gần đúng rồi làm tròn: muốn so sánh $\sqrt{a}$ với một số thập phân $c$ (với $c \geq 0$ ), chỉ cần viết $c = \sqrt{c^2}$ rồi so sánh $a$ với $c^2$ — không cần biết giá trị gần đúng của $\sqrt{a}$ là bao nhiêu. Đây chính là cách trả lời câu hỏi khởi động đặt ra ở Chương 2 về đường chéo hình vuông cạnh 1.

Cùng một tính chất đơn điệu còn cho một cách so sánh chắc chắn hơn việc tính gần đúng rồi làm tròn: muốn so sánh $\sqrt{a}$ với một số thập phân $c$ (với $c \geq 0$), chỉ cần viết $c = \sqrt{c^2}$ rồi so sánh $a$ với $c^2$ — không cần biết giá trị gần đúng của $\sqrt{a}$ là bao nhiêu. Đây chính là cách trả lời câu hỏi khởi động đặt ra ở Chương 2 về đường chéo hình vuông cạnh 1.

Quy trình ước lượng căn bậc hai bằng cách kẹp giữa hai số chính phương liên tiếp.

\sqrt{20} \approx 4,47

nằm kẹp giữa 4 và 5.$\sqrt{20} \approx 4,47$ nằm kẹp giữa 4 và 5.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

So sánh không cần tính giá trị

1
So sánh $\sqrt{5}$ và $\sqrt{7}$ mà không dùng máy tính.
So sánh $\sqrt{5}$ và $\sqrt{7}$ mà không dùng máy tính.
2
Vì $5 < 7$ , theo tính chất căn bậc hai số học đơn điệu tăng, ta có ngay $\sqrt{5} < \sqrt{7}$ .
Vì $5 < 7$, theo tính chất căn bậc hai số học đơn điệu tăng, ta có ngay $\sqrt{5} < \sqrt{7}$.
3
Vậy $\sqrt{5} < \sqrt{7}$ , không cần tính giá trị thập phân của từng số.
Vậy $\sqrt{5} < \sqrt{7}$, không cần tính giá trị thập phân của từng số.

Ví dụ

Ước lượng

\sqrt{20}

Ước lượng $\sqrt{20}$

1
Ước lượng giá trị của $\sqrt{20}$ giữa hai số nguyên liên tiếp.
Ước lượng giá trị của $\sqrt{20}$ giữa hai số nguyên liên tiếp.
2
$16 = 4^2$ và $25 = 5^2$ . Vì $16 < 20 < 25$ , tức $4^2 < 20 < 5^2$ .
$16 = 4^2$ và $25 = 5^2$. Vì $16 < 20 < 25$, tức $4^2 < 20 < 5^2$.
3
Áp dụng tính chất đơn điệu: $4 < \sqrt{20} < 5$ .
Áp dụng tính chất đơn điệu: $4 < \sqrt{20} < 5$.
4
Vậy $\sqrt{20}$ nằm giữa $4$ và $5$ (giá trị đúng $\sqrt{20} \approx 4,47$ ).
Vậy $\sqrt{20}$ nằm giữa $4$ và $5$ (giá trị đúng $\sqrt{20} \approx 4,47$).

Ví dụ

Khép lại câu hỏi khởi động của Chương 2

1
So sánh $\sqrt{2}$ và $1,5$ bằng tính chất đơn điệu của căn bậc hai (không dùng giá trị thập phân gần đúng).
So sánh $\sqrt{2}$ và $1,5$ bằng tính chất đơn điệu của căn bậc hai (không dùng giá trị thập phân gần đúng).
2
Vì $1,5 \geq 0$ , ta có $1,5 = \sqrt{(1,5)^2} = \sqrt{2,25}$ .
Vì $1,5 \geq 0$, ta có $1,5 = \sqrt{(1,5)^2} = \sqrt{2,25}$.
3
So $2$ và $2,25$ : vì $2 < 2,25$ .
So $2$ và $2,25$: vì $2 < 2,25$.
4
Vậy $\sqrt{2} < \sqrt{2,25} = 1,5$ , tức đường chéo hình vuông cạnh 1 (dài $\sqrt{2}$ ) ngắn hơn $1,5$ đơn vị — đúng như trục số ở Chương 2 đã cho thấy.
Vậy $\sqrt{2} < \sqrt{2,25} = 1,5$, tức đường chéo hình vuông cạnh 1 (dài $\sqrt{2}$) ngắn hơn $1,5$ đơn vị — đúng như trục số ở Chương 2 đã cho thấy.

Ví dụ

Ước lượng cạnh một khu đất

1
Một khu đất hình vuông có diện tích $30\,m^2$ . Không dùng máy tính, ước lượng cạnh khu đất nằm trong khoảng nào.
Một khu đất hình vuông có diện tích $30\,m^2$. Không dùng máy tính, ước lượng cạnh khu đất nằm trong khoảng nào.
2
Cạnh khu đất là $\sqrt{30}$ .
Cạnh khu đất là $\sqrt{30}$.
3
$25 = 5^2$ và $36 = 6^2$ . Vì $25 < 30 < 36$ , nên $5 < \sqrt{30} < 6$ .
$25 = 5^2$ và $36 = 6^2$. Vì $25 < 30 < 36$, nên $5 < \sqrt{30} < 6$.
4
Vậy cạnh khu đất nằm trong khoảng từ $5\,m$ đến $6\,m$ (giá trị đúng $\sqrt{30} \approx 5,48\,m$ ).
Vậy cạnh khu đất nằm trong khoảng từ $5\,m$ đến $6\,m$ (giá trị đúng $\sqrt{30} \approx 5,48\,m$).

Ví dụ

So sánh hai căn bậc hai có hệ số nhân phía trước

1
So sánh $2\sqrt{5}$ và $\sqrt{17}$ .
So sánh $2\sqrt{5}$ và $\sqrt{17}$.
2
Vì $2\sqrt{5} \geq 0$ , để nhận ra nó là căn bậc hai số học của số nào, ta bình phương: $(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20$ . Vậy $2\sqrt{5}$ chính là số không âm có bình phương bằng $20$ , tức $2\sqrt{5} = \sqrt{20}$ .
Vì $2\sqrt{5} \geq 0$, để nhận ra nó là căn bậc hai số học của số nào, ta bình phương: $(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20$. Vậy $2\sqrt{5}$ chính là số không âm có bình phương bằng $20$, tức $2\sqrt{5} = \sqrt{20}$.
3
So $20$ và $17$ : vì $20 > 17$ .
So $20$ và $17$: vì $20 > 17$.
4
Vậy $\sqrt{20} > \sqrt{17}$ , tức $2\sqrt{5} > \sqrt{17}$ .
Vậy $\sqrt{20} > \sqrt{17}$, tức $2\sqrt{5} > \sqrt{17}$.

Sai lầm thường gặp

So sánh hai căn bậc hai không cần tính giá trị thập phân gần đúng bằng máy tính rồi làm tròn — cách đó dễ nhầm khi hai số quá gần nhau. Chỉ cần so sánh trực tiếp hai số DƯỚI dấu căn nhờ tính chất $a < b \Rightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}$ , kết quả luôn chắc chắn. Khi có hệ số đứng trước dấu căn như $2\sqrt{5}$ , hãy đưa hệ số vào trong dấu căn trước ( $2\sqrt{5} = \sqrt{20}$ ) rồi mới so sánh — đừng so sánh trực tiếp hệ số với số dưới dấu căn của số kia.

So sánh hai căn bậc hai không cần tính giá trị thập phân gần đúng bằng máy tính rồi làm tròn — cách đó dễ nhầm khi hai số quá gần nhau. Chỉ cần so sánh trực tiếp hai số DƯỚI dấu căn nhờ tính chất $a < b \Rightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}$, kết quả luôn chắc chắn. Khi có hệ số đứng trước dấu căn như $2\sqrt{5}$, hãy đưa hệ số vào trong dấu căn trước ($2\sqrt{5} = \sqrt{20}$) rồi mới so sánh — đừng so sánh trực tiếp hệ số với số dưới dấu căn của số kia.

Tóm lại, so sánh hai căn bậc hai số học chỉ cần so sánh hai số dưới dấu căn; còn ước lượng một căn bậc hai không phải số chính phương thì kẹp nó giữa hai số chính phương liên tiếp gần nhất. Cả hai kỹ thuật đều dựa trên một tính chất duy nhất — căn bậc hai số học tăng cùng chiều với số dưới dấu căn — nên nắm chắc tính chất này là nắm chắc cả bài.

Hai kỹ thuật này rất hữu ích khi làm bài không có máy tính: thay vì cố nhớ hàng chục chữ số thập phân của một căn bậc hai, em chỉ cần nhớ bảng số chính phương từ $1$ đến $12$ và biết cách kẹp — vậy là đủ trả lời phần lớn câu hỏi so sánh, ước lượng ở đề kiểm tra.

Bài Ôn tập cuối khóa sẽ phối hợp cả năm công cụ đã học — phân loại số, trục số thực, giá trị tuyệt đối, định nghĩa và so sánh căn bậc hai — trong những bài toán mang dáng dấp một đề kiểm tra thật sự.