Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Bình phương của một tổng và một hiệu
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em khai triển và áp dụng được hai hằng đẳng thức $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$ và $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$, đồng thời hiểu vì sao chúng đúng qua một cách chứng minh bằng diện tích hình vuông.
Kiến thức nền cần nhớ
Bài học dựa trên phép nhân đa thức với đa thức đã học ở Chương 2 của khoá này, và khái niệm diện tích hình vuông, hình chữ nhật đã quen thuộc từ tiểu học: diện tích hình vuông cạnh $a$ bằng $a^2$, diện tích hình chữ nhật hai cạnh $a, b$ bằng $a \times b$. Từ lớp 6, em cũng đã có trực giác về công thức này qua việc bình phương các số gần một số tròn chục, tròn trăm — chỉ chưa biết gọi tên và chứng minh nó.
Khởi động
Khi tính nhanh $998^2$, có cách nào tránh nhân trực tiếp một số có ba chữ số với chính nó không? Viết $998 = 1000-2$ rồi áp dụng đúng công thức bài học hôm nay sẽ biến phép nhân cồng kềnh đó thành vài phép tính nhẩm.
Bình phương của một tổng
Với hai biểu thức $A, B$ bất kỳ, khai triển trực tiếp bằng phép nhân đa thức: $(A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2+AB+AB+B^2=A^2+2AB+B^2$. Kết quả này còn có một hình ảnh diện tích rất trực quan, giúp em nhớ công thức bằng lý do chứ không chỉ bằng cách học thuộc.
Hình vuông cạnh $a+b=5$, diện tích $25$.
Ví dụ
Chứng minh $(A+B)^2$ bằng diện tích hình vuông (minh hoạ với $a=3, b=2$)
1
Xét một hình vuông có cạnh $a+b$. Với $a=3, b=2$, cạnh của hình vuông là $5$, nên diện tích toàn bộ hình vuông là $5^2=25$, đúng như lưới ô ở hình trên.
2
Trên mỗi cạnh của hình vuông lớn, đánh dấu điểm cách một đỉnh đúng $a$ đơn vị, rồi kẻ hai đường chia hình vuông thành bốn phần: một hình vuông cạnh $a$ ở một góc, hai hình chữ nhật kích thước $a \times b$ ở hai góc kề, và một hình vuông cạnh $b$ ở góc còn lại.
3
Hình vuông cạnh $a$ có diện tích $a^2$, với $a=3$ là $9$. Mỗi hình chữ nhật $a \times b$ có diện tích $ab$, với $a=3, b=2$ là $6$; có hai hình như vậy nên tổng là $2ab=12$. Hình vuông cạnh $b$ có diện tích $b^2$, với $b=2$ là $4$.
4
Diện tích toàn bộ hình vuông bằng tổng bốn phần: $a^2+2ab+b^2$; thay số được $9+12+4=25$, đúng bằng $5^2=25$ tính trực tiếp ở bước đầu. Vậy $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ — công thức không phải quy tắc áp đặt, mà là một sự thật về diện tích.
Phần $a^2=9$ trong bốn mảnh.Phần $b^2=4$; hai hình chữ nhật $3\times2$ còn lại cộng thành $2ab=12$.
Ví dụ
Bình phương của một tổng — áp dụng
1
Khai triển $(x+3)^2$.
2
Đối chiếu với $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$, ta có $A=x, B=3$.
Khai triển trực tiếp: $(A-B)^2=(A-B)(A-B)=A^2-AB-AB+B^2=A^2-2AB+B^2$. Công thức này cũng đến từ chính hình vuông cạnh $a$ đã vẽ ở trên, chỉ cần đọc theo chiều ngược lại.
Ví dụ
Chứng minh $(A-B)^2$ từ hình vuông cạnh $a$ (minh hoạ với $a=5, b=2$)
1
Lần này xuất phát từ hình vuông cạnh $a$. Với $a=5$, diện tích của nó là $a^2=25$ — đúng bằng hình vuông đã vẽ ở ví dụ trước, chỉ đổi cách gọi cạnh.
2
Trên cạnh $a$, đánh dấu điểm cách một đỉnh một đoạn $a-b$; với $a=5, b=2$ đoạn đó dài $3$. Góc chứa đoạn $a-b$ tạo ra một hình vuông nhỏ cạnh $a-b$ — đây chính là phần diện tích cần tìm.
3
Phần diện tích còn lại của hình vuông lớn gồm hai hình chữ nhật kích thước $(a-b) \times b$ và một hình vuông cạnh $b$ ở góc đối diện. Với số liệu đã chọn: mỗi hình chữ nhật có diện tích $(a-b) \cdot b = 3 \times 2 = 6$, có hai hình như vậy nên tổng $2b(a-b)=12$; hình vuông cạnh $b$ có diện tích $b^2=4$. Chú ý các số $3, 2$ lặp lại từ ví dụ trước — không phải trùng hợp, vì $a-b$ ở đây đúng bằng cạnh $a$ đã dùng lúc nãy.
4
Diện tích hình vuông lớn bằng tổng bốn phần: $a^2=(a-b)^2+2b(a-b)+b^2$. Thay số: $25=(a-b)^2+12+4$, suy ra $(a-b)^2=25-16=9$, đúng bằng $3^2$ tính trực tiếp.
5
Từ $a^2=(a-b)^2+2b(a-b)+b^2$, chuyển vế: $(a-b)^2=a^2-2b(a-b)-b^2=a^2-2ab+2b^2-b^2=a^2-2ab+b^2$. Vậy $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, khớp với kết quả khai triển đại số ở đầu mục này.
Ví dụ
Tính nhanh bằng hằng đẳng thức (dạng thi)
1
Tính nhanh $998^2$.
2
Viết $998=1000-2$, đối chiếu với $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$, ta có $A=1000, B=2$.
$998^2=996\,004$. Vậy chỉ với ba phép tính nhẩm, ta tránh được việc nhân trực tiếp $998\times998$.
Ví dụ
Khi số hạng trừ đứng trước (dạng thi)
1
Khai triển $(5-2x)^2$.
2
Đối chiếu với $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$, ta có $A=5, B=2x$ — số đứng trước không nhất thiết phải là biến.
3
$(5-2x)^2=5^2-2\cdot5\cdot2x+(2x)^2=25-20x+4x^2$.
4
Viết lại theo luỹ thừa giảm dần của $x$: $(5-2x)^2=4x^2-20x+25$ — đúng bằng kết quả khai triển $(2x-5)^2$, vì bình phương của một số và bình phương của số đối của nó luôn bằng nhau.
Bẫy thường gặp
Lỗi phổ biến nhất khi khai triển $(A-B)^2$ là quên hẳn số hạng $-2AB$, viết nhầm thành $A^2-B^2$ — đó là công thức của bài học sau (hiệu hai bình phương), một biểu thức hoàn toàn khác. Lỗi thứ hai là quên hệ số $2$ trước $AB$, viết $(A+B)^2=A^2+AB+B^2$. Lỗi thứ ba xảy ra khi số hạng trừ đứng trước, như $(5-2x)^2$ — nhiều bạn quên rằng vai trò $A, B$ vẫn xác định theo đúng vị trí trong ngoặc, không nhất thiết $A$ phải là biến. Cách kiểm tra nhanh nhất khi còn nghi ngờ: thay một giá trị cụ thể, chẳng hạn $x=1$, vào cả biểu thức gốc lẫn kết quả đã khai triển — hai bên phải cho cùng một số.
$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$ và $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$ — chỉ khác nhau ở dấu của số hạng giữa. Hình ảnh hình vuông chia bốn phần là chỗ dựa để nhớ công thức, không phải để học thuộc lòng. Khi cần tính nhanh một số gần một số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn, luôn hỏi: số đó là tổng hay hiệu của số tròn với một số nhỏ?
Bài học sau dùng đúng hai kết quả này để suy ra công thức thứ ba: hiệu hai bình phương, khi ta nhân $(A-B)(A+B)$ — hai thừa số gần giống hai công thức vừa học, nhưng một cộng một trừ, nên kết quả sẽ khác hẳn.
Sau bài này, em khai triển và áp dụng được hai hằng đẳng thức (A+B)2=A2+2AB+B2 và (A−B)2=A2−2AB+B2, đồng thời hiểu vì sao chúng đúng qua một cách chứng minh bằng diện tích hình vuông.
Bài học dựa trên phép nhân đa thức với đa thức đã học ở Chương 2 của khoá này, và khái niệm diện tích hình vuông, hình chữ nhật đã quen thuộc từ tiểu học: diện tích hình vuông cạnh a bằng a2, diện tích hình chữ nhật hai cạnh a,b bằng a×b. Từ lớp 6, em cũng đã có trực giác về công thức này qua việc bình phương các số gần một số tròn chục, tròn trăm — chỉ chưa biết gọi tên và chứng minh nó.
Khi tính nhanh 9982, có cách nào tránh nhân trực tiếp một số có ba chữ số với chính nó không? Viết 998=1000−2 rồi áp dụng đúng công thức bài học hôm nay sẽ biến phép nhân cồng kềnh đó thành vài phép tính nhẩm.
Với hai biểu thức A,B bất kỳ, khai triển trực tiếp bằng phép nhân đa thức: (A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+AB+AB+B2=A2+2AB+B2. Kết quả này còn có một hình ảnh diện tích rất trực quan, giúp em nhớ công thức bằng lý do chứ không chỉ bằng cách học thuộc.
Hình vuông cạnh a+b=5, diện tích 25.
Chứng minh (A+B)2 bằng diện tích hình vuông (minh hoạ với a=3,b=2)
Xét một hình vuông có cạnh a+b. Với a=3,b=2, cạnh của hình vuông là 5, nên diện tích toàn bộ hình vuông là 52=25, đúng như lưới ô ở hình trên.
Trên mỗi cạnh của hình vuông lớn, đánh dấu điểm cách một đỉnh đúng a đơn vị, rồi kẻ hai đường chia hình vuông thành bốn phần: một hình vuông cạnh a ở một góc, hai hình chữ nhật kích thước a×b ở hai góc kề, và một hình vuông cạnh b ở góc còn lại.
Hình vuông cạnh a có diện tích a2, với a=3 là 9. Mỗi hình chữ nhật a×b có diện tích ab, với a=3,b=2 là 6; có hai hình như vậy nên tổng là 2ab=12. Hình vuông cạnh b có diện tích b2, với b=2 là 4.
Diện tích toàn bộ hình vuông bằng tổng bốn phần: a2+2ab+b2; thay số được 9+12+4=25, đúng bằng 52=25 tính trực tiếp ở bước đầu. Vậy (a+b)2=a2+2ab+b2 — công thức không phải quy tắc áp đặt, mà là một sự thật về diện tích.
Phần a2=9 trong bốn mảnh.
Phần b2=4; hai hình chữ nhật 3×2 còn lại cộng thành 2ab=12.
Khai triển (x+3)2.
Đối chiếu với (A+B)2=A2+2AB+B2, ta có A=x,B=3.
(x+3)2=x2+2⋅x⋅3+32=x2+6x+9.
Khai triển trực tiếp: (A−B)2=(A−B)(A−B)=A2−AB−AB+B2=A2−2AB+B2. Công thức này cũng đến từ chính hình vuông cạnh a đã vẽ ở trên, chỉ cần đọc theo chiều ngược lại.
Chứng minh (A−B)2 từ hình vuông cạnh a (minh hoạ với a=5,b=2)
Lần này xuất phát từ hình vuông cạnh a. Với a=5, diện tích của nó là a2=25 — đúng bằng hình vuông đã vẽ ở ví dụ trước, chỉ đổi cách gọi cạnh.
Trên cạnh a, đánh dấu điểm cách một đỉnh một đoạn a−b; với a=5,b=2 đoạn đó dài 3. Góc chứa đoạn a−b tạo ra một hình vuông nhỏ cạnh a−b — đây chính là phần diện tích cần tìm.
Phần diện tích còn lại của hình vuông lớn gồm hai hình chữ nhật kích thước (a−b)×b và một hình vuông cạnh b ở góc đối diện. Với số liệu đã chọn: mỗi hình chữ nhật có diện tích (a−b)⋅b=3×2=6, có hai hình như vậy nên tổng 2b(a−b)=12; hình vuông cạnh b có diện tích b2=4. Chú ý các số 3,2 lặp lại từ ví dụ trước — không phải trùng hợp, vì a−b ở đây đúng bằng cạnh a đã dùng lúc nãy.
Diện tích hình vuông lớn bằng tổng bốn phần: a2=(a−b)2+2b(a−b)+b2. Thay số: 25=(a−b)2+12+4, suy ra (a−b)2=25−16=9, đúng bằng 32 tính trực tiếp.
Từ a2=(a−b)2+2b(a−b)+b2, chuyển vế: (a−b)2=a2−2b(a−b)−b2=a2−2ab+2b2−b2=a2−2ab+b2. Vậy (a−b)2=a2−2ab+b2, khớp với kết quả khai triển đại số ở đầu mục này.
Tính nhanh 9982.
Viết 998=1000−2, đối chiếu với (A−B)2=A2−2AB+B2, ta có A=1000,B=2.
9982=(1000−2)2=10002−2⋅1000⋅2+22=1000000−4000+4.
9982=996004. Vậy chỉ với ba phép tính nhẩm, ta tránh được việc nhân trực tiếp 998×998.
Khai triển (5−2x)2.
Đối chiếu với (A−B)2=A2−2AB+B2, ta có A=5,B=2x — số đứng trước không nhất thiết phải là biến.
(5−2x)2=52−2⋅5⋅2x+(2x)2=25−20x+4x2.
Viết lại theo luỹ thừa giảm dần của x: (5−2x)2=4x2−20x+25 — đúng bằng kết quả khai triển (2x−5)2, vì bình phương của một số và bình phương của số đối của nó luôn bằng nhau.
Lỗi phổ biến nhất khi khai triển (A−B)2 là quên hẳn số hạng −2AB, viết nhầm thành A2−B2 — đó là công thức của bài học sau (hiệu hai bình phương), một biểu thức hoàn toàn khác. Lỗi thứ hai là quên hệ số 2 trước AB, viết (A+B)2=A2+AB+B2. Lỗi thứ ba xảy ra khi số hạng trừ đứng trước, như (5−2x)2 — nhiều bạn quên rằng vai trò A,B vẫn xác định theo đúng vị trí trong ngoặc, không nhất thiết A phải là biến. Cách kiểm tra nhanh nhất khi còn nghi ngờ: thay một giá trị cụ thể, chẳng hạn x=1, vào cả biểu thức gốc lẫn kết quả đã khai triển — hai bên phải cho cùng một số.
(A+B)2=A2+2AB+B2 và (A−B)2=A2−2AB+B2 — chỉ khác nhau ở dấu của số hạng giữa. Hình ảnh hình vuông chia bốn phần là chỗ dựa để nhớ công thức, không phải để học thuộc lòng. Khi cần tính nhanh một số gần một số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn, luôn hỏi: số đó là tổng hay hiệu của số tròn với một số nhỏ?
Bài học sau dùng đúng hai kết quả này để suy ra công thức thứ ba: hiệu hai bình phương, khi ta nhân (A−B)(A+B) — hai thừa số gần giống hai công thức vừa học, nhưng một cộng một trừ, nên kết quả sẽ khác hẳn.