Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Xác suất của biến cố
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em tính được xác suất của một biến cố trong phép thử có các kết quả đồng khả năng, bằng cách đếm kết quả thuận lợi và kết quả có thể xảy ra.
Kiến thức nền cần nhớ
Bài trước em đã biết mô tả không gian mẫu và liệt kê kết quả thuận lợi cho một biến cố, cùng cách phân biệt biến cố chắc chắn, không thể, ngẫu nhiên. Bài này biến những khái niệm định tính đó thành một con số cụ thể — xác suất — để trả lời chính xác câu hỏi "khả năng xảy ra là bao nhiêu", chứ không chỉ dừng ở "có thể xảy ra hay không".
Khởi động
Hai biến cố "gieo xúc xắc ra số 6" và "gieo xúc xắc ra số chẵn" đều là biến cố ngẫu nhiên — cả hai có thể xảy ra, có thể không. Nhưng rõ ràng ra số chẵn thì dễ xảy ra hơn ra đúng số 6. Làm sao diễn tả sự "dễ hơn" đó bằng một con số, để so sánh chính xác thay vì chỉ nói chung chung?
Kiến thức trọng tâm
Trong một phép thử mà mọi kết quả có khả năng xảy ra như nhau — gọi là các kết quả đồng khả năng, ví dụ mỗi mặt xúc xắc đều có cùng khả năng ngửa lên — xác suất của một biến cố A được định nghĩa: $P(A) = \dfrac{\text{số kết quả thuận lợi cho } A}{\text{số kết quả có thể xảy ra}}$.
Xác suất luôn là một số nằm trong đoạn từ 0 đến 1. Biến cố không thể có 0 kết quả thuận lợi nên $P = 0$. Biến cố chắc chắn có mọi kết quả đều thuận lợi nên $P = 1$. Một biến cố ngẫu nhiên có xác suất nằm hẳn giữa 0 và 1 (không chạm hai đầu mút), và có thể đổi sang phần trăm bằng cách nhân 100% để dễ hình dung, giống hệt cách đổi phân số sang phần trăm đã học ở bài biểu đồ hình quạt.
Các bước tính xác suất luôn theo một trình tự cố định: xác định số kết quả có thể xảy ra (đếm cả không gian mẫu), xác định biến cố cần tính rồi đếm số kết quả thuận lợi cho nó, lập tỉ số giữa hai con số đó, và rút gọn phân số nếu có thể. Khi phép thử được mô tả lại — chẳng hạn chỉ chọn trong một nhóm nhỏ hơn — không gian mẫu cũng phải đếm lại theo đúng nhóm mới, không được giữ nguyên số liệu của phép thử ban đầu.
Ví dụ minh hoạ
Ví dụ
Tính xác suất khi gieo một con xúc xắc
1
Gieo một con xúc xắc sáu mặt cân đối. Tính xác suất của biến cố A: "ra mặt 6", và biến cố B: "ra số chẵn".
2
Xúc xắc có 6 mặt, các kết quả đồng khả năng, nên số kết quả có thể xảy ra là 6.
3
Chỉ có đúng 1 mặt ghi số 6, nên số kết quả thuận lợi cho A là 1. Theo công thức xác suất, $P(A) = \dfrac{1}{6}$.
4
Các số chẵn trong 6 mặt là 2, 4, 6 — có 3 kết quả thuận lợi cho B, nên $P(B) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.
5
Vậy $P(A) = \dfrac{1}{6}$ và $P(B) = \dfrac{1}{2}$ — đúng như dự đoán ban đầu, ra số chẵn có xác suất lớn hơn hẳn ra đúng số 6.
Ví dụ
Tính xác suất khi rút bóng từ hộp
1
Một hộp có 3 quả bóng đỏ, 2 quả bóng xanh, 5 quả bóng vàng, kích thước như nhau. Rút ngẫu nhiên 1 quả. Tính xác suất rút được bóng đỏ, và xác suất rút được bóng không phải màu vàng.
2
Tổng số bóng trong hộp là 3 + 2 + 5 = 10, và vì các quả bóng cùng kích thước nên mỗi quả có khả năng được rút như nhau.
3
Số kết quả thuận lợi là 3 (số bóng đỏ), nên $P(\text{đỏ}) = \dfrac{3}{10} = 0.3$.
4
Số bóng không phải vàng là 3 + 2 = 5, nên $P(\text{không vàng}) = \dfrac{5}{10} = 0.5$.
5
Vậy xác suất rút được bóng đỏ là 0.3 (tức 30%), và xác suất rút được bóng không phải màu vàng là 0.5 (tức 50%).
Ví dụ
Tính xác suất theo không gian mẫu thu hẹp (dạng thi)
1
Lớp 7E có 40 bạn, gồm 18 bạn nam và 22 bạn nữ. Hôm nay lớp chỉ chọn ngẫu nhiên 1 bạn trực nhật trong số các bạn CHƯA từng trực nhật ở học kỳ này; biết trong 22 bạn nữ đã có 5 bạn từng trực, và trong 18 bạn nam đã có 3 bạn từng trực. Tính xác suất chọn được một bạn nữ.
2
Số bạn nữ chưa trực là 22 − 5 = 17 bạn; số bạn nam chưa trực là 18 − 3 = 15 bạn.
3
Vì chỉ chọn trong số các bạn chưa trực, không gian mẫu của phép thử này gồm 17 + 15 = 32 bạn, mỗi bạn có khả năng được chọn như nhau.
4
Số kết quả thuận lợi cho biến cố "chọn được bạn nữ" là 17 (số bạn nữ chưa trực), nên $P(\text{nữ}) = \dfrac{17}{32}$.
5
Vậy xác suất chọn được một bạn nữ trong số các bạn chưa trực là $\dfrac{17}{32}$ — khác với xác suất $\dfrac{22}{40}$ nếu chọn trong cả lớp, vì không gian mẫu đã thay đổi theo đúng nhóm được chọn.
Luyện tập có hướng dẫn
Luyện tập độc lập
Sai lầm thường gặp
Lỗi phổ biến nhất là đếm nhầm số kết quả có thể xảy ra khi phép thử được thu hẹp — vẫn lấy sĩ số cả lớp làm mẫu số dù đề đã giới hạn chỉ chọn trong một nhóm nhỏ hơn. Một lỗi khác là quên rằng công thức $P(A) = \dfrac{\text{thuận lợi}}{\text{có thể}}$ chỉ áp dụng khi các kết quả đồng khả năng; nếu các kết quả không đồng khả năng (ví dụ một chiếc vòng quay có các ô to nhỏ khác nhau), không thể đếm số ô rồi chia trực tiếp như vậy.
Kiểm tra nhanh
Ghi nhớ
Với phép thử có các kết quả đồng khả năng, $P(A) = \dfrac{\text{số kết quả thuận lợi}}{\text{số kết quả có thể xảy ra}}$, luôn nằm trong đoạn từ 0 đến 1. Biến cố không thể có P = 0, biến cố chắc chắn có P = 1. Khi phép thử bị thu hẹp trong một nhóm, phải đếm lại không gian mẫu theo đúng nhóm mới, không giữ nguyên số liệu ban đầu.
Bài học cuối cùng của khóa không dạy kiến thức mới, mà hệ thống lại toàn bộ sáu bài đã học — từ thu thập dữ liệu đến tính xác suất — qua các bài toán tổng hợp theo đúng phong cách đề kiểm tra.
Bài trước em đã biết mô tả không gian mẫu và liệt kê kết quả thuận lợi cho một biến cố, cùng cách phân biệt biến cố chắc chắn, không thể, ngẫu nhiên. Bài này biến những khái niệm định tính đó thành một con số cụ thể — xác suất — để trả lời chính xác câu hỏi "khả năng xảy ra là bao nhiêu", chứ không chỉ dừng ở "có thể xảy ra hay không".
Trong một phép thử mà mọi kết quả có khả năng xảy ra như nhau — gọi là các kết quả đồng khả năng, ví dụ mỗi mặt xúc xắc đều có cùng khả năng ngửa lên — xác suất của một biến cố A được định nghĩa: P(A)=soˆˊ keˆˊt quả coˊ thể xảy rasoˆˊ keˆˊt quả thuận lợi cho A.
Xác suất luôn là một số nằm trong đoạn từ 0 đến 1. Biến cố không thể có 0 kết quả thuận lợi nên P=0. Biến cố chắc chắn có mọi kết quả đều thuận lợi nên P=1. Một biến cố ngẫu nhiên có xác suất nằm hẳn giữa 0 và 1 (không chạm hai đầu mút), và có thể đổi sang phần trăm bằng cách nhân 100% để dễ hình dung, giống hệt cách đổi phân số sang phần trăm đã học ở bài biểu đồ hình quạt.
Các bước tính xác suất luôn theo một trình tự cố định: xác định số kết quả có thể xảy ra (đếm cả không gian mẫu), xác định biến cố cần tính rồi đếm số kết quả thuận lợi cho nó, lập tỉ số giữa hai con số đó, và rút gọn phân số nếu có thể. Khi phép thử được mô tả lại — chẳng hạn chỉ chọn trong một nhóm nhỏ hơn — không gian mẫu cũng phải đếm lại theo đúng nhóm mới, không được giữ nguyên số liệu của phép thử ban đầu.
Chỉ có đúng 1 mặt ghi số 6, nên số kết quả thuận lợi cho A là 1. Theo công thức xác suất, P(A)=61.
Các số chẵn trong 6 mặt là 2, 4, 6 — có 3 kết quả thuận lợi cho B, nên P(B)=63=21.
Vậy P(A)=61 và P(B)=21 — đúng như dự đoán ban đầu, ra số chẵn có xác suất lớn hơn hẳn ra đúng số 6.
Số kết quả thuận lợi là 3 (số bóng đỏ), nên P(đỏ)=103=0.3.
Số bóng không phải vàng là 3 + 2 = 5, nên P(khoˆng vaˋng)=105=0.5.
Số kết quả thuận lợi cho biến cố "chọn được bạn nữ" là 17 (số bạn nữ chưa trực), nên P(nữ)=3217.
Vậy xác suất chọn được một bạn nữ trong số các bạn chưa trực là 3217 — khác với xác suất 4022 nếu chọn trong cả lớp, vì không gian mẫu đã thay đổi theo đúng nhóm được chọn.
Lỗi phổ biến nhất là đếm nhầm số kết quả có thể xảy ra khi phép thử được thu hẹp — vẫn lấy sĩ số cả lớp làm mẫu số dù đề đã giới hạn chỉ chọn trong một nhóm nhỏ hơn. Một lỗi khác là quên rằng công thức P(A)=coˊ thểthuận lợi chỉ áp dụng khi các kết quả đồng khả năng; nếu các kết quả không đồng khả năng (ví dụ một chiếc vòng quay có các ô to nhỏ khác nhau), không thể đếm số ô rồi chia trực tiếp như vậy.
Với phép thử có các kết quả đồng khả năng, P(A)=soˆˊ keˆˊt quả coˊ thể xảy rasoˆˊ keˆˊt quả thuận lợi, luôn nằm trong đoạn từ 0 đến 1. Biến cố không thể có P = 0, biến cố chắc chắn có P = 1. Khi phép thử bị thu hẹp trong một nhóm, phải đếm lại không gian mẫu theo đúng nhóm mới, không giữ nguyên số liệu ban đầu.